《第3章指数函数、对数函数和幂函数》单元测试含答案解析

(时间：120分钟；满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1.log22的值为________．

1

11

解析：log22＝log222＝log22＝.

22

1答案： 21

4

2.已知a2＝(a>0)，则log2a＝________.

93442

解析：由a＝得a＝()2＝()4，

9932

∴log2a＝log2()4＝4.

333答案：4

3.已知x－1＋x＝22，且x>1，则x－x－1的值为________．

解析：由x－1＋x＝22平方得x－2＋2＋x2＝8，则x－2－2＋x2＝4，∴(x－1－x)2＝4，又∵x>1，∴x－x－1＝2. 答案：2

4.函数y＝lg(x＋5)＋ln(5－x)＋

x＋5>0

x－1

的定义域为________． x－3

125－x>0

解析：由得定义域为：[1，3)∪(3，5)．

x－1≥0x－3≠0

答案：[1，3)∪(3，5) 1

5.函数y＝()x2－2x＋3的值域为________．

211

解析：设y＝()u，u＝x2－2x＋3≥2，所以结合函数图象知，函数y的值域为(0，]．

241

答案：(0，]

4－x

6.方程2＋x2＝3的实数解的个数为________．

解析：画出函数y＝2－x与y＝3－x2图象(图略)，它们有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2.

答案：2

7.若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则a，b，c由大到小的顺序为________．

解析：利用中间值0和1来比较：a＝log3π>1，0b>c. 答案：a>b>c.

11

8.设方程2x＋x＝4的根为x0，若x0∈(k－，k＋)，则整数k＝________.

22

1 / 7

13

解析：设y1＝2x，y2＝4－x，结合图象分析可知，仅有一个根x0∈(，)，故k＝1.

22

答案：1

9.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元；现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________， .

解析：出租车行驶不超过3 km，付费9元；出租车行驶8 km，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元；现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.

答案：9

1

10.已知02

到小的顺序为________．

解析：由对数运算法则知x＝loga6，y＝loga5，z＝loga7，又由0∴y>x>z. 答案：y>x>z

1

11.已知函数f(x)满足：x≥4，则f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝

2

________.

解析：∵3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)，且3＋log23>4，

111111111

∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝()3＋log23＝×()log23＝×()log1＝×＝.

28282383242

1

答案：

24

12.给定函数①y＝x，②y＝log1(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0，1)上单

2

12

调递减的函数序号是________．

解析：①是幂函数，由图象知其在(0，＋∞)第一象限内为增函数，故此项不符合要求，②中的函数是由函数y＝log1x向左平移一个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)内为减函

2

数，故此项符合要求，③中的函数图象是由函数y＝x－1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该图象符合要求，④中的函数为指数型函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，所以②③正确．

答案：②③ 13.

幂函数y＝x，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如

αβ图)．设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝x，y＝x的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝________.

α解析：因为M，N为A，B的三等分点，

2 / 7

1221

所以M(，)，N(，)，

333321α2∴＝()，∴α＝log1， 33331

同理β＝log2，∴αβ＝1.

33

答案：1

14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．

解析：由题意知：高峰时间段用电时， f(x)＝

0.568x，0≤x≤50



（x－50），50（x－200），x>2000.568×50＋0.598×150＋0.668·

低谷时间段用时， g(x)＝

0.288x，0≤x≤50



， 0.288×50＋0.318（x－50），500.288×50＋0.318×150＋0.388（x－200），x>200

W＝f(x)＋g(x)＝f(200)＋g(100)＝148.4(元)． 答案：148.4

二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

－2x＋b

15.(本小题满分14分)已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋2

(1)求b的值；

(2)判断函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0， b－1即＝0⇒b＝1， 2＋2

3 / 7

1－2x

∴f(x)＝.

2＋2x＋1

11

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，

22x＋12＋2x＋1设x111－ 2x1＋12x2＋11－2x

.

（2x1＋1）（2x2＋1）

2x2－2x1

因为函数y＝2x在R上是增函数且x10.

又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)．

∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0

等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)， 因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.

即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，

1

从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－.

3

1

或k<(3t2－2t)min⇒k<－.

3

16.(本小题满分14分)(1)比较大小：0.70.8，0.80.7；

(2)比较f(x)＝loga(1－x)，g(x)＝loga(1＋x)(其中a>1)在公共定义域下的函数值的大小． 解：(1)因为指数函数y＝0.7x在R上是减函数， 所以0.70.7>0.70.8，

又幂函数y＝x0.7在(0，＋∞)是增函数， 所以0.80.7>0.70.7，故0.80.7>0.70.8.

(2)函数f(x)＝loga(1－x)，g(x)＝loga(1＋x)的公共定义域是(－1，1)， 1－x

因为f(x)－g(x)＝loga(a>1)，

1＋x

1－x

所以当－11，此时f(x)>g(x)；

1＋x1－x

当x＝0时，＝1，此时f(x)＝g(x)；

1＋x1－x

当01＋x综上，当－1g(x)； 当x＝0时，f(x)＝g(x)；

4 / 7

当017.(本小题满分14分)若奇函数f(x)在定义域(－1，1)上是减函数， (1)求满足f(1－a)＋f(－a)<0的a的取值集合M；

1－

(2)对于(1)中的a，求函数F(x)＝loga[1－()2x]的定义域．

a解：(1)不等式f(1－a)＋f(－a)<0可化为f(1－a)<－f(－a)， 而f(x)为奇函数，∴f(1－a)2

1－a>a，1∴M＝{a|02

1

(2)为使F(x)＝loga[1－()2－x]有意义，

a

11

必须1－()2－x>0，即()2－x<1.

aa11

由02，

2a∴2－x<0，∴x>2.

∴函数的定义域为{x|x>2}．

18.(本小题满分16分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝

1

20－|t－10|(元)．

2

(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

1

解：(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－|t－10|)

2

＝(40－t)(40－|t－10|)

（30＋t）（40－t），（0≤t<10），＝ （40－t）（50－t），（10≤t≤20）.

(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1 200，1 225]，在t＝5时，y取得最大值为1 225； 当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1 200]，在t＝20时，y取得最小值为600. ∴第5天，日销售额y取得最大值，为1 225元； 第20天，日销售额y取得最小值，为600元．

所以，日销售额y最大为1 225元，最小为600元．

x

19.(本小题满分16分)已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．

6－x

(1)判断f(x)的奇偶性，并且说明理由； (2)当03＋u

解：令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－33－u

5 / 7

3＋x

所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－33－x

3－x3＋x

(1)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，

3＋x3－x所以f(x)是奇函数．

3＋x6

(2)令t＝＝－1－在(－3，3)上是增函数，

3－xx－3当03＋x

所以f(x)＝loga(03－x

20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)． (1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；

(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1，2]上有解，求m的取值范围．

解：(1)证明：任取x12x1＋1

f(x1)－f(x2)＝log2(2x1＋1)－log2(2x2＋1)＝log2，

2x2＋1∵x1∴0<2<1，

2x＋12x1＋1∴log2<0，

2x2＋1

∴f(x1)m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1) 2x－12

＝log2x＝log2(1－x)，

2＋12＋1

222

当1≤x≤2时，≤x≤，

52＋13

123∴≤1－x≤， 32＋15

13

∴m的取值范围是[log2，log2]．

35

法二：解方程log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)， 2m＋1

得x＝log2()， m

1－2

2m＋1

∵1≤x≤2，∴1≤log2()≤2，

1－2m

13

解得log2≤m≤log2.

35

6 / 7

13

∴m的取值范围是[log2，log2]．

35

7 / 7