指数对数基础知识点

§2.6指数与指数函数

1.根式

(1)根式的概念

*

如果一个数的 n 次方等于 a(n＞ 1 且 n∈ N )，那么这个数叫做 a 的 n 次方根 .也就是，

若 xn＝ a，则 x 叫做 __________ ，其中 n＞ 1 且 n∈N * .式子

n

a叫做 __________，这里

n 叫做 __________ ， a 叫做 ______________. (2)根式的性质

①当 n 为奇数时，正数的

n 次方根是一个正数，负数的

n 次方根是一个负数，这时，

a 的 n 次方根用符号 ________表示 . ②当 n 为偶数时，正数的

n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数

a 的正的 n

次方根用符号 ________表示，负的 n 次方根用符号 __________ 表示 .正负两个 n 次方 根可以合写为 ________(a＞0). ③ ( a)n＝ ______.

n

n

n

④当 n 为奇数时，

a ＝ ______；

当 n 为偶数时， an ＝|a|＝ __________. ⑤负数没有偶次方根 . 2.有理数指数幂

n

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂： an＝ a·a· ·a (n∈N * ).

n

个

②零指数幂： a0＝______( a≠ 0).

③负整数指数幂： a－p＝ ________(a≠ 0， p∈ N * ).

④正分数指数幂： an＝ ______(a>0， m、 n∈ N* ，且 n>1).

m

⑤负分数指数幂： a－

m

＝ ________＝ ________ ( a>0， m、 n∈ N* ，且 n>1).

n

⑥ 0 的正分数指数幂等于 ______， 0 的负分数指数幂 ______________.

(2)有理数指数幂的性质

① ar as＝________( a>0 ， r、 s∈ Q)；

② (ar)s＝ ________(a>0， r、 s∈ Q)； ③ (ab)r＝ ________(a>0， b>0， r ∈ Q).

3.指数函数的图象与性质

y＝ ax

a>1 0< a<1

图象

定义域 值域

(1) ________

(2)________

(3)过定点 ________

(4) 当 x>0 时， ____；

(5)当 x>0 时， ________；

x<0 时， ________

性质

x<0 时， ________ (6)在 ( －∞，＋∞ ) 上是

________

(7)在 ( －∞，＋∞ )上是 ________

[难点正本 疑点清源 ]

1.根式与分数指数幂的实质是相同的，

幂的运算，从而可以简化计算过程.

通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为

2.指数函数的单调性是底数

进行分类讨论 .

a 的大小决定的， 因此解题时通常对底数 a 按：01

1.用分数指数幂表示下列各式

(1) x2＝ ________；

.

3

(2) a＋ b 3((a＋ b)>0) ＝ ________； (3)

4

m3

＝ ________.

1

m

02.化简 [( 2)6] 2 － (－ 1) 的值为 ________.

3. 若 函 数 y ＝ ( a2 － 1)x 在 ( － ∞ ， ＋ ∞) 上 为 减 函 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

________________.

4.若函数 f(x)＝ ax－ 1 (a>0， a≠ 1)的定义域和值域都是 [0,2] ，则实数 a＝ ________.

5.已知 f(x)＝ 2x＋2－

x，若 f(a)＝ 3，则 f(2a)等于

()

A.5

B.7 C.9

D.11

§2.7

对数与对数函数

1.对数的概念

(1)对数的定义

如果 ax＝ N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作

__________，其中

______叫做对数的底数， ______叫做真数 .

(2)几种常见对数

对数形式

特点 记法

一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠ 1)

常用对数

底数为 ______

自然对数

底数为 ____

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果 a>0 且 a≠ 1， M>0， N>0 ，那么

M

① loga(MN )＝ ____________；② loga N＝__________ ； ③ logaMn＝ __________ ( n∈ R)；④ logamMn＝ __________. (2)对数的性质

① alog a N ＝ ______；② loga aN＝______( a>0 且 a≠ 1). (3)对数的重要公式

①换底公式： ____________ (a， b 均大于零且不等于

1)；

② logab＝ log1

ba，推广 logab·log bc·log cd＝ ________. 3.对数函数的图象与性质

a>1 0图象

(1) 定义域： ________ (2)值域： ______

性质

(3) 过点 __________，即 x＝______ 时， y＝ ______ (4)当 x>1 时， ________ 当 0< x<1 时， ________ (6)在 (0，＋∞ ) 上是 _____

(5) 当 x>1 时， ________ 当 04.反函数

指数函数 y＝ ax 与对数函数 __________互为反函数，它们的图象关于直线

________对

称 .

[难点正本

疑点清源 ]

1.关于对数的底数和真数

从对数的实质看：如果

ab＝ N(a>0 且 a≠ 1)，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，即 b＝

logaN.它是知道底数和幂求指数的过程

.底数 a 从定义中已知其大于 0 且不等于 1；N

0 的.

在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于

2.对数函数的定义域及单调性

在对数式中，真数必须是大于

0 的，所以对数函数

y＝ log ax 的定义域应为 { x|x>0}. 对

数函数的单调性和

a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 0a>1 进行分类讨论 .

3.关于对数值的大小比较

(1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法；

(3)利用中间量 (0 或 1)；

(4)化同真数后利用图象比较

.

1.写出下列各式的值：

(1)log 26－log 23＝________； (2)lg 5 ＋ lg 20＝ ________；

1

(3)log 53＋log 53＝ ______ ； (4)log 35－ log315＝ ________.

2.(2011 江·苏 )函数 f(x)＝ log 5(2x＋1)的单调增区间是 __________.

3.已知函数 f(x)＝log a(x＋ b) (a>0 且 a≠ 1)的图象过两点 (－ 1,0)和 (0,1)，则 a＝ ________，

b＝ ________.

4.函数 y＝ loga (x＋ 3)－1 ( a>0 且 a≠ 1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ ny＋1＝ 0

12

上 (其中 mn>0)，则 m＋ n的最小值为 ________.

5.(2011 安·徽 )若点 (a，1

， b

A. a10

C.

， b＋ 1

a

在 y＝ lg x 图象上， a≠ 1，则下列点也在此图象上的是 B.(10 a,1－ b)

D.( a2,2b)

)

b) (