高三数学数学复数多选题专项训练试题附解析

一、复数多选题

1．已知复数z1i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）

A．复数z的虚部为i

C．复数z的共轭复数z1i

B．

z2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

答案：BCD 【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确. 【详解】 因为复数，

所以其虚部为，即A错误； ，故B正确；

解析：BCD 【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确. 【详解】

因为复数z1i， 所以其虚部为1，即A错误；

z12122，故B正确；

复数z的共轭复数z1i，故C正确；

复数z在复平面内对应的点为1,1，显然位于第一象限，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.

2．已知复数z，下列结论正确的是（ ） A．“zz0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件 B．“zz0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件 C．“zz”是“z为实数”的充要条件 D．“zzR”是“z为实数”的充分不必要条件

答案：BC 【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进

行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则，

则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分

解析：BC 【分析】

设zabia,bR，可得出zabi，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】

设zabia,bR，则zabi，

则zz2a，若zz0，则a0，bR，若b0，则z不为纯虚数， 所以，“zz0”是“z为纯虚数”必要不充分条件；

若zz，即abiabi，可得b0，则z为实数，“zz”是“z为实数”的充要条件；

zza2b2R，z为虚数或实数，“zzR”是“z为实数”的必要不充分条件.

故选：BC. 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题. 3．以下命题正确的是（ ）

A．a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件 B．满足x210的x有且仅有i

C．“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件

71D．已知fxxxx，则fxx8

8答案：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程x210可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选

项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A选项，若复数zabi为纯虚数，则a0且b≠0， 所以，a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，解方程x210得xi，B选项错误；

对于C选项，当xa,b时，若fx0，则函数fx在区间a,b内单调递增， 即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”. 反之，取fxx，fx3x，当x1,1时，fx0，

32此时，函数yfx在区间1,1上单调递增，

“fx在区间a,b内单调递增”. 即“在区间a,b内fx0”所以，“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件. C选项正确； 对于D选项，fx故选：AC. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．以下为真命题的是（ ） A．纯虚数z的共轭复数等于z

B．若z1z20，则z1z2

xxxx111248718x，fxx，D选项错误.

878C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数

答案：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若为纯虚数，可设，则， 即纯虚数的共轭复数等于，故A正确； 对于B

解析：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若z为纯虚数，可设zbib0，则zbiz， 即纯虚数z的共轭复数等于z，故A正确；

对于B，由z1z20，得出z1z2，可设z11i，则z21i， 则z21i，此时z1z2，故B错误；

对于C，设z1abi,z2cdi，则z1z2acbdiR，则bd0， 但a,c不一定相等，所以z1与z2不一定互为共轭复数，故C错误； 对于D，z1z20，则z1故选：AD. 【点睛】

本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.

5．已知复数z满足z(2i)i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则（ ）

z2，则z1与z2互为共轭复数，故D正确.

3 5C．复数z的实部为1

A．|z|B．z12i 5D．复数z对应复平面上的点在第二象限

答案：BD 【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断. 【详解】 因为复数满足， 所以

所以，故A错误； ，故B正确；

复数的实部为 ，故C错误； 复数对应复平面上的点在第二象限

解析：BD 【分析】

因为复数z满足z(2i)i，利用复数的除法运算化简为z【详解】

因为复数z满足z(2i)i， 所以z12i，再逐项验证判断. 55ii(2i)12i 2i2i(2i)5522512所以z，故A错误；

555 z12i，故B正确； 551 ，故C错误； 5复数z的实部为复数z对应复平面上的点,故选：BD 【点睛】

12在第二象限，故D正确.

55本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.

13i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 6．已知复数22A．1 C．31

B．2的虚部为D．

3 21在复平面内对应的点在第四象限

答案：AB 【分析】

求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】

依题意，所以A选项正确； ，虚部为，所以B选项正确； ，所以C选项错误；

，对应点为，在第三象限，故D选项错误. 故选

解析：AB 【分析】

求得、2的虚部、3、【详解】

213依题意1，所以A选项正确； 2221对应点所在的象限，由此判断正确选项.

131331332，虚部为，所以B选项正确； iii222424222313131321，所以C选项错误； 22i22i22221313ii11132222i，对应点为222211331313iii22222222132,2，在第三象限，故D选项错误. 故选：AB 【点睛】

本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 7．设复数z满足z12i,i为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z|5 C．z的共轭复数为12i

B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 D．复数z在复平面内对应的点在直线

y2x上 答案：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对

解析：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

|z|(1)2(2)25,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),在第三象

限,B不正确;z的共轭复数为12i,C正确;复数z在复平面内对应的点(1,2)不在直线

y2x上,D不正确.

故选:AC 【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

8．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A．ii2i3i40 B．3i1i

C．若z=12i，则复平面内z对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足z1z1，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

2答案：AD

【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D. 【详解】 ，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误； ，则，

解析：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简z1z1，得出x0，从而判断D. 【详解】

ii2i3i4i1i10，则A正确； 虚数不能比较大小，则B错误；

z12i14i4i234i，则z34i，

其对应复平面的点的坐标为(3,4)，位于第三象限，则C错误；

21， 令zxyi,x,yR，|z1||z∣(x1)2y2(x1)2y2，解得x0

则z在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确； 故选：AD 【点睛】

本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.

9．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

答案：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断.

【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)， 所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

10．下列结论正确的是（ ）

ˆ9.4x9.1，则该方程相应于点（2，29）的残差A．已知相关变量x,y满足回归方程y为1.1

B．在两个变量y与x的回归模型中，用相关指数R2刻画回归的效果，R2的值越大，模型的拟合效果越好

C．若复数z1i，则z2

2D．若命题p：x0R，x0x010，则p：xR，x2x10

答案：ABD 【分析】

根据残差的计算方法判断A，根据相关指数的性质判断B，根据复数的模长公式判断C，根据否定的定义判断D. 【详解】

当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A正确； 在两个变量

解析：ABD 【分析】

根据残差的计算方法判断A，根据相关指数的性质判断B，根据复数的模长公式判断C，根据否定的定义判断D. 【详解】

ˆ9.429.127.9，则该方程相应于点（2，29）的残差为当x2时，y2927.91.1，则A正确；

在两个变量y与x的回归模型中，R2的值越大，模型的拟合效果越好，则B正确；

z1i，z1212，则C错误；

由否定的定义可知，D正确； 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 11．已知复数zA．z2213i（其中i为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． 22B．z2z

C．z31

D．z1

0

答案：BCD

【分析】

计算出，即可进行判断. 【详解】 ，

，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

解析：BCD 【分析】

计算出z,z,z,z，即可进行判断. 【详解】

2313zi，

22z212123i23i22121223i=z，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误； 23i2123i21，故C正确；

3z3z故选：BCD. 【点睛】

122321，故D正确.

本题考查复数的相关计算，属于基础题. 12．下列四个命题中，真命题为（ ） A．若复数z满足zR，则zR C．若复数z满足z2R，则zR

B．若复数z满足R，则zR D．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

1z

答案：AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数满足，设，其中，则，则选项A正确；

对选项B，若复数满足，设，其中，且， 则，则选项B正确； 对选项C，若复数满足，设

解析：AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数z满足zR，设za，其中aR，则zR，则选项A正确； 对选项B，若复数z满足R，设则z1z1a，其中aR，且a0， z1R，则选项B正确； a对选项C，若复数z满足z2R，设z但ziR，则选项C错误；

i，则z21R，

对选项D，若复数z1，z2满足z1z2R，设z1i，z2i，则z1z21R， 而z2iz1，则选项D错误； 故答案选：AB 【点睛】

本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.

13．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ）. A．0

B．2

C．2i

D．2i+1

2答案：AC 【分析】

令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，

解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

解析：AC 【分析】

令zabia,bR，代入原式，解出a,b的值，结合选项得出答案．

【详解】

令zabia,bR，代入z2z0，

2得a2b22a2b22abi0， 解得a0a0a0，或，或， b0b2b2所以z0，或z2i，或z2i. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 14．已知复数zcosisin（ ）

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．z1 D．

（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

221的虚部为sin z答案：BC 【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC 【分析】 分0、0、0三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模

221，利用复数的概念可判断D选项的正误. z长公式可判断C选项的正误；化简复数【详解】 对于AB选项，当四象限；

当0时，z1R； 当00时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第22时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第一象限.

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，z对于D选项，所以，复数故选：BC.

cos2sin21，C选项正确；

11cosisincosisin， zcosisincosisincosisin1的虚部为sin，D选项错误. z13i（其中i为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） 15．已知复数z22A．z20

B．z2z C．z31

答案：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】

解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确； ，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则

解析：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】 解：复数z1322i（其中i为虚数单位）， z2133142i4232i，故A错误； z2z，故B正确；

z3(1232i)(131322i)441，故C正确；

|z|14341．故D正确． 故选：BCD． 【点睛】

D．z1

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

1i2020(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） 16．已知复数z1iA．z的实部为2

B．z的虚部为1

C．z2i D．|z|2 答案：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】 因为复数， 所以z的虚部为1，， 故AC错误，BD正确. 故选：AC

解析：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】

1i20201(i4)50522(1i)因为复数z1i，

1i1i1i2所以z的虚部为1，|z|12+12=2， 故AC错误，BD正确. 故选：AC 17．若复数zA．z17 B．z的实部与虚部之差为3 C．z4i

D．z在复平面内对应的点位于第四象限

35i，则（ ） 1i答案：AD 【分析】

根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：， ，

z的实部为4，虚部为，则相差5，

z对应的坐标为，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正

解析：AD 【分析】

根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：z35i35i1i82i4i， 1i21i1i2z42117，

z的实部为4，虚部为1，则相差5，

z对应的坐标为4,1，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确， 故选：AD.

18．下面是关于复数zA．|z|2

2（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） 1iC．z的共轭复数为1i D．z的虚部为1

B．z22i

答案：BD 【分析】

把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可. 【详解】 解：， ，A错误； ，B正确；

z的共轭复数为，C错误； z的虚部为，D正确. 故选：BD. 【点

解析：BD 【分析】 把z2分子分母同时乘以1i，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判1i断即可. 【详解】 解：

z22(1i)1i， 1i(1i)(1i)|z|2，A错误；

z22i，B正确；

z的共轭复数为1i，C错误；

z的虚部为1，D正确. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题. 19．复数z满足

23iz3i2，则下列说法正确的是（ ） 32iB．z的虚部为2

C．z32i

D．|z|13 A．z的实部为3

答案：AD 【分析】

由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案. 【详解】 解：由知，，即

，所以的实部为，A正确；的虚部为-2，B错误； ，C错误；，D正确； 故选:A

解析：AD 【分析】

由已知可求出z32i，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案. 【详解】

223i23i23i32i 32iz3i2知，z23i，即z23i解：由32i32i23i133926i32i，所以z的实部为3，A正确；z的虚部为-2，B错误； 13z32i，C错误；|z|故选:AD. 【点睛】

32213，D正确；

2本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.

20．下列命题中，正确的是（ ） A．复数的模总是非负数

B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C．如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数

答案：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】 设复数，

对于A，，故A正确． 对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与

解析：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】

设复数zabia,bR， 对于A，za2b20，故A正确．

对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内以原点为起点的任一向量m,n，其对应的复数为mni， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确． 对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内的任一向量m,n，其对应的复数为mni，

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．

对于C，如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C错．

对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，注意复数zabia,bR对应的向量的坐标为a,b，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．

21．已知复数z满足zz2iz3ai，aR，则实数a的值可能是（ ） A．1

B．4

C．0

D．5

答案：ABC 【分析】

设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】

设，∴， ∴，

∴，解得：， ∴实数的值可能是. 故选：ABC. 【点

解析：ABC 【分析】

设zxyi，从而有x2y22i(xyi)3ai，利用消元法得到关于y的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】

设zxyi，∴x2y22i(xyi)3ai，

x2y22y3,a22y2y30， ∴42xa,a2∴44(3)0，解得：4a4，

4∴实数a的值可能是1,4,0. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

22．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A．若x,yC,则xyi1i的充要条件是xy1 B．(a21)i(aR)是纯虚数

20,则z1z20 C．若z12z2D．当m4时,复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数

答案：BD 【分析】

选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入 ，验证结果是纯虚数，所以正确. 【详解】 取,,则,

但不满足,故A错误； ,恒成

解析：BD

【分析】

选项A：取xi,yi满足方程，所以错误；选项B：aR,a210恒成立，所以

20，所以错误；选项D：m4代入 正确；选项C：取z1i,z21,z12z2lg(m22m7)(m25m6)i，验证结果是纯虚数，所以正确.

【详解】

取xi,yi,则xyi1i, 但不满足xy1,故A错误；

aR,a210恒成立,所以(a21)i是纯虚数,

故B正确；

20,但z1z20不成立,故C错误; 取z1i,z21,则z12z2m4时，复数1g(m22m7)(m25m6)i=42i是纯虚数,

故D正确. 故选:BD. 【点睛】

本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.