微积分的创立

微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler，1707—1783）作出的。欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》（Introductio in Anclysin infinitorum）以及他随后发表的《微分学》（Institutionis Calculi differentialis，1755）和《积分学》（Institutiones Calculi integralis，共3卷，1768—1770）是微积分史上里程碑式的着作，它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部着作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：

等等，对分析表述的规范化起了重要作用。

欧拉出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭，13岁就进入巴塞尔大学，数学老师是约翰。伯努利。师生之间建立了极亲密的关系，伯努利后来在给欧拉的一封信中这样赞许自己这位学生在分析方面的青出于兰：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而您正在将它带大成人。”

欧拉主要的科学生涯是在俄国圣彼德堡科学院（1727—1741；1766—1783）和德国柏林科学院（1741—1766）度过的。他对彼德堡科学院怀有特殊的感情，曾将自己的科学成就归功于“在那儿拥有的有利条件”。

欧拉是历史上最多产的数学家。他生前发表的着作与论文有560余种，死后留下了大量手稿。欧拉自己说他未发表的论文足够彼德堡科学院用上20年，结果是直到1862年即他去世80年后，彼德堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作。1911年瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集，现已出版70多卷，计划出齐84卷，都是大四开本。欧拉从18岁开始创作，到76岁逝世，因此单是收进全集的这些文稿，欧拉平均每天就要写约1。5页大四开纸的东西，而欧拉还有不少手稿在1771年的彼德堡大火中化为灰烬。欧拉28岁左眼失明，56岁双目失明，他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究与写作。

与牛顿不同，欧拉一生结过两次婚，是13个孩子的父亲。1783年9月的一天，欧拉在与同事讨论了天王星轨道计算以后疾病发作，喃喃自语道：“我要死了！”如巴黎科学院秘书孔多塞（M。Condorcet）形容的那样，他“停止了计算，也停止了生命。”

18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼兹的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。

约翰。伯努利和欧拉在他们的论着中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法。

欧拉在1744年处理弹性问题时得到积分

这属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是

（x）（x）（其中P是x的有理函数，R则是一般的四次多项式）。欧拉就特殊类型的椭圆积分积累了大量结

果。

虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。

fx，y）1720年，尼古拉。伯努利（Nicolaus Bernoulli II 1687—1759）证明了函数（在一定条件下，

对x，y求偏导数其结果与求导顺序无关。欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。

1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为c的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：

xy122积分区域由ab围成。到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。

2218世纪通过研究发散级数获得了一个重要常数“欧拉常数”，是欧拉讨论如何用对数函数来逼近调和级数的和时得到的，它最简单的表示形式为：

577218，但迄今我们还不能判定究竟是有理数还是无理数。 欧拉曾计算出的近似值0。18世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象。这一转折首先也应归功于欧拉，欧拉在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。

函数概念在17世纪已经引入，牛顿《原理》中提出的“生成量”就是雏形的函数概念。莱布尼兹首先使用了“函数”（function）这一术语。他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”。最先将函数概念公式化的是约翰。伯努利。欧拉则将伯努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为：

“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。”

欧拉的函数定义在18世纪后期战占据了统治地位。在这一定义的基础上，函数概念本身大大丰富了。欧拉在《引论》中明确区分了代数函数与超越函数，将超越函数看成是以无限多次算术运算而得到的表达式，也就是说可用无穷级数表示的函数。欧拉还区分了显函数与隐函数、单值函数与多值函数等。通过一些积分问题的求解，一系列新的超越函数被纳入了函数的范畴。除了上面已提到的椭圆积分外，18世纪得到的最重要的超越函数还有函数和B函数：

这两个函数在欧拉《无限小分析》中都有论述，但欧拉早在1730年给哥德巴赫的一封信中已经发现它们。其中函数是他用插值法将阶乘概念推广到非整数情形时得到的积分表达式，“函数”的名称及记号是勒让德（1811）给出的。欧拉在1771年进一步建立了这两个函数之间的关系：

函数，B函数与椭圆积分等一起，是18世纪新发现的超越函数的重要例子，对于函数概念的拓广多

有影响。

在18世纪，已有的初等函数包括三角函数、指数函数和对数函数则被推广到了复数领域，这也是受

dxdx2到了积分计算的激发。因为例如当人们用部分分式法则来求积分axbxc时，会导致形式为exf的积

分，其中被积式的系数有可能是复数。由于这种积分在形式上可看作是对数函数，这就引起了关于什么是复数的对数和负数的对数的探讨。1714年英国人柯茨（R。Cotes）得到了关系：

这一结果后又被欧拉独立得到并写进了《无限小分析引论》，《引论》中还发表了着名的公式：

这公式现在也叫“悝莫弗公式”，悝莫弗在1707—1730年曾逐步得到了相当于这一公式的结果，但他仅隐含地写出这一公式，欧拉首次明确地陈述了这一公式，并将n推广到任意实数。这些公式不仅使人们能正确回答什么是复数的对数，更重要的是揭示了三角函数、指数函数和对数函数之间的深刻联系而形成了初等函数的统一理论。

牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱，这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。

1695年，荷兰物理学家纽汶蒂（B。Nieuwentyt）在其着作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”等。最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱，伯克莱（G。Berkeley，1685—1753）在1734年担任克罗因（在今爱尔兰境内）主教，同年发表小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》（The Analyst，a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician），副题中“不信神的数学家”是指曾帮助牛顿出版《原理》的哈雷（E。Haley）。伯克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。他集中攻击牛顿流数

nx论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂的流数，牛顿假设x有一个增量，并

n以它去除x的增量得

nxn1nn1n2x2，然后又让“消失”，得到x的流数nx，伯克莱指出这里关

nn1

于增量的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。他讥讽地问道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”《分析学家》的主要矛头是牛顿的流数术，但对莱布尼兹的微积分也同样竭力非难，认为其中的正确结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得。

伯克莱对微积分学说的攻击主要是出于宗教的动机，目的是要证明流数原理并不比基督教义“构思更清楚”、“推理更明白”。但他的许多批评是切中要害的，在客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力。为了回答伯克莱的攻击，在英国本土产生了许多为牛顿流数论辩护的着述，其中以麦克劳林《流数论》最为典型，但所有这些辩护都因坚持几何论证而显得软弱无力。欧洲大陆的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难。在18世纪，这方面的代表人物是达郎贝尔、欧拉和拉格朗日。

欧拉在《微分学》中提出了关于无限小的不同阶零的理论，欧拉认为无限小就是零，但却存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算只不过是不同无限小量的几何比的研究。”他断言如果采取了这种观点，“在这门崇高的科学中，我们就完全能保持最高度的数学严格性”。

18世纪数学家们一方面努力探索使微积分严格化的途径；一方面又往往不顾基础问题的困难而大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，已成为18世纪数学的鲜明特征之一，这种结合的紧密程度是数学史上任何时期不能比拟的。当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家。欧拉的名字同刚体运动与流体力学的基本方程相联系；拉格朗日最享盛名的着作是《分析力学》（Traite de mechanique analitique，1788），它将力学变成分析的一个分支，拉普拉斯许多最重要的数学成果是包含在他的五大卷《天体力学》中，这种广泛的应用成为新思想的源泉而使数学本身大大受惠，一系列新数学分支在18世纪成长起来。

常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的，牛顿和莱布尼兹的着作中都处理过与常微分方程有关的问题。解一阶常微分方程MdxNdy0的所谓“积分因子法”，先后由欧拉（1734—1735年间）和克莱洛（1739—1740年间）独立地提出。他们的方法是将方程乘以一个叫“积分因子”的量而使它化为“恰当

方程”。恰当方程是指方程左端MdxNdy恰好是某个函数zf(x,y)的全微分

dzffdxdyxy。欧拉和克莱

MNyx，并指出了如果方程是恰当的，它就可以积分。 洛都给出方程是恰当的条件：

1728年，欧拉在一篇题为《将二阶微分方程化为一阶微分方程的新方法》的论文中，引进了着名的指数代换将三类相当广泛的二阶常微分方程化为一阶方程，这是二阶常微分方程系统研究的开始。

高阶常微分方程求解的重要突破，是欧拉1743年关于n阶常系数线性齐次方程的完整解法。对于n阶常系数方程

qxye欧拉利用指数代换（q为常数）得到所谓特征方程

qxqae当是该方程的一个实单根时，则是原微分方程的一个特解。当q是特征方程的k重根时，欧拉用

qxyeu(x)求得 代换

为包含k个任意常数的解。欧拉指出：n阶方程的通解是其n个特解的线性组合。他是最早明确区分“通解”与“特解”的数学家。