高考——数学复数多选题专项训练专项练习及答案(1)

一、复数多选题

1．下列说法正确的是（ ） A．若z2，则zz4

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等

D．“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件

2答案：AD 【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若，则，故A正确； 设， 由，可得

则，而不一定为0，故B错误； 当时

解析：AD 【分析】

由z求得zz判断A；设出z1，z2，证明在满足z1z2z1z2时，不一定有z1z20判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若z2，则zzz4，故A正确；

设z1a1bi1a1,b1R，z2a2b2ia2,b2R 由z1z2z1z2，可得

2z1z2a1a2b1b2z1z2a1a2b1b2

则a1a2b1b20，而

222222z1z2a1bi1a2b2ia1a2bb12a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故

B错误；

当z1i时z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误； 若复数za1a1iaR是虚数，则a210，即a1

2所以“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

2故选：AD 【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 2．对任意z1，z2，zC，下列结论成立的是（ ） A．当m，nN*时，有zmznzmn

20，则z10且z20 B．当z1，z2C时，若z12z2C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2|z|2zz D．z1z2的充要条件是z1z2

答案：AC 【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取，进行判断；D中的必要不充分条件是. 【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确； 取，；，满足，但且不

解析：AC 【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取

z11，z2i进行判断；D中z1z2的必要不充分条件是z1z2.

【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确；

20，但z10且z20不成立，B错误； 取z11，；z2i，满足z12z2由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确； 由z1z2能推出z1z2，但|z1||z2|推不出z1z2， z2的必要不充分条件是z1z2，D错误.

因此z1故选：AC 【点睛】

本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题. 3．复数z2i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．z的共轭复数为

A．|z|5 C．z的实部与虚部之和为2

31i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限

答案：CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】

由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一

解析：CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数z，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数z2i(2i)(1i)13i13i，可得21i(1i)(1i)1i2213123210zAi，则B不正确；z的实，则不正确；的共轭复数为|z|()()222221313部与虚部之和为2，则C正确；z在复平面内的对应点为(,)，位于第一象限，

2222则D正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】

本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.

134．已知复数i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

22A．1 C．31

B．2的虚部为D．

3 21在复平面内对应的点在第四象限

答案：AB 【分析】

求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】

依题意，所以A选项正确； ，虚部为，所以B选项正确； ，所以C选项错误；

，对应点为，在第三象限，故D选项错误. 故选

解析：AB 【分析】

求得、2的虚部、3、

1对应点所在的象限，由此判断正确选项.

【详解】

13依题意1，所以A选项正确； 22131331332iii，虚部为，所以B选项正确； 222424222131313321，所以C选项错误； 22i22i2222221313ii11132222i，对应点为222211331313iii22222222132,2，在第三象限，故D选项错误. 故选：AB 【点睛】

本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 5．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ） A．|z|2 B．复数z的共轭复数为z＝﹣1﹣i C．复平面内表示复数z的点位于第二象限 D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根

答案：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i）z＝

解析：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出z1i，再根据复数的模长公式求出|z|，可知A正确；根据共轭复数的概念求出z，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入方程成立，可知D正确. 【详解】

因为（1﹣i）z＝2i，所以z2i(1i)22i2i1i，所以(1i)(1i)21i|z|112，故A正确；

所以z1i，故B正确；

由z1i知，复数z对应的点为(1,1)，它在第二象限，故C正确； 因为(1i)2(1i)22i22i20，所以D正确. 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.

6．任何一个复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：

2zrcosisin的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

znrncosnisinnnN，我们称这个结论为棣莫弗定rcosisin理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A．zz B．当r1，C．当r1，D．当r1，22n3时，z31 时，z313i 224时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

答案：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，，则，可得

解析：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，zrcosisin，则zr222cos2isin2，可得

2z2r2cos2isin2r2，zrcosisinr2，A选项正确；

对于B选项，当r1，33时，

z3cosisincos3isin3cosisin1，B选项错误；

对于C选项，当r1，项正确；

对于D选项，zcosisincosnisinncosnn3时，zcos3isin31313i，C选i，则z2222nnisin， 44取n4，则n为偶数，则z4cosisin1不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

7．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A．ii2i3i40 B．3i1i

C．若z=12i，则复平面内z对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足z1z1，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

2答案：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D. 【详解】 ，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误； ，则，

解析：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简z1z1，得出x0，从而判断D. 【详解】

ii2i3i4i1i10，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误；

z12i14i4i234i，则z34i，

其对应复平面的点的坐标为(3,4)，位于第三象限，则C错误；

21， 令zxyi,x,yR，|z1||z∣(x1)2y2(x1)2y2，解得x0

则z在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确； 故选：AD 【点睛】

本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.

8．设复数z满足z12i,i为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z|5 C．z的共轭复数为12i

B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 D．复数z在复平面内对应的点在直线

y2x上 答案：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对

解析：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

|z|(1)2(2)25,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),在第三象

限,B不正确;z的共轭复数为12i,C正确;复数z在复平面内对应的点(1,2)不在直线

y2x上,D不正确.

故选:AC 【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题. 9．若复数z满足z1iA．z1i C．z1i

3i，则（ ）

B．z的实部为1 D．z22i

答案：BC 【分析】

先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由，得，

所以z的实部为1，，， 故选：BC 【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭

解析：BC 【分析】

先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由z1i3i，得z312(1i)2(1i)1i， 1i(1i)(1i)2所以z的实部为1，z1i，z22i， 故选：BC 【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题

z1cos2isin210．已知复数（其中i为虚数单位），则（ ）

22A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 C．z2cos

D．

B．z可能为实数

11的实部为 z2答案：BC 【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项. 【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选

解析：BC 【分析】 由22可得2，得01cos22，可判断A选项，当虚部

sin20，,时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判22断C选项，由复数的运算得判断D选项. 【详解】 因为11cos2isin211cos21，可，的实部是

zz12cos222cos2222，所以2，所以1cos21，所以01cos22，

所以A选项错误； 当sin20，,时，复数z是实数，故B选项正确； 222z1cos2sin2222cos22cos，故C选项正确：

111cos2isin21cos2isin2z1cos2isin21cos2isin21cos2isin212cos2，

1cos211，故D不正确. 的实部是

z22cos22故选：BC 【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

11．已知复数z满足z2724i，在复平面内，复数z对应的点可能在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案：BD 【分析】

先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，

因此或，所以对应的点为或， 因此复

解析：BD 【分析】

先设复数zabia,bR，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】

设复数zabia,bR， 则z2a22abib2724i， 所以z2a22abib2724i，

a2b27a3a3则，解得或，

b4b42ab24因此z34i或z34i，所以对应的点为3,4或3,4， 因此复数z对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.

12．若复数z满足z2i34i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A．z的虚部为3 C．z的共轭复数为23i

B．z13 D．z是第三象限的点

答案：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考

解析：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数z，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

34i23i2，所以，复数z的虚部为3，z13，i共轭复数为23i，复数z在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】

z2i34i，z本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.

13．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数zR，则zR C．若复数z满足

B．若复数z满足z2R，则zR D．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

1R，则zR z答案：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确； B选项，设复数，则， 因为，所，若，则；故B错； C选项，设

解析：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数zabi(a,bR)，则zabi(a,bR)，因为zR，所以b0，因此zaR，即A正确；

B选项，设复数zabi(a,bR)，则z2abia2b22abi， 因为z2R，所ab0，若a0,b0，则zR；故B错； C选项，设复数zabi(a,bR)，则因为

211abiab2i22222， zabiababab1b0，即b0，所以zaR；故C正确； R，所以22abzD选项，设复数z1abi(a,bR)，z2cdi(c,dR)， 则z1z2abicdiacbdadbci，

a1c2，能满足adbc0，但z1z2，b1d2因为z1z2R，所以adbc0，若故D错误. 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型. 14．下列四个命题中，真命题为（ ） A．若复数z满足zR，则zR C．若复数z满足z2R，则zR

B．若复数z满足

1R，则zR zD．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

答案：AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数满足，设，其中，则，则选项A正确； 对选项B，若复数满足，设，其中，且， 则，则选项B正确； 对选项C，若复数满足，设

解析：AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数z满足zR，设za，其中aR，则zR，则选项A正确； 对选项B，若复数z满足则z11R，设a，其中aR，且a0， zz1R，则选项B正确； a对选项C，若复数z满足z2R，设zi，则z21R， 但ziR，则选项C错误；

对选项D，若复数z1，z2满足z1z2R，设z1i，z2i，则z1z21R， 而z2iz1，则选项D错误； 故答案选：AB 【点睛】

本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.

15．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ） A．0

B．2

C．2i

D．2i

2答案：ACD 【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值. 【详解】 令代入，得：， ∴，解得或或 ∴或或． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD 【分析】

令zabi代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值. 【详解】

令zabi代入z2|z|0，得：a2b22a2b22abi0，

2a0,a0,a0,a2b22a2b20∴，解得或或

b0b2b2,2ab0∴z0或z2i或z2i． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题. 16．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ）. A．0

B．2

C．2i

D．2i+1

2答案：AC 【分析】

令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，

解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

解析：AC 【分析】

令zabia,bR，代入原式，解出a,b的值，结合选项得出答案． 【详解】

令zabia,bR，代入z2z0，

2得a2b22a2b22abi0，

a0a0a0解得，或，或，

b0b2b2所以z0，或z2i，或z2i. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

17．已知复数z1i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A．复数z的虚部为i

C．复数z的共轭复数z1i

B．

z2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

答案：BCD 【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数

的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确. 【详解】 因为复数，

所以其虚部为，即A错误； ，故B正确；

解析：BCD 【分析】

根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确. 【详解】

因为复数z1i， 所以其虚部为1，即A错误；

z12122，故B正确；

复数z的共轭复数z1i，故C正确；

复数z在复平面内对应的点为1,1，显然位于第一象限，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.

1i2020(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） 18．已知复数z1iA．z的实部为2

B．z的虚部为1

C．z2i

D．|z|2 答案：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】 因为复数， 所以z的虚部为1，， 故AC错误，BD正确. 故选：AC

解析：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】

1i20201(i4)50522(1i)因为复数z1i，

1i1i1i2所以z的虚部为1，|z|12+12=2， 故AC错误，BD正确. 故选：AC

19．（多选题）已知集合Mmmi,nN，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ） A．1i1i

B．

n1i 1iC．

1i 1iD．1i

2答案：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】 根据题意，中， 时，； 时， ；时，； 时，， .

选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，.

解析：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】

根据题意，Mmmi,nN中，

nn4kkN时，in1； n4k1kN时，

ini；n4k2kN时，in1；

n4k3kN时，ini， M1,1,i,i.

选项A中，1i1i2M；

1iiM；1i选项B中，

1i1i1i21iiM；1i选项C中，

1i1i1i选项D中，1i2iM. 故选：BC. 【点睛】

此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 20．设复数z满足A．z为纯虚数

C．在复平面内，z对应的点位于第三象限

22z1i，则下列说法错误的是（ ） zB．z的虚部为i D．z122 2答案：AB 【分析】

先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：，即，

所以z不是纯虚数，故A错误； 复数z的虚部为，故B错误；

在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确

解析：AB 【分析】

先由复数除法运算可得z【详解】

由题意得：z1zi，即z11i，再逐一分析选项，即可得答案. 22111i， 1i22所以z不是纯虚数，故A错误； 复数z的虚部为1，故B错误； 21212在复平面内，z对应的点为(,)，在第三象限，故C正确；

112，故D正确. z()2()2222故选：AB 【点睛】

本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.

21．已知复数z满足zz2iz3ai，aR，则实数a的值可能是（ ） A．1

B．4

C．0

D．5

答案：ABC 【分析】

设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】 设，∴， ∴，

∴，解得：， ∴实数的值可能是. 故选：ABC. 【点

解析：ABC 【分析】

22设zxyi，从而有xy2i(xyi)3ai，利用消元法得到关于y的一元二次方

程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】

22设zxyi，∴xy2i(xyi)3ai，

x2y22y3,a22y2y30， ∴42xa,a2∴44(3)0，解得：4a4，

4∴实数a的值可能是1,4,0.

故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

22．设z2t5t3t2t2i，tR，i为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）

A．z对应的点在第一象限 C．z一定不为实数

B．z一定不为纯虚数 D．z对应的点在实轴的下方

22答案：CD

【分析】

利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】 ，，

所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误

解析：CD 【分析】

利用配方法得出复数z的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】

2495492t25t32t，t22t2t110，

8842所以，复数z对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；

2t25t301当2，即t3或t时，z为纯虚数，故B错误；

2t2t20因为t22t20恒成立，所以z一定不为实数，故C正确；

由选项A的分析知，z对应的点在实轴的上方，所以z对应的点在实轴的下方，故D正确. 故选：CD. 【点睛】

本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.