利用导数求函数的单调性

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性： 1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． x21分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性． 解： 1．函数定义域为R． 当a1时，lna0,axax0,f(x)0. ∴函数f(x)在(,)上是增函数． 当0a1时，lna0,axax0,f(x)0. ∴函数f(x)在(,)上是减函数． 12．函数的定义域是x或x2. 31①若a1，则当x时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0， 31上是增函数； ∴f(x)0，∴函数f(x)在，3当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 1②若0a1，则当x时，f(x)0，

31上是减函数； ∴函数f(x)在，3当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

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x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b

(x21)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数； 若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断． 分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力． 利用导数求函数的单调区间 例 求下列函数的单调区间： 1．f(x)x42x23； 2．f(x)2xx2； b3．f(x)x(b0). x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误． 解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x44x4(x1)(x1)x 令f(x)0，得1x0或x1． ∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)； 令f(x)0，得x1或0x1，

∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2. 令f(x)0，得0x1．

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∴函数f(x)的递增区间为（0，1）； 令f(x)0，得1x2，

∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb). x2x2令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)； 令f(x)0，得bxb且x0， ∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)． 说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,) 和(,1)(0,1) 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用． 求解析式并根据单调性确定参数 例 已知f(x)x2c，且f[f(x)]f(x21). 1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式； 2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数． 分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，

f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，

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∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1. ∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21. 2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)． 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.

∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0， 即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24. ∴2(2)4，解得4． 又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x32(2)x0对于x(1,0)恒成立， ∴2(2)4x2,1x0,44x20. ∴2(2)4，解得4． 故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在． 说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深． 利用导数比较大小

例 已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：abba． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证

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明F(x)f(x)g(x)0，如果F(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果

F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb， a设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lna．

babae，∴lna1，且1，∴f(b)0. b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0， ∴blnaalnb,abba. 证法二：要证abba，只要证blnaalnb(eab)， 即证lnalnblnx1lnx，设f(x)(xe)，则f(x)0， abxx2∴函数f(x)在(e,)上是减函数． lnalnb,abba. ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之又eab,f(a)f(b)，即后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论． 判断函数在给定区间上的单调性 1例 函数ylog11在区间(0,)上是（ ） x2 A．增函数，且y0 B．减函数，且y0 C．增函数，且y0 D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函

数的单调性．

1解：解法一：令u1，且x(0,),u1，

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则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在 (0,)上为减函数．

1又ylog1u亦为减函数，故ylog11在 (0,) 上为增函数，排除D，

x22选C．

解法二：利用导数法

（x(0,)），故y在(0,)上是增函数． 由解法一知y0．所以选C． 说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．