【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域:
(1)y=312x(2)y=2x21(3)y=33x1
解 (1)定义域为{x|x∈R且x≠2}.值域{y|y>0且y≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为{|y|y≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,
∴值域是0≤y<3.
1.指数函数Y=ax (a>0且a≠1)的定义域是R,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0)
3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如
图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[ ]
A.a<b<1<c<d
B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b
解 选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小:
(1)2、32、、88、916的大小关系是:(2)0.645132()2.
(3)4..1________3.73.6
解(1)∵22,322,2,882,9162,函数y=2x,2>1,该函数在(-∞,+∞)上是增函数,13241又<<<<,∴32<88<<916<2.38592132解 (2)∵0.6>1,1>(),2 413∴0.65>()2.2451213253849
解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4..1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6
∴ 4..1>3.73.6.
说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4..1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3).
例题4(中档题)
解 (3)利用翻折变换,先作y=2|x|的图像,再把y=2|x|的图像向右平移1个单位,就得y=2|x-1|的图像(如图2.6-6).
解 (4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)
例6(中档题) : 用函数单调性定义证明:当a
>1时,y = ax是增函数.
【解析】设x1,x2∈R且x1<x2,并令x2 = x1 + h (h>0,h∈R),很独特的方式 则有ax2ax1ax1hax1ax1(ah1), ∵a>1,h>0,∴ax10,ah1, ∴ax2ax10,即
故y = ax (a>1)为R上的增函数,
同理可证0<a<1时,y = axax1ax2是R上的减函数.
例题7 中档题)
指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析) 二次函数为内层函数,指数函数为外层函数 3x2-5x+6【例6】求函数y=()的单调区间及值域.43u2解 令u=x-5x+6,则y=()是关于u的减函数,而u=x2-5x4
55+6在x∈(∞,]上是减函数,在x∈[,∞)上是增函数.∴函数22 3x2-5x+655y=()的单调增区间是(∞,],单调减区间是[,∞).4225211又∵u=x-5x+6=(x)≥,2443u1函数y=(),在u∈[,∞)上是减函数,44
43x2-5x+6108所以函数y=()的值域是(0,].432
变式1 求函数y=(1)
2x22x的单调区间,并证明之.
解法一(在解答题):在R上任取x1、x2,且x1<x2,
12()x22x2y11则2=2=()(x2-x1)(x2+x1-2) 【()为底数,红色部分为指数】 ,
1x122x122y1()2∵x1<x2,∴x2-x1>0.
当x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,则1.
∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单调递增.
当x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即1.
(此处点评:上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性)
∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调递减.
综上,函数y在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
合作探究:在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.
解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性):
设:ux22x
y2>y1y2<y11则:y
2对任意的1x1x2,有u1u2,
u1又∵y是减函数
2
∴y1y2 ∴y
u12x22x在[1,)是减函数
对任意的x1x21,有u1u21又∵y是减函数
2∴y1y2 ∴yu
x22x12在[1,)是增函数
u1在该问题中先确定内层函数(ux22x)和外层函数(y)的单调情况,再
2根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.
变式2 已知a0且a1,讨论f(x)a指数x3x2(x)2x23x2的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题,
3223317,当x≥时是减函数,x≤时是增函数,
224而f(x)的单调性又与0a1和a1两种范围有关,应分类讨论. 【解析】设ux3x2
2317(x)2,
24则当x≥
33时,u是减函数, 当x≤时,u是增函数, 22又当a1时,yau是增函数, 当0a1时,yau是减函数,
所以当a1时,原函数f(x)ax增函数.
当0a1时,原函数f(x)ax函数.
223x2在[,)上是减函数,在(,]上是
32323x2在[,)上是增函数,在(,]上是减
3232【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数; ;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义域.
第二课时
例题8:(疑难题)指数函数与二次函数的复合函数
换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)
11【例7】求函数y=()x()x+1(x≥0)的单调区间及它的最大值.42111131解 y=[()x]2()x1[()x]2,令u=()x,∵x≥0,
22224211∴0<u≤1,又∵u=()x是x∈[0,+∞)上的减函数,函数y=(u)2223111x1在u∈(0,]上为减函数,在[,1)上是增函数.但由0<()≤4222211x1x1x得x≥1,由≤()≤1,得0≤x≤1,∴函数y=()()+1单调增
2242区间是[1,+∞),单调减区间[0,1]当x=0时,函数y有最大值为1.
内层指数函数u=(1/2)x为减,当u在(0,1/2】时,此时外层二次f(u)为减函数,即x在【1,正无穷大),,则复合函数为
增(画草图分析法)
点评:(1)指数函数的有界性(值域):x2≥0; ax>0
(2)上述证明过程中,在两次求x的范围时,逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。
变式: 求(3)y4y4x2x11xx2x2x2x11的值域.
解 xR y(2)221(21), 且20,y1.
故y421的值域为{y|y1}.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.
xxx1
例题9 (中档题)分式型指数函数
a1【例8】已知f(x)=x(a>1)
a1x
(1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域;
(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
解 (1)定义域是R.
ax1ax1f(-x)=xx=-f(x),
a1a1∴函数f(x)为奇函数.
ax11yy1(2)函数y=x,∵y≠1,∴有ax=>0-1<y<1,
y11ya1
反函数法,用指数函数值域 即f(x)的值域为(-1,1).
(3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1<x2. f(x1)-f(x2)
axl1ax212(axlax2)=x1x1=x,∵a>1,x1<x2,ax1<ax2,(ax1+1)xala2(al1)(a21) (ax2+1)>0,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.
变式1 设a是实数,
f(x)a
证明:设
2(xR)试证明对于任意a,f(x)为增函数; x21
x1,x2∈R,且 x1x2
则
f(x1)f(x2)
22(ax)(ax)
2112212(2x12x2)22xxx 22121(211)(2x21)由于指数函数y=2在R上是增函数,且
xx1x2,
所以 2x12x2即2x12x2<0, 又由 2 >0得 2+1>0, 2x+1>0
x2x1所以f(x1)f(x2)<0即f(x1)f(x2)
因为此结论与a取值无关,所以对于 a取任意实数,f(x)为增函数
例题10(中档题) 抽象函数
例题10 变式1(疑难题)
第三课时
复合函数
作业课本: 课本P 习题
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