高考数学的复数多选题专项训练附解析

一、复数多选题

1．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．

A．ii2i3i40 B．3i1i

C．若z=12i，则复平面内z对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足z1z1，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

2答案：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D. 【详解】 ，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误； ，则，

解析：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简z1z1，得出x0，从而判断D. 【详解】

ii2i3i4i1i10，则A正确； 虚数不能比较大小，则B错误；

z12i14i4i234i，则z34i，

其对应复平面的点的坐标为(3,4)，位于第三象限，则C错误；

21， 令zxyi,x,yR，|z1||z∣(x1)2y2(x1)2y2，解得x0

则z在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确； 故选：AD 【点睛】

本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.

2．（多选）32i1i表示( ) A．点3,2与点1,1之间的距离

B．点3,2与点1,1之间的距离

C．点2,1到原点的距离 D．坐标为2,1的向量的模

答案：ACD 【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】

由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B

解析：ACD 【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于2i,也等于2i,即可判断选项C,D 【详解】

由复数的几何意义,知复数32i,1i分别对应复平面内的点3,2与点1,1,所以

32i1i表示点3,2与点1,1之间的距离,故A说法正确,B说法错误；32i1i2i,2i可表示点2,1到原点的距离,故C说法正确；

32i1i1i32i2i,2i可表示表示点2,1到原点的距

离,即坐标为2,1的向量的模,故D说法正确, 故选:ACD 【点睛】

本题考查复数的几何意义,考查复数的模 3．以下命题正确的是（ ）

A．a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件 B．满足x210的x有且仅有i

C．“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件

71D．已知fxxxx，则fxx8

8答案：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程x210可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选

项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A选项，若复数zabi为纯虚数，则a0且b≠0， 所以，a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，解方程x210得xi，B选项错误；

对于C选项，当xa,b时，若fx0，则函数fx在区间a,b内单调递增， 即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”. 反之，取fxx，fx3x，当x1,1时，fx0，

32此时，函数yfx在区间1,1上单调递增，

即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”.

所以，“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件. C选项正确； 对于D选项，fx故选：AC. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．下面四个命题，其中错误的命题是（ ） A．0比i大 复数

C．xyi1i的充要条件为xy1

D．任何纯虚数的平方都是负实数 B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭

xxxx111248718x，fx8x，D选项错误.

78答案：ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，

解析：ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；

对于B选项，1i2i3，但1i与2i不互为共轭复数，B选项错误； 对于C选项，由于xyi1i，且x、y不一定是实数，若取xi，yi，则

xyi1i，

C选项错误；

对于D选项，任取纯虚数aia0,aR，则aia20，D选项正确.

2故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.

5．以下为真命题的是（ ） A．纯虚数z的共轭复数等于z

B．若z1z20，则z1z2

C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数

答案：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若为纯虚数，可设，则， 即纯虚数的共轭复数等于，故A正确； 对于B

解析：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若z为纯虚数，可设zbib0，则zbiz， 即纯虚数z的共轭复数等于z，故A正确；

对于B，由z1z20，得出z1z2，可设z11i，则z21i， 则z21i，此时z1z2，故B错误；

对于C，设z1abi,z2cdi，则z1z2acbdiR，则bd0， 但a,c不一定相等，所以z1与z2不一定互为共轭复数，故C错误； 对于D，z1z20，则z1故选：AD. 【点睛】

z2，则z1与z2互为共轭复数，故D正确.

本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 6．已知复数zm1m32m1imR，则下列说法正确的是（ ）

B．若复数z2，则m3 D．若m0，则42zz20

A．若m0，则共轭复数z13i C．若复数z为纯虚数，则m1

答案：BD 【分析】

根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】

对于A，时，，则，故A错误；

对于B，若复数，则满足，解得，故B正确； 对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，

解析：BD 【分析】

根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】

对于A，m0时，z13i，则z13i，故A错误；

2m12对于B，若复数z2，则满足，解得m3，故B正确；

m3m102m10对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得m1，故C错误；

m3m10对于D，若m0，则z13i，42zz24213i13iD正确. 故选：BD. 【点睛】

20，故

本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题. 7．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ） A．|z|2 B．复数z的共轭复数为z＝﹣1﹣i C．复平面内表示复数z的点位于第二象限 D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根

答案：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭

复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i）z＝

解析：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出z1i，再根据复数的模长公式求出|z|，可知A正确；根据共轭复数的概念求出z，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入方程成立，可知D正确. 【详解】

因为（1﹣i）z＝2i，所以z2i(1i)22i2i1i，所以(1i)(1i)21i|z|112，故A正确；

所以z1i，故B正确；

由z1i知，复数z对应的点为(1,1)，它在第二象限，故C正确； 因为(1i)2(1i)22i22i20，所以D正确. 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.

8．已知复数z12i,z22i则（ ） A．z2是纯虚数 C．z1z23

B．z1z2对应的点位于第二象限 D．z1z225 2答案：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确； 对于B选项，对应的

解析：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算z1z2及z1z2，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，z1z223i对应的点位于第四象限，故B错； 对于C选项，z1z22i，则z1z222125，故C错；

对于D选项，z1z22i2i24i，则z1z2故选：AD 【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

224225，故D正确.

9．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

答案：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)， 所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

10．已知复数z13i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数w论正确的有（ ）

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 C．w的实部为B．w1 D．w的虚部为

z，则下列结z1 23i 2答案：ABC 【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC 【分析】

对选项A,求出w=13i，再判断得解；对选项B，求出w1再判断得解；对选项2213,判断得解. ，判断得解；对选项D,w的虚部为

22C,复数w的实部为【详解】

对选项A,由题得z13i,

13i(13i)2223i13w=i.

42213i(13i)(13i)所以复数w对应的点为(对选项B，因为w13,)，在第二象限，所以选项A正确； 22131，所以选项B正确； 441，所以选项C正确； 2对选项C,复数w的实部为对选项D,w的虚部为故选：ABC 【点睛】

3,所以选项D错误. 2本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11．已知复数z满足z2724i，在复平面内，复数z对应的点可能在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案：BD 【分析】

先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，

因此或，所以对应的点为或， 因此复

解析：BD 【分析】

先设复数zabia,bR，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】

设复数zabia,bR， 则z2a22abib2724i， 所以z2a22abib2724i，

a2b27a3a3则，解得或，

b4b42ab24因此z34i或z34i，所以对应的点为3,4或3,4， 因此复数z对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.

12．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数zR，则zR C．若复数z满足

B．若复数z满足z2R，则zR D．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

1R，则zR z答案：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确； B选项，设复数，则， 因为，所，若，则；故B错； C选项，设

解析：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数zabi(a,bR)，则zabi(a,bR)，因为zR，所以b0，因此zaR，即A正确；

B选项，设复数zabi(a,bR)，则z2abia2b22abi，

2因为z2R，所ab0，若a0,b0，则zR；故B错； C选项，设复数zabi(a,bR)，则因为

11abiab2i， zabiab2a2b2a2b21b0，即b0，所以zaR；故C正确； R，所以22abz

D选项，设复数z1abi(a,bR)，z2cdi(c,dR)， 则z1z2abicdiacbdadbci，

a1c2zzR因为12，所以adbc0，若，能满足adbc0，但z1z2，

b1d2故D错误. 故选：AC.

【点睛】

本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型. 13．已知复数zxyix,yR，则（ ） A．z20

B．z的虚部是yi D．zC．若z12i，则x1，y2 x2y2 答案：CD 【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，取，则，A选项错误； 对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；

解析：CD 【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，取zi，则z210，A选项错误；

对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；

对于C选项，若z12i，则x1，y2，C选项正确； 对于D选项，z故选：CD. 【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基

x2y2，D选项正确.

础题.

14．下面是关于复数zA．|z|2的四个命题，其中真命题是（ ） 1iC．z的共轭复数为1i D．z的虚部为1

2 B．z22i

答案：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】 ，

，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法

解析：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出z，再依次判断各选项. 【详解】

21i2z1i，

1i1i1iz12212，故A正确；z1i2i，故B正确；z的共轭复数

22为1i，故C正确；z的虚部为1，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.

15．设i为虚数单位，复数z(ai)(12i)，则下列命题正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则实数a的值为2

B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(1,2) 21是zz（z为z的共轭复数）的充要条件 2D．若z|z|x5i(xR)，则实数a的值为2

C．实数a答案：ACD 【分析】

首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】

∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确 选项B

解析：ACD 【分析】

首先应用复数的乘法得za2(12a)i，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】

z(ai)(12i)a2(12a)i

∴选项A：z为纯虚数，有a20可得a2，故正确

12a0a201解得a，故错误

212a0选项B：z在复平面内对应的点在第三象限，有选项C：a件，故正确

151时，zz；zz时，12a0即a，它们互为充要条222选项D：z|z|x5i(xR)时，有12a5，即a2，故正确 故选：ACD 【点睛】

本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围 16．已知复数zA．zz1

13i，则下列结论正确的有（ ） 22B．z2z

C．z31

D．z202013i 22答案：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

因为，所以A正确； 因为，，所以，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以，所以D正确

解析：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

131313zzi因为2222i441，所以A正确；

1313132ii因为z，z，所以z2z，所以B错误； i222222因为zzz3221313ii1，所以C正确； 22222020因为zzz1，所以z633z633641313zzz1ii，222243所以D正确， 故选：ACD. 【点睛】

本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易. 17．设复数z满足A．z为纯虚数

C．在复平面内，z对应的点位于第三象限

z1i，则下列说法错误的是（ ） zB．z的虚部为i D．z122 2答案：AB 【分析】

先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：，即，

所以z不是纯虚数，故A错误； 复数z的虚部为，故B错误；

在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确

解析：AB 【分析】

先由复数除法运算可得z【详解】

11i，再逐一分析选项，即可得答案. 22111i， 1i22所以z不是纯虚数，故A错误；

由题意得：z1zi，即z复数z的虚部为1，故B错误； 21212在复平面内，z对应的点为(,)，在第三象限，故C正确；

112，故D正确. z()2()2222故选：AB 【点睛】

本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题. 18．复数z满足

23iz3i2，则下列说法正确的是（ ） 32iB．z的虚部为2

C．z32i

D．|z|13 A．z的实部为3

答案：AD 【分析】

由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案. 【详解】 解：由知，，即

，所以的实部为，A正确；的虚部为-2，B错误； ，C错误；，D正确； 故选:A

解析：AD 【分析】

由已知可求出z32i，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案. 【详解】

223i23i23i32i32iz3i2知，z23i，即z23i解：由 32i32i23i133926i32i，所以z的实部为3，A正确；z的虚部为-2，B错误； 13z32i，C错误；|z|故选:AD. 【点睛】

32213，D正确；

2本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.

1319．已知复数i（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的

22是（ ） A．2

B．31

C．210

D．

答案：AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】 解：∵所以， ∴，故A正确， ，故B错误， ，故C正确，

虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念

解析：AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】

1313解：∵i所以i，

2222∴213313ii，故A正确， 424223221121231313ii1，故B错误， 22244313ii10，故C正确， 222虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．

20．下列命题中，正确的是（ ） A．复数的模总是非负数

B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C．如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数

答案：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】 设复数，

对于A，，故A正确． 对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与

解析：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】

设复数zabia,bR， 对于A，za2b20，故A正确．

对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内以原点为起点的任一向量m,n，其对应的复数为mni， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确． 对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内的任一向量m,n，其对应的复数为mni，

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．

对于C，如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C错．

对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，注意复数zabia,bR对应的向量的坐标为a,b，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题． 21．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,yR，且xyi1i，则xy1 B．任意两个虚数都不能比较大小

20，则z1z20 C．若复数z1，z2满足z12z2D．i的平方等于1

答案：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确； 对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵x,yR，且xyi1i，根据复数相等的性质，则xy1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

20，则z1z20，故不正确； 对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12z2对于选项D，∵复数i=1，故不正确； 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 22．设z2t5t3t2t2i，tR，i为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）

A．z对应的点在第一象限 C．z一定不为实数

B．z一定不为纯虚数 D．z对应的点在实轴的下方

222答案：CD 【分析】

利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】 ，，

所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误

解析：CD 【分析】

利用配方法得出复数z的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各

选项的正误，由此可得出结论. 【详解】

2495492t5t32t，t22t2t110，

88422所以，复数z对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；

2t25t301当2，即t3或t时，z为纯虚数，故B错误；

2t2t20因为t22t20恒成立，所以z一定不为实数，故C正确；

由选项A的分析知，z对应的点在实轴的上方，所以z对应的点在实轴的下方，故D正确. 故选：CD. 【点睛】

本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.