成人高考数学试题(专升本)(最新整理)

高等数学

注意事项：

1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。2．答题前将密封线内的项目填写完整。

一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）

3ex,x01.若函数f(x)sinx在x0在处连续，则a（ C ）

a,x0xA. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解：由f(00)f(00)f(0)得a13a2,故选C.

sin2x参见教材P26，5. f(x)x3x22xk .2x0x0 在x0处连续，则k2.当x0时，与函数f(x)x是等价无穷小的是（ A ）A. ln(1x)

2B. sinx

C. tanx

D. 1cosxf(x)x2解：由limlim1,故选A.

x0ln(1x2)x0ln(1x2)参见教材P15,例19. 当x1时，与无穷小量(1x)等价的是（ A. 1x 3）B. 1(1x) 2C. 1(1x2) 2D. 1x3.设yf(x)可导，则[f(e)]=（ D ）A. f(exx) B. f(exxx)

xC. exf(ex) D. exf(ex)解：[f(e)]f(e)(e)e参见教材P44, 1．设yf(e)eA. f(e)eC. f(e)exxf(x)xxf(ex),故选D.

，且f(x)存在，则y（ xf(x)f(x)）f(ex)ef(x) B. f(e)exxf(x)f(ex)ef(x)f(x)f(x)D. f(e)eef(x)4.设

13是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（ B ）x

B. A.

12xC 212xC 2C.

13xC 3D.

14xlnxC4111解：因是f(x)的一个原函数,所以f(x)2,所以

xxx

123xf(x)dxxdxxC故选B.2参见教材P101,73．设sinx为f(x)的一个原函数，求xf(x)dx.5.下列级数中收敛的是（ C ）

224n7nA.  B. n3n1n11

3n2n3C. n

n12D.

sin2nn11(n1)333n1n1(n1)1解：因lim23lim1,所以n收敛,故选C.3nnn2n2n12

n2参见模考试卷2,6．下列级数中收敛的是( n1A． B．(1)n nn13n1n1）D．3nC．3 n1nln(n1)n116.交换Idy0x21y1y2f(x,y)dxdy1f(x,y)dx的积分次序，则下列各项正确的

12y21是（ B ）A. C.

ydx012xx2f(x,y)dy

B. D.

dy012xx2y=2xy=x2f(x,y)dyf(x,y)dy21O 21dxf(x,y)dy

2x21dx2xx2解：由题意画出积分区域如图:故选B.

12221 x参见冲刺试卷12,6．交换I序，则I（ A ）A．1dy1f(x,y)dxdyf(x,y)dx的积分顺2y1y21xx21dx1f(x,y)dyxx B．1dxf(x,y)dyC．112dx1f(x,y)dyxx D．112dx1xxf(x,y)dy7.设向量1,2是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ）A.

12

B.

12 C. 212 D. 212解：因A(12)A1A2bb2b,同理得

A(12)0,A(212)3b,A(212)b,故选D.

参见教材P239, 14．设1,2是线性方程组AXb的解，则（ ）

(A).

12是AX0的解

(B).

12是AXb的解

(C). k11k22是AXb的解（k1k21）(D). k11k22是Ax0的解（k1k21）

8.已知向量1(1,2,1,1),2(2,0,k,0),3(0,4,5,2)线性相关,则k（ D ）

A. -2

B. 2

C. -3

D. 3

1112111121112 解:20k004k2204k2220452045200k303由于1,2,3线性相关,所以r(1,2,3)2,因此k3参见教材P230,例4．设向量组1(1,10,a),2(1,a11,a),3(2,a,1,a1)线性相关,则a1.10a110a110a11,解: 1a11a0a2100a21022a1a100a10a21a103由于1,2,3线性相关,所以r(1,2,3)2,因此矩阵(1,2,3)任意3阶子式为0,从而a1.

9.设A,B为事件，且P(A)0.6,P(B)0.4,P(AB)0.2,则P(AB)（ A ）

A.0.2

B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8

解: P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]0.2 参见模考试卷1,20．设A和B是两个随机事件，P(A)0.3,P(B)0.6,P(AB)0.2,则P(A|B)_________.10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ）A.

3 16B.

7 20C.

1 4D.

12解: 由全概率公式得p32117 454520参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的相关例题和习题.二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)11．设函数yarcsinx11，则函数的定义域为[2,4).2316x解：12x4x11,16x202x4.34x4arcsin(lnx) 的定义域为 ( )2x11A．0x2 B．ex2 C．exe D．2xex22x0解：1e1x2B．1lnx1exe参见冲刺试卷9,1题：函数y12．设曲线yx2x2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是(1,0).解：y2x1，由y2x13x1，从而y0，故填(1,0).

参见教材P46, 16．已知直线y2x是抛物线yxaxb上点(2,4)处的切线，求a,b.213．设函数yxarctanx，则y2.22(1x)x11x22x22解：yarctanx,.y2222221x1x(1x)(1x)参见教材P46，15．求下列函数的二阶导数（4）y(4x)arctan2x214．

(lnx1)2012(lnx1)2013C.dx

2013x解：

(lnx1)2012(lnx1)20132012dx(lnx1)d(lnx1)C.x2013参见教材P90,例30．已知f(x)dxF(x)C，则f(lnx)dx x.15．解：

00xex1dx= e .xex1dxe0xexdxe.

参见教材P128,例10．计算【解】

0xexdxx0xexdxxd(ex)[xexex]01lim[0xxe]1.xe(x2)n16．幂级数n的收敛域为[3,7).

nn15(x2)n1n1x2u(x)nn1lim解：由limn1lim5x21.

nu(x)n(x2)nn5n15n5nn得3x7级数收敛,

(1)n1当x3时,级数为收敛; 当x7时,级数为发散;

nnn1n1故收敛域为[3,7).

(x3)n参见教材P182,例13．求下列级数的收敛半径和收敛域:（4）2n;n1n5(2)n3n冲刺试卷1,26题:求幂级数(x1)n的收敛域．nn117．设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且AA3E0、则(A2E)解：AA3E0(A2E)(AE)E(A2E)2121AE.

(AE)参见教材P213,例6．矩阵的综合运算知识⑤设A2A4E,则(A2E)122AE2解:AA4EAA2E2E(A2E)(AE)2E(A2E)[(AE)AE]E(A2E)122.

2参见冲刺试卷2,19题．已知n阶方阵A满足AA2E0,其中E是n阶单位阵,则(AE)=

21．

解：AA2E0(AE)A2EAA(AE)E,(AE)1220118．设A100011*1，记A表示A的逆矩阵, A表示A的伴随矩阵,则10111*(A)101.

0011参见冲刺试卷3,18．已知A＝00 ．012103*1，A*为A的伴随阵，则(A)252解：由A*A=|A|E=1*1,A*(-4A)=E(A)40404A026041019．设型随机变量X~N(1,8),且P(Xc)P(Xc),则c= 解：由正态分布的对称性得c1.

1.

2参见冲刺试卷4, 20．设随机变量X~N(,)(0),且二次方程1y24yX0无实根的概率为,则= 2解：由于X~N(,)(0)2．方程 y4yX0有实根,则164X0X4此方程无实根的概率为pP{X4}21,故=4.220．设型随机变量X在区间[2,4]上服从均匀分布,则方差D(X)13

.

(42)21解：直接由均匀分布得D(X).

123参见教材P277,3.、、、、、X、(0,)(0)、、、、、、、,、D(23X)3,、、、(A)233(B)33(C)2(D)4三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。

xsinx.

x0tan2xxsinx解：原式= limx0x21cosx=limx02xsinx=lim=0.x0221．计算极限lim参见冲刺试卷4, 21．求 limx(1xsin)．x21x解：令t1，则x1tsint1costsint1lim[x2(1xsin)]limlimlim 32xt0t0t0x6t6t3tdy.dx22．求由方程yxxy确定的隐函数的导数

解：两边取对数得xlnylnxlny,

两边求导得lnyx11yy,yxy从而

dyy(1xlny).dxx(x1)参见模考试卷1, 22．设函数yf(x)由方程ylnxln(xy)所确定，求dy.dx23．计算定积分

221x2x12dx解：令xsect,则dxsecttantdt,当x2时, t4;当x2时, t3.

secttant所以原式= dt= 2secttant43costdt= sint|3=

3441(32).2参见教材P115,例33．求1dxxx122.【解】运用第二换元积分法，令xsect,dxsecttantdt，当x2时，t当x1时，t，则2；312secttant2dt2(1)dt3xx213sect(tant)3dx24．求微分方程y2yex0的通解.解：原方程可整理为y2yex这是一阶线性微分方程,其中P(x)2,Q(x)e.所以原方程的通解为

P(x)dxP(x)dxdxCyeQ(x)exe2dx2dx(exedxC).

e2x(exdxC)e2x(exC)exCe2x参见冲刺试卷11,24题．求微分方程解.25．计算二重积分

dye3x4y满足初始条件y|x03的特dxxD2yd,其中D是由直线x2、y2x、xy2所围成的区域.

y解：区域D如图阴影部分所示.故

xD2yddx2xydy1x22x2y=2x421x2y21222x2x|dyO1 2xy=2x12(4x44)dx21222x5(2x)|10.

155参见教材P162,例4．计算二重积分Dx2dxdy，其中D由直线y2y2y=xy2,yx及双曲线xy1所围成.【解】画出区域D的图形，如图5-7，如图三个顶点分别为A(,2),B(1,1),C(2,2)1O 12x1yx由积分区域的形状可知，采用先x后y的积分次序较好，图5-7即先对x积分. D22yx211x23dxdydydx(x)dy1222111yy3yyy2y12111127(y5)dy(y24)31y324y164126．设矩阵A10011230，B3,且满足AXBABX,求矩阵X.

223解：由AXBA2BX可得(AE)X(A2E)B(AE)(AE)B0因|AE|100421020,所以AE可逆,40221100352222因此X(AE)B10201100参见冲刺试卷9,28题．已知A020,B010，若X满足202001AX- BA=B+X．求X．x11231x12327．设行列式D(x),求D(x)在x0处的导数.

12x13123x1x1123x71x123x7解：D(x)12x13x7123x1x7112311x1231(x7)(x7)12x131123x110x11123x1232x1323x10000x101x2x(x7)(x1)(x2)(x27x)(x23x2).

故D(x)(2x7)(x23x2)(x27x)(2x3).

本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同.参见教材P200,例1,P201,例8, P202,例9,(2),P204填空题2.从而D(0)14.

0,a,28．已知离散型随机变量X的密度函数为F(x)12,1,E(X)4.3x0,0x1,1x2,x2.且数学期望

求: (1) a的值; (2) X的分布列；(3)方差D(X )．

解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且

11a,P(X2)221134因E(X)0a1(a)2a22231所以a.

6P(X0)a,P(X1)(2) 由（1）即得X的分布列为

XP012

1612117222(3) E(X)012,

63231312参见冲刺试卷2,20题．设随机变量X的概率分布律为 XP －1 1/6 0 a 1b且E(X)=1/3，则D(X)＝________．解：由题意知: 11111ab1,E(X)b a,b66332112215E(X2),故D(X)E(X2)(EX)2.623399参见模考试卷1,29．设离散型随机变量的分布列为P(k)120.3340.2ab且的数学期望E2.7.求（1）常数a,b的值；（2）的分布函数F(x)；（3）的方差D.四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。29．设uxy2f()，其中f(t)可微，、、xy:xzzy3u.xy证明：因为

uxx1y2f()xy2f()xyyyxxy2f()xyf(),yy

uxxx2xyf()xy2f()2yyyyxx2xyf()x2f(),

yy故xuuxxxxyxy2f()x2yf()2xy2f()x2yf()xyyyyy

x3xy2f()3u.

yyx(9分)

参见冲刺试卷2,16题．设zxyf()，且f(x)可导，则x= ．zzyxy30．设D是由曲线ylnx,xe及x轴所围成的的平面区域

求: (1) 平面区域D的面积S; (2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V．解:区域D如图阴影部分所示。曲线ylnx与x轴及

y(e,1)y=lnxOe1xe的交点坐标分别为(1,0),(e,1)（1）平面区域D的面积

e1exSlnxdx(xlnxx)|1.

1（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V

Ve1(ey)2dy021e2e2ydye2012e2y|

012(e21).这是最基本的题型,每套试卷都有.31．证明不等式：当abe时，

blnba(e2.71828).alnab证明: 设f(x)xlnx,x(e,),则f(x)1lnx0,x(e,),所以f(x)xlnx、x(e,)上单调递增,从而当当abe时,有

lnba;lnablnx1lnx,x(e,),则g(x)0,x(e,),令g(x)2xxlnx、x(e,)上单调递减,从而当当abe时,有相信所以g(x)xf(a)f(b),即alnablnb,即

能就一定能

lnalnbblnb,从而.abalnablnba.综上所述:当abe时，有alnabf(a)f(b),即

庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。　　人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。　　我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。　　生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。　　就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！　　生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。　　前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。　　我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。　　人生是一场跋涉，也是一场选择。我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。　　如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。　　选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。　　没有淌不过去的河，就看我们如何摆渡。没有爬不过去的山，就看我们何时启程。　　德国哲学家尼采说：“每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。”让我们打开朝着晨光的那扇窗，迎阳光进来，在每一个日出东海的日子，无论是鲜衣怒马少年时，还是宠辱不惊中年时，都活出自己的明媚和精彩。　　时间会带来惊喜，只要我们不忘记为什么出发，不忘记以梦为马，岁月一定会对我们和颜悦色，前方也一定会有意想不到的惊喜。　　人生忽如寄，生活多苦辛。　　短暂的生命旅程，　　别辜负时光，别辜负自己。　　愿我们每一个人自律、阳光、勤奋，　　活成自己喜欢的模样，　　活成一束光，