分部积分法顺序口诀

关于分部积分法，技巧或者说学生经常疑惑的地方就是两个：

1 学生知道“反对幂三指”这个口诀，但是具体应用时总是将时间浪费在这个排序上，太耗时了，也就是说：想找个简易的判断谁当U，谁当V的办法。

2 学生已经判断出U和V了，但是接下来的积分过程比较慢，想要个快速展开分部积分表达式的方法。

首先我们要想清楚的是：分部积分应用在哪些场景呢？ 换句话说，在什么情况下，我们会考虑到使用分部积分？

主要有两个原因：

1 被积函数表达式出现了不同类型函数的乘积；

2 在1的基础上，求udv的积分困难，但是求vdu的积分好求时。

基于以上两点，我们的数学系前辈们发明了分部积分。

我们先弄明白了分部积分的诞生来源，接下来需要考虑的是，考研真题或者说平时做题过程中，都会遇到哪些类型的函数进行相乘呢？

具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式： (uv)'=u'v+uv'求导公式 ： d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为 ：d(uv) = vdu + udv

移项后，成为：udv = d(uv) -vdu

两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu

例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。

在定积分上的应用

与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a

=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a

=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx

简记作 ∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu

例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。