积分上限函数的进一步探讨

＜数学之友＞　２０１５年第１６期　积分上限函数的进一步探讨　解题探索　、　黄国建　（南京信息职业技术学院，２１００４６）　积分上限函数是高等数学中一类重要的函数，　也是历年江苏省专转本考试的重要内容．高等数学　主要研究对象就是函数，积分上限函数自然在高等　数学教学中占据重要地位．　１　积分上限函数的定义与性质　高等数学在讲述微积分基本定理，即牛顿一莱　布尼茨公式时，有一个铺垫性的内容，积分上限函数　及其一个重要的性质．　定理如果函数　）在区间［口，ｂ］上连续，则变　上限积分函数　（　）＝』　ｔ）ｄｔ在［口，ｂ］上可导，且它　Ｊｄ　ｒ　，　的导数是厂（　），即　（　）＝ｌＩ厂（Ｌ　ｔ）ｄｔ　Ｊ　ｌ　）．　因为任给一个菇∈［口，６］，从数值上看都有一个　定积分值与　对应，从几何上看都有一个面值与　对应，所以ｆ，（ｔ）ｄｔ是定义在区间［口，ｂ］上的一个　Ｊ口　函数．　积分上限函数是被积函数的—个原函数，这一性　质恰是证明微积分基本定理的理论基础．所以积分上　限函数—一方面肯定了连续函数原函数的存在性，另一　方面也初步揭示了定积分与原函数之间的联系．　２带积分上限函数的有关计算　高等数学主要研究的对象就是函数，所以高等　数学中极限、导数、积分等计算，都可以设计与积分　上限函数相关的题．譬如，极限计算中含有积分上限　函数，题目往往是　或詈型不定式，可用罗比达法　则求解．导数计算中含有积分上限函数，可以直接运　用上述定理中积分上限函数的性质．　ａｒｃｓｉｎｔｄｔ　例１　求极限　—　ｔｑ＇　一　一，　一，　分析：本题是极限计算中含有积分上限函数．将　＝ｏ代入函数中，为　型不定式，可用罗比达法则　求解．　解：原式＝ｌ　ｉ　ｍ丢　＝　、　詈　・　已知厂ｅＪｏ　＇２ｄｔＪ　０　ｃｏｓ础＋ｓｉｎ，’，２。求　ｄ茁　分析：等式的左边是关于），的积分上限函数，等　式右边第一项是关于戈的积分上限函数，如此这就　是一个含有　与Ｙ两个未知量的方程，所以本题其　实是隐函数求导．　解：方程两边同时对自变量　求导，　ｅ严・Ｙ　＝ＣＯＳＸ　・（　）　＋ＣＯＳｙ　・（ｙ２）　，　ｅ　・ｙ　＝２ｘｃｏｓｘ　＋２ｙｃｏｓｙ２・Ｙ　，　所以乏＝磊　例３已知Ｙ＝Ｊ　ｔ）ｄｔ，求，，，．　分析：在对ｔ的积分中，　是常数，可以将戈提到　积分运算外面．　解：），＝　Ｉ　‘）ｄｔ，　．．　Ｙ　＝（戈）　ｔ　ｌ口　，（　＋）ｄｔ＋　（　ｌ、　　ｔＪＩ厂口　（　１）ｄｔ），　一　＝ｌ厂（ｔ）ｄｔ＋　），　Ｙ”＝厂（　）＋　）＋　尸（戈）＝２ｆ（　）＋　（　）．　例４已知厂（　）＝　ｅ一产　，求　，（　）　．　分析　戈）是关于　的积分上限函数，题目要求　计算积分上限函数的定积分．因为ｅ＿ｙ２的原函数无　法直接积出来，所以　）无法再化简．想起二重积　分在化为二次积分时，先计算的积分其上下限往　往是后积分变量的函数，即ｆＪ，（　，Ｙ）ｄｏ＂＝　ｒ［　ｘ，ｙ）　］　，所以二重　就是积分上　限函数的定积分而已．所以该题可以转化为二重积分，　通过交换积分次序达到求解的目的．（下转第６７页）　・６５・　＜数学之友’　２０１５年第１６期　解：构造函数ｈ（ｘ）＝厂（　）－ｇ（ｘ）一－４　－　下面需要证明当　∈（１，ｅＪ时ｊ’（　）＞０恒成立．　但区间（１，ｅ］上无法说明Ｆ（　）＞Ｏ，必须继续缩小　ｌｎｚ一　Ｉｎｘ　一—２１—一，　的范围，　则　，（　）：　，　比如考虑（寻，ｅ），（　，ｅ），（丢，２），…．　令日（　）＝戈　一　一１＋ｈ　，　说明：构造函数＾（　）＝Ａｘ）一ｇ（　）一　艮难解　贝　日　（　）＝２ｘ一１＋　，当　Ｅ（０，ｅ］时，　决，这时我们可以进一步，考虑其加强命题，证明　）　＞ｇ（　）　＋÷．因为只要　）　．ｍ＞ｇ（　）　＋　日　（　）＝２ｘ一１＋　＞０恒成立，　１・（　）在（Ｏ，ｅ］上递增．　成立，就可以说明原结论　）＞ｇ（　）＋　成立．　．．　‘‘．日（１）＝一１＜Ｏ，Ｈ（ｅ）＝ｅ　－２，　・必定存在唯一的解　Ｅ（１，ｅ］，　事实上，令厂（　）＝１一÷＝ｏ，得　＝１，当　Ｅ（０，１），　．．使Ｈ（ｘｏ）＝Ｏ，．・。　仨（１，　ｏ］时，ｈ　（　）＜Ｏ，　（　）＜Ｏ　）单调递减；当　∈（１，＋∞），　（　）＞　当　Ｅ（　０，ｅ］时，ｈ　（　）＞Ｏ，　ｏ　ｄ（　）单调递增，所以，当　＝１时　）　＝１．又令　・．．　（　）在（１，　］上单调递减，在（　，ｅ］上单调　递增，．．．当　＝　。时，　ｇ，（　）：　‘＝＿－　：０，得　：。，当　Ｅ（０，。］时，ｇ，（　）　＝　。）＝　１似。一　一号，　≥０，ｇ（ｘ）单调递增，当　Ｅ（ｅ，＋∞）时，ｇ　（　）＜０，　ｇ（　）单调递减’．．．ｇ（　）　＝ｇ（ｅ）＝了１，ｇ（　）　＋　ＱＨ（Ｘｏ）＝ｏ，即　一　。一１＋ｌＩ　０＝０，　代人上式中可得　）面＝＾（　）＝　＋％一　１一　５　１：　＋　显然１＞　＋下１，，ｅ　ｅ　Ｚ　即厂（　）ｍｉ一一　ｎ＞ｇ（　）　‘　＋　令Ｆ（　）＝　＋戈一　１５＿，．・．　）＞ｇ（　）＋　１＿．　一　，　（上接第６５页）　解：ｒ　Ｊｒ（　）　＝ｒ（ｒ　ｅ　）　所以　ｈｌ２）＝ｅ　位＝牟　例６设函数　菇）满足方程２【　ｔ）　＝　）　＝　ｄｙ　ｅ　：　ｙｅ　曲　＝一　丢（　）ｅ　，　１１ｌ　ｎ　●　（１　ｅ＿—　・＿１）．　＋【￣ｆ（ｘｔ）　－２，求　）．　＝一分析：等式左边显然是积分上限函数，等式右边　３拓展到一类函数　是什么？在表达式【气　射）　中有两个变量　和ｔ，　对ｔ做定积分运算，从而得到关于自变量　的函数，　我们可以将积分上限函数拓展到一类函数：在　函数表达式中含有两个变量，对其中一个变量施以　所以【￣ｆ（ｘｔ）ｄｔ其实也是积分上限函数，只要换元　某种运算，得到关于另一个变量的函数．积分上限函　就可以看出原型．　数Ｉ　ｔ）　中含有　和ｔ两个变量，对ｔ做定积分运　令　＝疵，ｒ　疵）　＝　）ｄ詈＝　）　，　算，从而得到关于自变量　的函数．那么也可以通过　其他的运算来构成另外的函数形式．　于是２上Ａｔ）ａｔ＝　）＋上　“）　一２，　，　、＾　例５设厂（　）＝ｌｉｍＩ　１一÷ｌ，则，（１ｒＯ．）＝一．　即【　ｆ）　＝　）一２．（，一ｃ）　分析　）的表达式中含有　和ｎ两个变量，对　两边同时对　求导，得到厂（　）＝　）．　厅做定积分运算，从而得到关于自变量　的函致　这是一个可分离变量的微分方程，解得ｈｌ　）ｌ　解：将　视作常数，对ｎ求极限．　＝　＋ｌｎＩｃＩ，即通解为　）＝ｃｅ　．　，　、ｎ　）＝ｌｉｍＩ　１一　ｌ＝ｅ一　，　在（　）式中令　＝０，可得初始条件　０）＝２，代　入通解中，解得ｃ＝２，故　）＝２　．　・６７・