浅谈SPH方法在非牛顿自由表面流中的应用

浅谈SPH方法在非牛顿自由表面流中的应用①②

蒋涛

(扬州大学数学科学学院 江苏扬州 225002)

摘　要：光滑粒子动力学(SPH)方法是一种纯无网格粒子方法，目前已广泛应用于非牛顿流体流动问题。该文在探讨了光滑粒子动力学方法应用于非牛顿流体流动问题的研究现状的基础上，分析了该方法数值模拟中存在精度低和张力不稳定的问题及产生原因，并提出了相应的解决方案。关键词：光滑粒子动力学 非牛顿 数值模拟 张力不稳定

文献标识码： 中图分类号:O35 A

文章编号：1674-098X(2014)07（a）-0250-02

1 光滑粒子动力学方法应用简介

光滑粒子动力学(Smoothed Particle Hydrodynamics,SPH)方法是一种基于Lagrange描述的纯无网格粒子方法。它不需要使用任何网格，而是将连续体离散成有限个粒子，这些粒子携带所有物理量（密度、压力、速度、温度等）的信息。其次通过核函数将连续介质的控制方程转化为积分形式。这样整个流场变成了一系列粒子的表达，每个粒子的物理量都由周围粒子的物理量插值得到。

SPH方法最初由Lucy[1]、Gingold和Monaghan[2]提出并用于求解三维开放空间天体物理问题。1994年，Monaghan

[3]

现以下几方面[4,7-8]。2.1 数值精度低、稳定性差

SPH方法在粒子分布均匀的区域内具有二阶精度，但在粒子分布不均匀区域或边界处至多具有一阶精度。经研究发现，SPH方法精度低的主要原因是：在粒子分布不均匀区域，某流体粒子影响域内的粒子数比较少；而对于边界附近，流体粒子的影响域被边界截断，边界外不存在粒子，从而出现比较严重的粒子缺失现象。而流动过程中必然出现粒子分布不均匀的情况。提高SPH方法的精度成为促进SPH方法进一步发展的重要因素。

方法的推广与发展。因此，对SPH方法的改进有着重要的理论意义和应用价值。

针对传统SPH方法数值精度低的问题，众所周知，核函数W在SPH方法中

扮演着举足轻重的角色。因此，本文借助Taylor展开方法[4,8]，在核函数导数的左侧乘以一个修正矩阵，且此修正矩阵中不需要求解核函数导数，以此来提高SPH方法的数值精度，即

∇CRij∇iWijiWij=

其中

=(Bs)−1，Rij

首次将SPH方法用于自由表面流的数值模拟。随后，许多学者运用SPH方法对牛顿流体的自由表面流动问题[4-5]进行了模拟研究，大大推动了SPH方法在流体力学领域的发展。目前，SPH方法在聚合物自由面方面的研究也取得了一定进展。2005年，Ellero和Tanner[6]运用SPH方法模拟了低Reynolds数下粘弹性熔体剪切流动问题。2007年、2008年Rafiee[6]运用SPH方法模拟了非牛顿熔体的自由表面流问题。上述研究均是对简单流动进行研究。2006年，Fang等人[6]首次采用SPH方法研究了粘弹性液滴落到刚性固壁上的复杂流动问题，讨论了SPH方法中的人工应力参数的选取。2012年，本文作者等[6]对传统SPH方法进行改进的基础上研究了聚合物自由面问题。2010年，Fan等人[6]首次运用SPH方法研究了高粘性幂律流体的充模问题。

总之，随着计算机技术的快速发展，SPH方法在聚合物流动问题中的应用越来越广泛。

NmNmjj

xxWyjixjiWij∑∑jijiij2.2 压力振荡严重ρj=j1ρjj1=s

B=SPH方法虽然在模拟自由表面流动问NmNm

jj

WWxyyy题中具有优势，尤其是对于大变形问题。然∑jijiijjijiij∑ρρ=1=1jjjj

而，由SPH方法得到的压力却存在严重振

针对压力振荡严重的问题，本文考虑结荡。这是因为：除了上述SPH方法数值精度

比较低的原因，另一个原因就是弱可压SPH方法中始终采用压力状态方程来求解压力。虽然有学者针对此问题提出了改进措施，如Colagrossi[6]采用密度初始化方法、耗散项方法等在一定程度上改善了压力振荡的情况，但是上述方法始终采用压力状态方程来求解压力，无法从根本上解决压力振荡问题。2.3 存在张力不稳定

张力不稳定性或称“拉伸不稳定性”，该术语来源于传统SPH方法求解固体力学中材料拉伸问题时出现的一种非物理粒子簇集现象[7]。许多学者[6]在固体变形问题的分析，但迄今为止关于张力不稳定性产生的本质原因没有一个统一的理论分析，也未能够提出普遍应用的克服方法。目前，应用比较广泛的克服张力不稳定性的方法是Monaghan和Gray等人[6]提出的人工应力法。

数值模拟中对其出现的原因进行了研究和

ij

合不可压缩SPH方法和弱可压SPH方法的优点，借助于有限差分方法的思想，对压力进行迭代求解，直至求得的压力计算得到的密度与初始密度的误差在允许范围之内时，迭代终止。

针对张力不稳定性问题，本文根据Swegle等人[7]提出的张力不稳定性结论，给出了一种容易施加的人工应力方法，其具体离散形式为

=Sijαβfijn(Riαβ+Rαβj)=fijWijri−rj,hWij(dh式中，n≈4，

)W(d,h)，满足下面公式

0

()Ri2bi, Wiji0 j 0, Wi0ijj其中，b为一个正常数(02 光滑粒子动力学方法中存在的缺点

与其他方法相比，SPH方法也是计算流体力学领域中一种较新的数值方法。随着应用范围越来越广，SPH方法的一些缺点也逐渐显现出来。SPH方法的缺点主要体

 流体的应力张量分量，核函数的二阶i为

αβαβ。上述人导数分量为ijijii

W′′

=(∂W∂x∂x)3 解决方案

上述SPH方法的缺点严重限制了SPH

工应力方法离散的形式比已有的人工应力

（下转252页)

①基金项目：获江苏省自然科学青年基金资助，项目编号：BK20130436。

②作者简介:蒋涛(1978—)，男，汉族，扬州大学教师，博士学位，研究方向为“科学工程计算、无网格方法算法研究及复杂流动问题模拟”。

科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald

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践平台。

加强指导；最后，就是加强开设“研讨课”改进课堂教学模式，课堂教学无疑是拔尖创新人才培养环节中最基本、最重要的环节，大学课堂不仅仅是学生接收知识的地方，大学生更需要在课堂上得到启发，才能不断培养探索、质疑、批判的科学精神。

（4）不断完善师生创新的评价激励机制，营造人才成长良好环境。在人才培养过程中，有效的管理机制是确保人才成功培养的保障。地方院校应尽快完善鼓励教师投身教学、激励学生实践创新的机制来保障教学相关各环节的有效实施。首先是，制度上要激励教师教学的积极性。地方院校要切实地把培养学生成才作为首要考核内容，加强研究教学效果评价，通过制定可行的考核标准和考核细则，让课堂效果能量化的反映在考核成绩中，努力提高教师的积极性，让他们以教学为乐，以教学为荣，自觉履行老师应有的职责，做到“有激情”、“有水平”、“肯投入”。其二就是努力营造宽松的教学环境，促进学生创新的积极性。在日常管理方面创造宽松的氛围，尽可能不让他们疲于各种检查、评比事务中，对于特别优秀的学生，学生的管理中应有个性化，给有特长学生自由发展的空间。学校对创新人才的考核上，应该侧重过程的考核，还可以有一定个性化的灵活考核，着重强调学生在学习、研究过程中体现出来的创新性和发展潜力，通过鼓励学生提出问题，重视培养学生发现问题、解决问题的能力，通过考核引导学生独立思考、积极创新，培养学生良好的学习习惯。专业课程的考核内容可以更多注重考核实验、考核科研为主，考核的形式应该多样化。其三就是在创新人才的综

合素质评价指标中，可以适当提高创新活动所占的比重，让优秀学生多出的创新成绩，从而更好地引导更多的学生参与创新的积极性。有条件的地方院校应该多设立奖励和多制定激励办法，让创新能力强的学生起到模范带头的作用。

（5）提供拔尖人才学习交流发展的平台。地方院校的拔尖人才应该更重视应用型的拔尖人才培养，参与高水平实践训练是最直接最有效的培养方式，应该多提供机会让他们多参加高水平讲座，多接触学术前沿。地方院校应设立此方向的资金，用于聘请专家开展讲座或资助拔尖创新学生参与高水平学习交流，拓展他们的学术、实践视野。让学生明确培养目标和培养思路，运用好实践平台进行实战训练。玉林师范学院通过进一步完善课堂“知识、能力、素质并重”的教育理念，加强了专业课程实践，更好地培养学生的高尚人格，也在不断完善创新创业能力训练和结合地方性的特点进行开放性知识结构的培养。其次，学校为了让拔尖创新班的学生有明确奋斗目标和强烈竞争意识，加强了导师责任机制，促进导师有效地指导，使学生明确目标要求，针对自己特点，制定科学合理的奋斗目标，充分利用好成长环境服务个人成长。再有，通过为拔尖班学生提供良好教学实践环境、资源和国院教育交流机会，能充分利用国际资源与学术网络，拓展人才培养合作与交流的渠道，为学校人才培养提供高水平的交流学习的机会，从而培养学生的有效学习方法和丰富成长经验，激发学生的热情、激情和创造力，使学生更加有效地进行学习，从而营造良好的学术环境、学习气氛和实

4 结语

玉林师范学院一直以来以培养“下得去、留得住、有作为”的优秀师范专业人才为主，很好地结合了地方特点进行应用型人才的培养，如今又以创新人才培养实验班为例开展地方拔尖创新人才的研究和实践，有一定的基础，本文就是在学校教学改革项目（《地方院校大学生拔尖创新人才的素质拓展模式研究与实践探索—— 以玉林师范学院为例》）支持研究的范围，开展实验班相应的研究可以有效地推进班级教学和管理，为地方拔尖人才培养、地方同类院校创立拔尖创新专业人才培养提供一定参考和借鉴。

参考文献

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育创新[J].大连理工大学学报:社会科学版,2005(1).

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改革[J].中国教育报,2011(6).

(上接250页）

形式简单，且同时考虑了拉伸与压缩两种情况引起的不稳定。

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hydrodynamics stability analysis[J].Journal of Computational Physics,1995, (116):123-134.

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4 结语

本文首先对SPH方法应用于聚合物流动问题的研究现状进行了阐述，然后根据相关文献及作者的数值模拟经验分析了运用SPH方法模拟聚合物流动问题时存在精度低和张力不稳定性问题及产生的原因，最后针对存在的问题，提出了相应的解决方案。

参考文献

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[2] R.A.Gingold,J.J.Monaghan.

Smoothed particle hydrodynamics

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