2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案

（2007年4月1月 下午1∶00－3∶00）

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．若x3＋x2＋x＋1＝0，则x（A）1

－27

＋x

－26

＋…＋x1＋1＋x＋…＋x26＋x27的值是

（C）－1

BF

－

（ ）

（B）0 （D）2

EA

2．定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD如图，AB＝14cm，BC＝12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与⊙K的距离为 （A）4cm

（B）8cm

（C）10cm

KCGD（ ）

（D）12cm

3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．

1，第i号同学同意第j号同学当选，如果令ai，j＝其中i＝1，2，…，50；j＝1，2，…，

2，第i号同学不同意第j号同学当选．

50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为 （A）a1,1＋a1,2＋…＋a1,50＋a50,1＋a50,2＋…＋a50,50 （B）a1,1＋a2,1＋…＋a50,1＋a1,50＋a2,50＋…＋a50,50 （C）a1,1a1,50＋a2,1a2,50＋…＋a50,1a50,50 （D）a1,1a50,1＋a1,2a50,2＋…＋a1,50a50,50

abc

4．若＝＝＝t，则一次函数y＝tx＋t2的图象必定经过的象限是

b＋cc＋aa＋b（A）第一、二象限 （C）第二、三、四象限

（B）第一、二、三象限 （D）第三、四象限

（ ）

（ ）

5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无穷多个 6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，

OBA（ ）

C如果AB＝4，AO＝62，那么AC的长等于

F（ ）

（A）12 （B）16 （C）43 （D）82 二、填空题（共6小题，每小题6分，共满分36分）

E7．函数y＝|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|，当x＝___________时，y有最小值，最小值等于___________．

AB

DC8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为__________． 9．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB＝6cm，AC＝4cm，∠A＝60º，则AD的长为___________cm．

10．设x1，x2，x3，…，x2007为实数，且满足x1x2x3…x2007＝x1－x2x3…x2007＝x1x2－x3…x2007

＝…＝x1x2x3…x2006－x2007＝1，则x2000的值是__________．

11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，

均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

12．正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移

到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于___________．

三、解答题（共4小题，满分54分） 13．（本题满分12分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象G和x轴有且只有一个交点A，

与y轴的交点为B（0，4），且ac＝b． （1）求该二次函数的解析表达式；

（2）将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象

L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．

E14．（本题满分12分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分

别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、QCD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN．

P DC G

F N AMB 15．（本题满分14分）2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，

P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．

16．（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数． （1）求证：当n＝1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017； （2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C

解：由xxx10，得x1，

所以x2．答案：A

解：连结AK、EK，设AK与⊙O的交点为H，则AH即为所求， F 因为AK=EK2AE2=10，所以AH = 4． 3．答案：C

解：由题意得C正确． 4．答案：A

解：由已知可得abc2(abc)t，

C K G （第2题）

D

2732x26+ … +x11x+ … +x26x27=-1．

B E H A

111，yx，直线过第一、二、三象限； 224当abc0时，t1，yx1，直线过第一、二、四象限．

当abc0时，t综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．

5．答案：C

解：设直角三角形的两条直角边长为a,b(ab)，则

1aba2b2kab（a,b,k均为正整数），

2化简，得(ka4)(kb4)8，所以ka41ka42或．

kb48kb44k1k2k1,解得a5或a3或a6, 即有3组解．

b12b4b8.6．答案：B

解：在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，则

△OGC≌△OAB，所以OG=OA=62， ∠AOG=90°，所以△AOG是等腰直角三角形，AG=12，所以AC=16．

F

B A

O G C

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

7．答案：-2，2

解：当x≤-3时，y= -3x-6；

当-3＜x≤-2时，y= -x； 当-2＜x≤-1时，y=x+4；

E

（第6题）

当x＞-1时，y=3x+6．；

所以当x=-2时，y的值最小，最小值为2． 8．答案：8个

解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：

123 5解：由S△ABC=S△ABD + S△ADC ，得

111ABACsin60=ABADsin30ADACsin30． 222123解得AD=．

53510．答案：1，或

211解：由已知，x1x2x3…x2000=1，x1x2x3…x1999=1，

x1x2x3x2000x1x2x3x1999解得x1x2x3所以x200011．答案：1041515． ,x1x2x3x19992235． 1，或x20002x20008 23解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，

120(x1)8240120(x1)120，120x9.2乙走了8厘米，于是

9.28120x240120x120．9.222120824008解得7x8．因x是整数，所以x=8，即经过==104秒时，

339.22323甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

12．答案：36 解：20132015的个位数字是7，

m所以可设M10k7，其中k是m位正整数，则N710k．

7(10m4)由条件N=4M，得710k=4(10k7)，即k．

39m当m=5时，k取得最小值17948．所以T=179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)

解：（1）由B（0，4）得，c=4．

G与x轴的交点A（b，0）， 2a由条件acb，得

bbcc，所以=2，即A（2，0）． a2a2

所以b4a,a1,解得

4a2b40.b4.

所求二次函数的解析式为yx24x4．

（2）设图象L的函数解析式为y=3x+b，因图象L过点A（2，0），

所以b6，即平移后所得一次函数的解析式为

y C y=3x6．

令3x6=x4x4， 解得x12，x25．

B 将它们分别代入y=3x6， 得y10，y29．

D A O （第13题）

x 所以图象L与G的另一个交点为C（5，9）． 如图，过C作CD⊥x轴于D，则 S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD -S△ABO =

2111(49)53924=15． 22214．(12分)

证明：延长BA、EC，设交点为O，则

四边形OADC为平行四边形． ∵ F是AC的中点， ∴ DF的延长线必过O点，且∵ AB∥CD， ∴

DG1． OG3MNAN． PNDNE Q ∵ AD∥CE，

C P G F

N A

M

D

O B

PQCQ． PNDNMNPQANCQ∴ PNPNDNDNANCQ=．

DNDNDG1， 又

OQOG3∴

∴ OQ=3DN．

∴ CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD，AN=AD -DN， 于是，AN+CQ=2DN， ∴

15．(14分)

解：不能．

理由：设继Pi点涂成红色后被涂到的点是第j号，则

j=MNPQANCQ=2，即 MN+PQ=2PN． PNPNDN2i,2i2007,

2i2007,2i2007.若i=2007，则j=2007，即除P2007点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i2007，则2i2007，且2i4014，即2i-20072007， 表明P2007点永远涂不到红色．

16．(16分)

解：（1）设x1，x2，x3，…，x1007是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．

首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，

每对数记作(m，2009-m) ，其中m=1，2，3，…，1004．

因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，

因此至少有3对数，不妨记为(m1，2009m1)，(m2，2009m2)，(m3，2009m3) (m1，m2，m3互不相等)均为x1，x2，x3，…，x1007中的6个数．

其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k) ，其中k=1，2，…，1003．

2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是x1，x2，x3，…，x1007中的4个数，不妨记其中的一对为(k1，2008k1)．

又在三对数(m1，(m1，m2，m3互不相2009m1)，(m2，2009m2)，(m3，2009m3)，等)中至少存在1对数中的两个数与(k1，2008k1)中的两个数互不相同，不妨设该对数为(m1，2009m1)，

于是m12009m1k12008k14017． （2）不成立．

当n1006时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：

1003 ，1004，…，2008，

则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017； 当n1006时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017． 所以n1006时都不成立．