一、选择题1．函数zA．x
2
lnx
2
y
2
2
2
4x
2
y的定义域为【
2
2
D】x
2
y
2
2 B．xy
2
4 C．xy
2
2D．2y
2
4
解：z的定义域为：
x4
2
yx
2
2
2y
2
00
2x
2
y
2
4，故而选D。
2．设f(x)在xA．f(x)在xB．f(x0
0)
x0处间断，则有【D】x0处一定没有意义；f(x
f(x)0); (即xlimx
0
limf(x))；
xx0
limf(x)不存在，或xlimf(x)C．xxx
0
0
；
x0时，f(x)【B】
． 0
f(x0)不是无穷小
D．若f(x)在x3．极限limnA．
14
1n
2
x0处有定义，则x
2n
2
3n
2
nn
2
B．
12
C．1 D
解：有题意，设通项为：
Sn1n
2
1n
2
2n
2
nn
2
n
n12
n12n112
2n
1n
2
原极限等价于：limn
2n
2
nn
2
lim
n
12
12n
12
4．设ytanx，则dy
2
【A】
A．2tanxsec2xdx BC．2secxtanxdx D
2
．2sinxcosxdx．2cosxsinxdx
2
2
解：对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。y'
tanxdtanxdx
22
2tanx
2tanxsecx所以，
dydx
2tanxsecx，即dy
2
2tanxsecxdx
2
5．函数y
(x2)在区间[0,4]上极小值是【
．2
D．0
2
D】
A．-1 B．1 C
解：对y关于x求一阶导，并令其为0，得到2x2解得x有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。6．对于函数fx,y的每一个驻点C
fyyx0,y0，若AC
B
2
0；
x0,y0，令Afxxx0,y0，Bfxyx0,y0，
0，则函数【C】
A．有极大值 B．有极小值C．没有极值 D．不定【C】yx
fx0,y0
7．多元函数fx,y在点x0,y0处关于y的偏导数fyx0,y0A．lim
x0
fx0
x,y0
x
fx0,y0
yy
fx0,y0fx0,y0
B
．lim
x0
fx0
x,y0
C．lim
y0
D
．lim
y0
fx0x,y0
y
y
fx0,y0
8．向量a与向量b平行，则条件：其向量积ab0是【B】A．充分非必要条件B．充分且必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件9．向量a、b垂直，则条件：向量a、b的数量积ab0是【B】A．充分非必要条件B．充分且必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
b、c两两相互垂直，且a10．已知向量a、
1，b2，c3，求ab．8
ab
【C】
A．1 B
．2 C．4 D
解：因为向量a与b垂直，所以sina,bab
ab
1，故而有：
aa-ab+ba-bb2ba
2basina,b22114
11．下列函数中，不是基本初等函数的是A．y
1e
x
【B】
sinxcosx
B．y
2
lnx是由y
lnx
2
C．y
2
D．y
3
x
5
解：因为ylnu，u
x复合组成的，所以它不是基本初等函数。
12．二重极限A．等于0 解：
lim
xy
2
lim
xy
00
xyx
2
2
y
4
【D】
1
C．等于D．不存在
2
B．等于1
2
k
4
xkyy0
x
2
y1k
2
与k相关，因此该极限不存在。
13．无穷大量减去无穷小量是【D】A．无穷小量B．零C．常量D．未定式解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。
所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。14．limx0A．1
1cos2xsin3x
1
3
22
【C】C．
29
B．
D．
19
解：根据原式有：limx0
2sinx4sinx3sinxe(sinxxcosx)
x3
2
4
2
16sinx24sinx9
【D】
2
29
15．设yA．e(sinx
x
xcosx)，则y'B．xesinx
x
C．e(cosx
x
xsinx)
D．e(sinxxcosx)
x
xesinx
x
解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。ye
xxx
e(sinx(sinx
x
xcosx)
xcosx)e(sinxxcosx)
e(cosxcosx
x
x
e(sinxesinxy
xcosx)xsinx)
xsinxxcosxxcosx)
xesinx
x
e(sinx
x
16．直线L1上的一个方向向量s1s1
m1,n1,p1，直线L2上的一个方向向量
m2,n2,p2，若L1与L2平行，则【B】
n1n2
p1p2
1B．
m1m2
n1n2
p1p2
A．m1m2
C．m1m217．平面n2
n1n2p1p2
0 D
n1
．
m1m2
n1n2
2
p1p2
1
1
上的一个方向向量
1
A1,B1,C1，平面
上的一个方向向量
A2,B2,C2，若
B1B2
C1C2
与
2
垂直，则【C】
．
A1A2A1A2
B1B2B1B2
C1C2C1C2
1
A．A1A2
1 B
C．A1A2
B1B2C1C2
0 D．
18．若无穷级数
n1
un收敛，而
n1
un发散，则称称无穷级数
n1
un【C】
A．发散 B．收敛C．条件收敛 D19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】A．x
2
．绝对收敛
ay By2b
2
．x
2
ay
2
xC．2
a
2
1 D
x．2
a
2
y2b
2
1
20．设D是矩形：0A. ab B.
xa,0y
b，则
D
dxdy
【 A 】
kab
2ab C.
k(ab) D.
解：关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。由题意知：0
x
a,0
y
b，则：
D
dxdy
a0b0
ab
21．设fxA．x B解：由于f(x)
将f(x)
x1，则ffx
．x1 C
x
1，得
1
【D】．x
1)
2D．x
31＝f(x)x
3
2
f(f(x)(f(x)1)
1)
2
x1代入，得f(f(x)
1)=(x
22．利用变量替换uA．u
zu
z
x,v
z
，一定可以把方程x
xx
yzv
u
x
z
yy
z化为新的方程【A】 D．v
zu
z
B．v
z
C．u
yx
zv
z
解：z是x，y的函数，从又因为
u
x
，v
可得xu，yuv，故z是u，v的函数，
，v
yx
。
zxxzuzu1u
zvxzu
y
2
所以z是x,y的复合函数，故左边=x
zx
yzy
xzuuzuyzxvz
yzxv
，
zy
zu
0
z1vx
，从而
因此方程变为：
x2
23．曲线yA．
12
e在点(0,1)处的切线斜率是【A】
．
12
x
B
x
12
e C
．2 D
．e2
1
解：y
e
2
e2。
x
12
所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：e
2
x0
12
24．lim
n
23
nn
【 A 】
1423
A．0 B．解：因为0limn
23
n
C
1
n
．
13
D．
12
n
limn
23
n
23
0
，
所以lim
n
n
25．limx
sinxx1sinxx
【 C 】
C．0 D．1
sinx1有界，0
A．cosx解：因为所以limx
B．tanx
26．已知向量m3,5,8，n2,4,7，p5,1,4，求向量a4m3pn在
y轴上的投影及在z轴上的分量【A】
A．27，51 B解：Aa
43,5,8
．25，27 C
2,4,7
．25，51 D．27，25
5,1,4
43352,453125,27,51因此
Prjya
27，azk
4,48347
51k
27．向量a与x轴与y轴构成等角，与z轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是a的方向【C】A．C．解：C
设a的方向角为
、
、
，按题意有
24
，，
24
，，
42
B D
．．
4
，，
42
，，
82
=，由于即
=2cos
cos
2
cos
cos
2
cos
2
1
1
22
cos21
0
22
2
化简得到cos
2
2cos
2
解得因为
、
cos
0或cos
、都在0到，
，
的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：
或者
，
，
4422i
22i2j
28．已知向量a垂直于向量bai
2j7k
3j
k和c3k，且满足于
10，求a=【B】
kB．7i+5j+kk D
A．7i5jC．5i
3j
．5i+3j+k
解：B
因为a垂直于向量b和c，故而a必定与bc平行，因此
i
a
bc
21
j32
k13
7i
5j
k
又因为ai即：解得
2j7k
k
i
102j7k
10
7i5j
1，所以a
7i+5j+k
29．若无穷级数
n1
un收敛，且
n1
un收敛，则称称无穷级数
n1
un【D】
A．发散 B．收敛 C．条件收敛
x
1,0
y131，
D
D．绝对收敛【 D 】
30．设D是方形域：0A. 1 B.
12
xyd
14
C. D.
解：Dxyd
D
10
dx0xydy
1
14
1,1
xy
220,0
14
31．若fxA．1 B解：由于x
e
x
a
xx1
，x0为无穷间断点，x
1
1为可去间断点，则a【 C 】
．0C．e D
0为无穷间断点，所以(e
x
．e
a)
x0
0，故a1。若a0，则x
1
也是无穷间断点。由x1为可去间断点得ae，故选C。
f(x)g(x)
f(x)g(x)
0，
32．设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且则当a
x
b时，有【 A 】f(b)g(x) Bf(b)g(b) D
f(x)g(x)
A．f(x)g(b)C．f(x)g(x)
．f(x)g(a)．f(x)g(x)
,则F(x)
f(a)g(x)f(a)g(a)
f(x)g(x)
2
解：考虑辅助函数F(x)
f(x)g(x)
g(x)
0,
则F(x)严格单调减少函数.当x即有f(x)g(b)
b时,
f(x)g(x)
f(b)g(b)
,
g(x)f(b).应选(A).
33．函数函数y
x
23
5可能存在极值的点是【 B 】
A．x5 B．x0 C．x1 D．不存在
解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。当x=0时，函数取得最小值y=5。34．y
xtanx3secx，则y'
【 D 】
A．tanx3secxtanxC．xsecx3secxtanx解：y
2
B．tanxxsec2x
D．tanx
xtanx
xsecx3secx
2
3secxtanxtanx
xsecx3secxtanx
2
xtanx3secx
35．设yA．(sinC．(sin
1x1x
xsin
1
x11cos)dxxx11cos)dxxx
，则dy
【 C 】
1x1x1xsin1x1x)dx
B．(cos D．(cos
1x
sin)dx
解：对y关于x求一阶导有：y
1xsin
x
(sin
1(sin
x
1xyk
1
11cos)xx
1
dy
dx
所以，dy
cos)dxxxy4
0平行，则k等于【 A 】
36．设直线
x3
与平面2x9y3z10
A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 解：直线的方向向量为
3,k,4，平面的法向量为
0。
2,9,3。
因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为
即：329k340得到：k2
37．若f(x,y)
2x
2
y，则f'x(1,0)【 A 】
1
A. 4 B. 0 C. 2 D. 解：因为fxx,y所以fx1,0
2x
2
y
x
4x
414
38．f'x(x,y)和f'y(x,y)在点(x0,y0)连续是f(x,y)在点(x0,y0)可微分的【A 】A.充分条件 B.
必要条件 C.
z
充要条件 D.fx,y的偏导数
zx,
无关条件zy
在点x,y连续，则
解：由定理直接得到：如果函数函数在该点的全微分存在。
39．在xoy面上求一个垂直于向量aA．
2715,1715
,0 B
．
5,3,4，且与a等长的向量b=【D】2517,1517,0
C．
1715
,
2715
．,0D
1517
,
2517
,0
b，所以有：
解：由题意设向量b
ba
x
2
x,y,0，因为a垂直于b且a
，即：
2517
5x3yx
2
05
2
050
y
2
0
2
31517
2
4
2
y
2
由以上方程解得x
15
，y，x，y同号
1517
2517
故而所求向量b
17
dydx
3
,
2517
,0或者b
,,0
40．微分方程xA.
x
3
y
x的通解是【 B 】
3
cx
4
B.
y1x
x
2
x
3
cx C.
y
y
x
x
x
3
2
2
c D.
x
3
4
cx
dy
解：x
dx
令px
，qx
pxdx
x
2
由一阶线性非齐次微分方程的公式有：y
CeCxx
3
pxdx
e1dxx
qxe
pxdx
dx
xxCx
2
2
二、判断题1．
y1,y2是齐次线性方程的解，则
fy,y（不显含有
C1y1C2y2也是。（
ypdpdyp，则y
p。（
））
2．y
x），令
y
解：根据微分方程解的性质得到。
b
3．对于无穷积分，有4．fx在
fxdx
f
t
limx0
bt
fxdx。（0，若：当x
）x0时，f
x
0；当x
x0
x0的邻域内可导，且
时，f
x
0。则
x0为极小值点。（
）
解：根据极值判定定理第一充分条件，
x0为极大值点。
5．fx在a,b上连续，在a,b上有一阶导数、二阶导数，若对于x
a,b,f
x
0,则fx在a,b上的图形是凸的。（2x
2
）
6．二元函数z解：原式中x2同样，y
2
y的极大值点是
2
0,0。（）
0，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；
0，当且仅当y=0时，取到极小值0 。
所以，函数的极小值点位于（0，0）7．设z
arctanxy，其中y
e，则
x
dzdx
1。（）
解：直接求微计算：dz
dx11y1
darctanxy
dxy1xy1xyxexy
2x22
dxydx
yy
dyxdxxe
x
8．设V由0x1，0
y
1，0z1所确定，则
v
dv1。（）1。
解：由题意得到积分区域V为各向尺度为1的立方体，其体积即为9．函数z
lnx
lny的定义域是
x,y|x0,y
xy
0,y0。（）
解：由对数定义得到
xy
x,y|x
zx
0。
10．设z11．(
)
xe，则1xye。（）
C1y1
C2y2是方程的通解。
y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则
12．齐次型微分方程13．对于瑕积分，有
dxdy
ba
xyfxdx
，设vlim
a
bt
xy
，则
dxdy
vy
dvdy
。() ) 0，当x
x0
t
fxdx，其中a为瑕点。(0，若：当x)
x0时，f
x
14．fx在x0的邻域内可导，且f时，f
x
0。则
x0(
x0为极大值点。
解：根据极值判定定理第一充分条件，
x0为极小值点。
fx的内点，如果曲线y
x0,fx0
15．设y点x0,fx0
f(x)在区间
I上连续，
x0是
f(x)经过
)
时，曲线的凹凸性改变了，则称点
x,y|0
x1,0
y
为曲线的拐点。(
）
16．设D是矩形区域
3，则
D
dxdy1 （
解：显然该积分表示长为17．若积分区域D是1解：1x
2
3，宽为1的矩形面积，值应为3。x
2
y
2
4，则
D
dxdy
3。（）
dxdy是
D
y
2
4是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式
在圆环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。原式=
4
2
1
2
3x
4
2
18．设V是由z
fzdxdydz
v
y，1
e1。（
20
1
2
z
4所确定，函数fz在1,4上连续，那么
）
r
2
解：
v
fzdxdydz
dt0redr
4
e1。
v
2b
v3c
vvvv
0，则三个向量a,b,c共面。
v
19．设不全为0的实数1，2，3使1a
（）
6xC2y2
x
2
20．二元函数z21．若y解，
C1y1
4yy
2
的极大值点是极大值f3,236。（）
y为非齐次方程的通解，其中
*
y1,y2为对应齐次方程的
y
*
为非齐次方程的特解。()
y1与y2必须是线性无关的解，
y是其特解。
*
解：根据齐次线性方程解的性质，
22．若函数fx在区间a,b上连续，则(
)
a,b，使得
ba
fxdxfba。
23．函数fx在24．fx在极大值点。(
fx25．若limxa
x0点可导
ff
x0x0
f
x0。(
x0
) 0。若f
x0
0，则
x0处二阶可导，且
)
，则x
0，f
x0为
a为一条水平渐近线。(
x
)
解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，26．设
表示域：x
2
a为一条铅直渐近线。
）
y
2
z
2
1，则
（zdv1。
解：由定义得知表示以原点为中心，半径为1的正球体，故而z轴方向关于球体的积分值为0。27．微分方程y解：y'ydydx
y
0
x
ye的通解为y
x
1xe2
ce。（
x
）
e对应的线性一阶齐次方程是：dyy
dx
yCe
x
结合原方程，等式右边项含
y
Cxe
x
x，所以通项公式为：
将通项公式带入原式，得到：
dydx
dydx
x
Cxey
x
x
Cxe
x
代入
e，得到：
x
CxeCxe
x
ye
x
CxeCxCx
e
x
x
eedxC12xe2
C
12
12
x
最后得到：y
e
2x
Ce
x
e
x
Ce
x
v
28．设a
v
3，b
v5，c
vvv
4，且满足abcvvvvvv
0，则abbcca
v
6。（）
解：经计算向量积得到模值为29．z
lnx
y2x
36。4x2x
2
,则
zx
1y
x
。（）
fx,ydxdy
D
30．设D为O0,0，A1,0与B0,1为顶点三角形区域，dx
0
1
x0
（fx,ydy。
）
为非齐次方程的通解，其中
）
y1与y2必须是线性无关的解，
y是其特解。
*
31．若解，
y
*
C1y1C2y2
y
*
y1,y2
为对应齐次方程的
y
为非齐次方程的解。（
解：根据齐次线性方程解的性质，
32．若Fx为fx的一个原函数，则33．函数可微
可导，且dy
fx0x0
x
ba
fxdxf
FbFa。（）x0
）
x0dx。（x0
0。若f
34．fx在x0处二阶可导，且f
0，f
0，则x0为
极小值点。（）
解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。
fx35．若limx
b，则y
b为一条铅直渐近线。（
y
）
解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，36．二元函数z
3
x
2
b为一条水平渐近线。
）
y
2
的最小值点是0,0。（
解：因为原式中x2同样，y
2
0，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；
0，当且仅当y=0时，取到极小值0 。
所以，函数的极小值点位于（0，0）37．微分方程yaxbsinx
y
2sinx的一个特解应具有的形式是
cxdcosx。（
2
）
10，w1。
解：原微分方程的特征函数是：得到两个无理根：
i。
即iw是特征根。因此，特解的形式为：
y
*
(axb)sinx(cxd)cosx
2
38．设z
xlnx
y，则
z
xxx
y
xy
2
2
xy
（）
解：经计算得到微分表达式。
39．微分方程y2y2y
e的通解为y
x
abxe
x
（cxe。
2x
）
解：由微分方程通解求解准则直接得到。40．设V由x则k
143
y
z
k，0
x
1，0
y
1，z
0所确定，且
v
xdxdydz
74
，
。（）
解：变换积分方程即可求得。
三、填空题
sinxx
2
2
1．若y
210
xx
02
，则y()
2
。
解：1
4
2
2
x
2
1.57，因此y
22
11
4
。
2．求y解：
1
arcsinx的导数y。，故
则：
1x
2
此函数的反函数为
3．设y
arctan
1x
，则dy
。
解：dy
y
arctan
111x
11x
2
dx
11dx1x
2
1x
2
1x
2
dy1
dx
所以，dy
x
2
4．设a解：3i
ik,b2i3jk,求ab。
3ji
3kj03
k11
3i
3j
3k.
由ab12
5．将函数f(x)解：f(x)
13n
0
2
n
x
2展开成x的幂级数是xx
n
。
12
n
(1)x,1x1
(2
11
n
x)(x1)
1
x2
n0
2132x1131x
11(
x312
11x
)
因为：
2
n
x,
n
2x2
而且：
11x
n0
(1)x,
nn
1x1
所以，f(x)
13
n0
12
n
x
n
n0
(1)x
nn
13n
0
12
n
(1)x,
nn
1x1
1xsin
6．极限xlim
x0
sinx
解：0
2
。
1xsin
x
limx0
sinx
2
lim(xsinx0
1x
xsinx
)
limxsinx0
1x
limx0
xsinx
010
7．求lim
x
3x
33
4x
22
23
7x5x
。
解：
37
8．lim
x解：1
x
22
3x2sinxx
2cosx
x
。
x3x2sinx
原式：lim2x
xx2cosx
2
原式分子sinx有界，分母cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。
这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。
9．设ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,1,3)，求三角形的面积是
2解：
3
6
ABC的面积S{3,1,1}
12|AB
AC|.
。
由向量的模的几何意义知
因为AB
{2,3,1},AC
i
得ABAC
jk
2i
j
7k，所以
2
63
2 3 13 1 2
|ABAC|2
2
1
2
7
2
5436。于是S
10．无穷级数
n0
(1)
n
12
n
(n
2
n1)的和是。
解：
2227
12
n
先将级数分解：
A
n0
(1)
n
(n
2
n1)
n0
(1)
n
12
n
n(n1)
n0
(
12
).
n
第二个级数是几何级数，它的和已知
(
n0
12
)
n
11(
12)
23
.
求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察
(1)x
n0
n
n
11x
n
(x1)
S(x)
n0
(1)n(n1)x
12
n
n2
n0
(1)x
14(1212
nn
(
4
11x
)
23
(1x)
(1)
n0
n
n(n1)
S()22
2
11
)
3
27
因此原级数的和
A
427
23
2227
xaxb
11．已知lim2
x2
xx2
8解：a2，b
由所给极限存在知, 4
2
2，则a
_____，b
_____。
2ab
0, 得b
2a
4,
又由lim
x
x
22
axx
b2
2
x
limx2
xx
a1
2a3
4
2, 知a
2,b
8。
12．已知y
x1x2x3x4
，求y。
1解：
2
x1x2
1x1
1x2
1x3
1x4
x3x4
先两边取对数再两边求导
因为
所以
13．(2cosxcscx)dx解：2sinxcotxC直接积分就可以得到：
(2cosx
cscx)dx
2
2
。
2cosxdxcscxdx2sinxcotx
2
C
14．求平行于z轴，且过点M11,0,1和M22,1,1的平面方程是解：x
y1
0
。
由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为：
Ax
By
0D
因为平面过M1、M2两点，所以有
AD2ABD解得A方程：x
00
D，以此代入所设方程并约去
D，BDD0，便得到所求的平面
y10
15．无穷级数
n1
(n1)!n
n1
的收敛发散性是。
解：收敛
因为：
unun
1
(n2)!
n2
n
n1
n(n2)
2
(n1)(n1)!(n1)
(1
11n
1)
n
e
1(n)
所以：无穷级数
n1
(n1)!n
n1
收敛
16．limx0解：
154
tanx
3
sinx
tan3x
。
17．计算广义积分解：
11x
2
dx
。
18．设y解：y
y
3
3
3
x(xcotx)cosx，则y'
1
4
3
。
1
1
2
43
xcosxxsinx
3
13
2
x
3
cotxcosxxcscxcosx
3
x3cosx
x(xcotx)cosx(x
2
x
3
cotx)cosx
3
x(xcotx)cosx
3
2
3
x(x
3
cotx)cosx
1343
x(xcotx)cosx
4
x(1cscx)cosx
13
2
x(xcotx)sinx
1
1
xcosx
3
xsinx
3
13
2
x
3
cotxcosxxcscxcosxx3cosx
19．幂级数
n1
(1)
n1
(1
1n(2n1)
)x
2n
的收敛区间是。
解：(1,1)
此级数是缺项的幂级数令un(x)
(1)
n1
(1
1n(2n1)
)x
n1
n(2n1)1n(2n1)
x,n
2n
1,2,
因为lim
n当x2
un1(x)un(x)
limn
(n1)(2n1)1(n1)(2n1)
n(2n1)n(2n1)1
x
2
x
2
1，即x1时，级数绝对收敛；当x21，即x1时，级数发散。
所以幂级数的收敛区间为(1,1)
20．幂级数
n
(1)x
的收敛域是
n(2n1)1
n12n1
。
解：(1,1)
由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。设un(x)
(1)
n1
x
2n1
n(2n1)
lim
x
,n
x
1,2
n(2n1)1)
x
2n1
lim
x
un1(x)un(x)
2
2n3
(n1)(2n
x
2
当x当x
1，即x1时，原级数绝对收敛；1时，原级数发散。
1，收敛区间是(1,1).
2
1,即x
所以原级数的收敛半径为
四、解答题
1．圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？
解：由题意可知：为一常数，
面积
故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。
故：时，用料最省。
2．求I的区域。
V
xyzdV，其中V是由平面x
0，y0，z0及x
yz
1所围成
解：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把V投影到xoy平面上，求出投影域它就是平面x
y
z
.
1与xoy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域。
我们为了确定出对z积分限，在的直线，它与V上下边界的交
点的竖坐标：z
0与z1
0
固定点x,y，通过此点作一条平行于
z
x
y，这就是对z积分的下限与上限，
于是由积分公式得：I
其中
为平面区域：x
1xy
xyzdzd
0,x
y
1，如下图红色阴影部分所示：
0,y
再把域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：
3．求
Ix
2
y
2
d
，其中是圆环a
2
x
2
y
2
b。
2
解：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，坐标计算比较方便。
显然，这个二重积分化为极
把如下：
，ddd代入，即可转化为极坐标系的积分形式。
在对其进行累次积分计算：
4．求二重积分
Ix
2
y
2
d
，其中是由y
x,x1,y
2
0所围成的区域。
解：因为是正规区域，所以我们可先对这里我们采用前者
先对y后对x积分：
y后对x积分，也可先对x后对y积分。
5．求z解：设
x
3
y
3
3xy的极值。
，则
，
。。
解：方程组对于驻点(1，1)有
B
2
，得驻点(1，1)，(0，0)。
，故
3
2
AC66
27，A06
0
因此，
对于驻点(0，0)有
B
2
在点(1，1)取得极小值f(1，1)=-1。
，故
3
2
AC0090
因此，在点(0，0)不取得极值。
五、证明题
1．求证：当λ>1时，级数
证明：因为级数
≤绝对收敛。
为一绝对收敛级数。
而当λ>1时
收敛，故级数
收敛，从而
2．求证级数：
证明：
的和是1。
当n→∞时，Sn→1。所以级数的和是1。
1
e
3．求证：级数
n11
n
2
发散。
1，趋于一个常数，所以级数发散。
证明：因为lime
n
xlimx0
xy0
n2
4．求证：证明：令y
则limx0
y
0
y
y
不存在。
0,0。
kx随不同直线趋于
xx
yy
1k1k
它随k变化，故不存在极限。
5．求证方程
证明：不难发现方程左端
。
在0与1之间至少有一个实根。
是函数
的导数：
函数在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且
，即
。。
由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c，使也就是：方程
在0与1之间至少有一个实根。
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