三角函数图像性质练习

1．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为( ) A．2π C．π 答案 A

cosx＋3sinxπ

解析 f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝·cosx＝2cos(x－)，则T＝2π.

cosx3ππ

2．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )

42π

A．y＝sin(2x＋)

2π

C．y＝sin(x＋)

2答案 A

πππ

解析 对于选项A，注意到y＝sin(2x＋)＝cos2x的周期为π，且在[，]上是减函数，故选A.

242π

3．函数y＝sin(－x)的一个单调递增区间为( )

43π7πA．(，)

44ππC．(－，)

22答案 A

ππ

解析 y＝sin(－x)＝－sin(x－)，

44ππ3π

故由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，

24237

解得2kπ＋π≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．

44

π37

因此，函数y＝sin(－x)的单调增区间为[2kπ＋π，2kπ＋π](k∈Z)．

444x＋φ

4．(2019·湖南洛阳模拟)若函数y＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )

3πA. 23C.π 2答案 C

xφxφ3

解析 sin(－＋)＝sin(＋)观察选项．当φ＝π时，等式恒成立．

33332

2

B.π 35D.π 3

π3πB．(－，)

443ππ

D．(－，)

44π

B．y＝cos(2x＋)

2π

D．y＝cos(x＋)

23πB. 2πD. 2

5．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是( ) A．周期为π的奇函数 π

C．周期为的奇函数

2答案 D

1－cos4x12ππ

解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，则T＝＝且为偶函数．

24426．函数g(x)＝sin22x的单调递增区间是( ) kπkππ

A．[，＋](k∈Z)

224π

B．[kπ，kπ＋](k∈Z)

4kππkππ

C．[＋，＋](k∈Z)

2422ππ

D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)

42答案 A

4π

7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )

3πA. 6πC. 3答案 A

8π8ππ13π

解析 依题意得3cos(＋φ)＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－π(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.

33266ππ

8．已知函数y＝sinωx在[－，]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )

333

A．[－，0)

23

C．(0，]

2答案 C

ππππππ

解析 由于y＝sinx在[－，]上是增函数，为保证y＝sinωx在[－，]上是增函数，所以ω>0且·ω≤，2233323

则0<ω≤.

2

9．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是( ) A．f(x)＝sinx C．f(x)＝cosx 答案 D

B．f(x)＝sinxcosx D．f(x)＝cos2x－sin2x B．[－3,0) D．(0,3] πB. 4πD. 2

B．周期为π的偶函数 π

D．周期为的偶函数

2

解析 因为对任意x∈R有f(x)＝f(－x)且f(x－π)＝f(x)，所以f(x)为偶函数且f(x)的最小正周期为π.故A，1

C错．B项中，f(x)＝sinxcosx＝sin2x为奇函数，故B错，D项中，f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，满足条件，

2故选D.

ππ

2x＋的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( ) 10．将函数y＝3sin32π7π

A．在区间12，12上单调递减 π7πB．在区间12，12上单调递增 ππ

－，上单调递减 C．在区间63ππ

－，上单调递增 D．在区间63答案 B

πππ2π

2x＋的图像向右平移个单位长度得到y＝3sin2x－2＋＝3sin2x－π. 解析 y＝3sin3332π2ππ7

令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.

23212122π7

2x－π的增区间为kπ＋，kπ＋π，k∈Z. 则y＝3sin31212π7

令k＝0得其中一个增区间为12，12π，故B正确．

2ππ2ππ

2x－π在－，上的简图，如图，可知y＝3sin2x－π在－，上不具有单调性，画出y＝3sin363363故C，D错误．

11．(2020·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A．f(0)＝1 C．f′(0)＝1 答案 D

π

解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)是偶函数，有φ＝kπ＋，k∈Z.∴f(x)＝±cosωx.而f′(x)＝±ωsinωx，∴f′(0)＝0，

2故选D.

B．f(0)＝0 D．f′(0)＝0

π

12．(2019·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x＋)－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：

3①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； 2π

②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x＝；

35π

③函数f(x)图像的一个对称中心为(，0)；

12

π2π

④函数f(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.其中正确的结论的个数是( )

63A．1 C．3 答案 C

ππππ

解析 由已知得，f(x)＝cos(2x＋)－cos2x＝cos2xcos－sin2xsin－cos2x＝－sin(2x＋)，不是奇函数，

3336故①错．

2π2π4ππ

当x＝时，f()＝－sin(＋)＝1，故②正确；

33365π5π

当x＝时，f()＝－sinπ＝0，故③正确；

1212

ππ3ππ2π

令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个

26263数为3.

13．(2019·江西理)函数y＝sin2x＋23sin2x的最小正周期T为________． 答案 π

π2π

解析 y＝sin2x＋23sin2x＝sin2x－3cos2x＋3＝2sin(2x－)＋3，所以该函数的最小正周期T＝

32＝π.

π4π2π

14．将函数y＝sin(ωx＋φ)(<φ<π)的图像，仅向右平移，或仅向左平移，所得到的函数图像均关233于原点对称，则ω＝________.

1

答案 2

T4π2π2π

解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有＝－(－)＝2π，T＝4π，即＝4π，

233ω1

ω＝. 2

15．设函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 答案

2π 3

B．2 D．4

ππ

解析 由题意得f′(x)＝3cos(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(3x＋φ＋)是奇函数，因此φ＋＝kπ(其

33π2π

中k∈Z)，φ＝kπ－.又0<φ<π，所以φ＝. 33

16．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图像的一条对称轴是x＝________．

2

答案 π

3

5π

解析 f′(x)＝cosx－asinx，∵x＝为函数f(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，

35π5π5π3∴f′()＝cos－asin＝0，解得a＝－. 3333∴g(x)＝－＝

32313

sinx＋cosx＝(－sinx＋cosx) 3322

5π

，则函数g(x)＝asinx＋cosx的初相是3

232π

sin(x＋)． 33

π17．(2019·安徽理)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.

4(1)求ω的值；

π

(2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．

2

πππ

答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，]，单调递减区间为[，]

882π

解析 (1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)

4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx ＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2 π

＝2sin(2ωx＋)＋2.

4

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 2π

从而有＝π，故ω＝1.

2ω

π

(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋2.

4πππ5π

若0≤x≤，则≤2x＋≤. 2444

ππππ

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 4428ππ5πππ

当≤2x＋≤，即≤x≤时f(x)单调递减． 24482

πππ

综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减．

882sinx－cosxsin2x

18．已知函数f(x)＝.

sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．

答案 (1){x∈R|x≠kπ，k∈Z} T＝π (2)[kπ＋

3π7π

，kπ＋](k∈Z) 88

解析 (1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)． 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． sin2x

因为f(x)＝(sinx－cosx)

sinx＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 π

＝2sin(2x－)－1，

4所以f(x)的最小正周期为T＝

2π＝π. 2

π3π

(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．

22ππ3π

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

2423π7π

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

88所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋

3π7π

，kπ＋](k∈Z)． 88