学试题
一、单选题
1.60o的弧度数是( ) A.
6B.
4C.
3D.
2【答案】C
【解析】Q180o弧度,1C.
o180弧度,则6060o180弧度3弧度,故选
vv1vv2.在平面直角坐标系中,已知向量a1,2,ab3,1,cx,3 ,若
2vvv2ab//c,则x=( )
A.-2 C.-3 【答案】D
B.-4 D.-1
rvv1v【解析】分析:利用向量的坐标运算,结合a1,2,ab3,1,求得b的坐标,
2rr进一步得到2ab的坐标,再由向量共线的坐标表示列方程求x的值.
vv1v详解:由a1,2,ab3,1,
21vvv1v得baab1,23,12,1, 22r则b4,2,
vvv2ab2,44,22,6,cx,3, vvv又2ab//c,6x60,
得x1,故选D.
点睛:本题考查平面向量的坐标运算,考查向量共线的性质,要特别注意垂直与平行的
vvvv区别,若aa1,a2,bb1,b2,则aba1a2b1b20,
vva//ba1b2a2b10.
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3.下列说法:①如果是第一象限的角,则角是第四象限的角;②函数ysinx在132,上的值域是,;③已知角的终边上的点P的坐标为3,4,6322uruuuruu4;④VABC中,AB和CA的夹角等于A;其中正确的是( ) 5B.①③
C.③④
D.②④
则sinA.①② 【答案】B
【解析】根据象限角的定义、正弦函数的单调性、任意角三角函数的定义和向量夹角的概念分别判断即可. 【详解】
2k,若是第一象限角,
2k,kZ,则2k,2k,kZ,22所以为第四象限角,故①正确; 函数ysinx在x2,单调递增,在x,上单调递减,所以函数6223ysinx在21,,1,故②错误; 上的值域是632根据三角函数的定义可知sin432424,故③正确;
5uruuuruu由向量夹角的概念可知VABC中,AB和CA的夹角等于A的补角.
故选:B. 【点睛】
本题考查了象限角的定义和表示、正弦函数的性质、任意角三角函数的定义、向量夹角的概念,属于基础题.
4.在ABC中,角A、B均为锐角,且cosAsinB,则ABC的形状是( ) A.直角三角形 【答案】C
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
QcosAsinB,sin【解析】AsinB,又角A,B均为锐角,则
20B2A2,0AB2,且ABC中,ABC,2C,
ABC的形状是钝角三角形,故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用诱导公式、正弦函数的单调性以及判断三角形形状,属
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于中档题.判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
rrrrrrrrr5.若向量a,b满足|a|2,|b|3,且b(ab),则a与b的夹角为( )
A.
6B.
3C.
2 3D.
5 6【答案】D
rrr【解析】转化条件为b(ab)0,求出夹角余弦值后即可得解.
【详解】
设a与b的夹角为,
rrrrrrrQb(ab),|a|2,|b|3,
b(ab)abbabcosb23cos30,
rrrrrr2rrr2rr5cos3即a与b的夹角为.
62故选:D. 【点睛】
本题考查了向量数量积的应用,属于基础题.
6.已知扇形的周长是16,圆心角为2rad,则扇形的面积是( ) A.16 【答案】A
【解析】先利用扇形弧长公式转化条件求出扇形半径,再利用扇形面积公式即可得解. 【详解】
设扇形半径为r,由题意得2r2r16解得r4,则扇形面积S故选:A. 【点睛】
本题考查了扇形弧长和面积公式的应用,属于基础题.
7.已知O是VABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OAOBOC0,那么( ) A.AOOD
B.
C.16
D.π
124216. 2uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvB.AO2OD
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uuuvuuuvuuuvuuuvC.AO3OD
【答案】A 【解析】【详解】
uuuvuuuvD.2AOOD
O是VABC所在平面内一点,D为BC边中点,
uuuruuuruuurruuuruuuruuur∴OBOC2OD,且2OAOBOC0,
∴OAOD0,即AOOD,故选A. 8.已知sinx2cosx,则sin2x1( ) A.
uuuvuuuvvuuuruuur6 5B.
9 5C.
4 3D.
5 3【答案】B
【解析】利用同角三角函数平方关系转化条件求出sin2x后即可得解. 【详解】
Qsinx2cosx,
412sin2xcos2xsin2xsinx解得, sinx152sin2x1故选:B. 【点睛】
本题考查了同角三角函数平方关系的应用,属于基础题. 9.将函数fxcos2x的图像向右平移性质( )
A.最大值为1,图像关于直线xB.周期为,图像关于点29. 5个单位后得到函数gx,则gx具有42
对称
3,0对称 83,上单调递增,为偶函数 C.在88D.在0,上单调递减,为奇函数 4【答案】D
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【解析】由三角函数的图象变换得到gxsin2x,得到函数gx为奇函数,进而利用三角函数的图象与性质,即可得到答案. 【详解】
将函数fxcos2x的图象向右平移
个单位后得到函数4gxcos2xsin2x的图象,显然,g(x)为奇函数,故排除C.
4ππ时,f(x)=0,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=对称,故排除A. 22在(0, )上,2x∈(0, ),y=sin2x为增函数,故g(x)=−sin2x为单调递减,
44当x
且g(x)为奇函数,故D满足条件. 当x=
333,故g(x)的图象不关于点(,0)对称,故排除B, 时,g(x)=
882故选D. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中根据三角函数的图象变换,以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
vvasin,1,b,,则ab的取值范围是0,cos,10.已知向量22( )
A.0,2
【答案】D 【解析】
B.0,2
C.1,2
D.2,2
vvab ,vvab2v2vvv2a2a?bbsin212coscos222cos,,则cos0,1,22cos2,2,故选D.
22点睛:本题考查三角函数和向量问题的综合问题,属于中档题目.在求ab有两种算法,一是将原式等价写成平方再开根号的形式,利用完全平方公式,将向量a的平方, 向量bvv的平方和两向量的数量积代入化简,再根据的范围求解;二是先求出向量ab,写出坐标,再根据模长公式计算取值范围;做题时可根据需要选取合适的方法,达到计算快捷简
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便的目的.
11.已知函数fxsin2x0的图象的一个对称中心为数fx的单调增区间是( )
,0,则函852k,2kkZ A.88C.k32k,2kkZ B.88D.k5,kkZ 888,k3kz 8【答案】C
【解析】由题意得28352k(kZ)kxk(kZ) 因此2k2x24288所以选C.
12.在直角ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是 A.ACACAB
k(kZ)Q03 4uuur2uuuruuuruuur2uuuruuurC.ABACCD
【答案】C
uuuruuurBABC uuuruuuruuuruuuruuur2(ACAB)(BABC)uuur2 D.CDABB.BC2uuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【解析】ACACABAC(ACAB)0ACBC0,A是正确的,同uuur2uuur2uuur2uuur2理B也正确,对于D答案可变形为CDABACBC,通过等积变换判断为
正确.
二、填空题
13.已知函数y=tanωx在【答案】[-1,0)
【解析】∵函数ytanx在π,内是单调减函数,则ω的取值范围是________. 22π,内是单调减函数, 220∴,解得10,
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∴ω的取值范围是[1,0). 答案:[1,0) 点睛:
求解的范围时,可从函数的单调性和周期性两个方面考虑,由复合函数的单调性可得
ππ为负值.又函数在,内是单调减函数,故,为一个周期的子集,由
2222此可得关于的不等式组,解不等式组即可.
14.已知点A(1,1),B(0,3),C(3,4),则AB在AC方向上的投影为__________. 【答案】2
【解析】由已知得到AB1,2,AC4,3,向量AB在AC方向上的投影为
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuruuuruuuvuuuvABAC1423102,故答案为2. uuuv55AC15.已知是第一象限角,若sin2cos7【答案】
52,则sincos______________ 5【解析】∵sin2cos∴5cos2222(2cos)cos21,,则5537821cos0,即cos5cos0,又∵为第一象限的
55525角,∴cos7347,sin,从而sincos,故答案为.
555516.如图,在半径为2的扇形AOB中,AOB90o,P为»AB上的一点,若
uuuvuuuvuuuvuuuvOPOA2,则OPAB的值为______.
【答案】223 【解析】【详解】
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因为OP•OA2,所以cosAOP以O为坐标原点,OA为x轴建系,则
uuuvuuuv21AOP 2223uuuvuuuvA(2,0),B(0,2),P(1,3)OPAB(1,3)(2,2)223
三、解答题 17.已知sin326. ,25(Ⅰ)求cos,tan的值; (Ⅱ)求sinsin3coscos5的值. 22【答案】(Ⅰ)cos【解析】试题分析:
sin12326.(Ⅱ). ,tan25cos51(Ⅰ)结合角的范围和同角三角函数基本关系可得cos,
5sintan26. cos(Ⅱ)将原式整理变形,结合(Ⅰ)的结论可得其值为试题解析:
3,所以cos0, 21122由于cos1sin,所以cos,
255sin26. 所以tancos23. 25(Ⅰ)因为(Ⅱ)原式sincossincos.
24123. 252525uuuruuur18.在直角坐标平面xOy内,已知向量OA(1,5),OB(7,1), sincos2sin2cos22uuuuruuuruuuuruuruurOM(1,2),点P为满足OPtOM(tR)的动点,当PAgPB取得最小值时,求:
uuur(1)向量OP的坐标;(2)cosAPB的值.
【答案】(1)(2,4);(2) 【解析】【详解】
417. 17uuuruuuuruuuruuur(1)OPtOMt,2t,PA1t,52t,PB7t,12t,
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uuuruuur2∴ PAPB1t7t52t12t5t220t125t28
当PAPB取得最小值时,t 2.∴OP(2,4).
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(2)PA1,1,PA2,PB5,3,PB34
uuuruuurPAPB4cosAPB17. uuuruuur∴
17PAPB19.已知(0,),sincos(1)sincos的值; (2)sin3cos3的值. 【答案】(1)
31,试计算: 213313 ;(2)283,再对4【解析】(1)利用同角三角函数平方关系转化条件求得sincossincos两边同时平方后即可得解;
(2)利用立方差公式转化即可得解. 【详解】
(1)将sincos331两边分别平方得12sincos1, 22即sincos3. 4所以,,sincos, 23, 2而(sincos)212sincos1所以sincos(2)sin313. 2cos3sincossin2sincoscos2
133133sincos1sincos148. 2【点睛】
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本题考查了同角三角函数平方关系和立方差公式的应用,属于基础题. 20.已知函数f(x)2sin2x1. 6(1)函数fx的最小正周期及单调递减区间;
x,,求fx的值域. (2)若63(kZ);【答案】(1),k,k(2)2,1 63【解析】(1)利用T值范围后即可得解; (2)根据x【详解】
(1)易知fx的最小正周期为T∵当2x22即可求出最小正周期;利用复合函数单调性得到2x6的取
5,求得2x后即可得解. 636662, 232k,2k(kZ)时,fx单调递减, 622∴即xk6,k2(kZ)时,fx单调递减, 32(kZ). fx的单调减区间为k,k63(2)当x5,时,2x,
666631sin2x1, 2612sin2x2,22sin2x11.
66fx值域为2,1.
【点睛】
本题考查了三角函数yAsinωxφ的周期、单调性、值域的求解,考查了整体意识的应用,属于中档题.
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uuuuv3uuuv1uuuv21.若点M是ABC所在平面内一点,且满足:AMABAC.
44(1)求ABM与ABC的面积之比.
(2)若N为AB中点,AM与CN交于点O,设BDxBMyBN,求x,y的值. 【答案】(1)1:4;(2)【解析】【详解】
.
uuuvuuuuvuuuvuuuur3uuur1uuur(1)由AMABAC可知M、B、C三点共线
44
如图令
ruuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuuruuuBMBCAMABBMABBCAB(ACAB)uuuruuur1(1)ABAC
4SABM1即面积之比为1:4 SABC4rxuuuruuuruuuruuuuryuuuruuuuuuruuuuruuur(2)由BOxBMyBNBOxBMBA,BOBCyBN
2447{ 由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线{x6y1y47xy12x【考点】1.三角形法则;2.平面向量基本定理.
22.已知函数f(x)Asin(x),(A0,0,||示.
)的部分图像如图所2
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(1)求函数fx的解析式及fx图像的对称轴方程;
(2)把函数yfx图像上点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移
个单位,得到函数ygx的图象,求关于x的方程gxm0m2在611x,时所有的实数根之和.
33【答案】(1)fx2sin2x6,xk14 (kZ);(2)
263,0可分别确定、A、,12【解析】(1)根据图像的最小正周期、最值和过点即可得到函数表达式;令2x6k2,kZ即可求出对称轴;
(2)根据题意先求出g(x)2sinx【详解】
(1)由题设图象知,最小正周期T最大值为2,A2,
,再利用三角函数的对称性即可求解. 3112,2, 1212T,0sin2sin20点即在函数图象上,0, 61212又 22,2π,从而. 3636故函数fx的解析式为fx2sin2x. 6令2x6k2,kZ,解得xk,kZ即为函数图像的对称轴方程. 26(2)依题意,得g(x)2sinx, 3Qg(x)2sinx的周期T2,
311g(x)2sinx在x,内有2个周期. 333第 12 页 共 13 页
令x3k2(kZ),所以xk6(kZ),
即函数g(x)2sinx3的对称轴为xk6(kZ).
又x11,x[0,4]且0m2, ,则
33311,内有4个实根. 33所以g(x)m(0m2)在x不妨从小到大依次设为xi(i1,2,3,4), 则
xx13x1x2. ,34262611,时所有的实数根之和为33∴关于x的方程g(x)m(0m2)在xx1x2x3x4【点睛】
14. 3本题考查了三角函数yAsin(x)表达式的确定、对称轴的确定、图像的变换和三角函数对称性的应用,属于中档题.
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