定积分基本公式

定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.

第二节 微积分基本公式

一、变上限的定积分

f(x)dx设函数f(x)在[[a,b]] 上连续,x[a,b]，于是积分a是一个定数，

x这种写法有一个不方便之处，就是

x既表示积分上限，又表示积分变量.为避免

xay 混淆，我们把积分变量改写成 t，于是这个积分就写成了

y=f(x) xf(t)dt.

b(x)]上变动时，对应于每一个φ 当x在[a, x值,积分a x af(t)dt就有一个确定的（ a ≤x≤

值，因此ax b x f(t)dt x的一个函数，记作 Φ(x)=是变上限xaf(t)dtb）通常称函数 Φ(x)为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.

定理1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限积分

Φ(x)=af(t)dt在[a,b]上可导，且其导数是

xΦ(x)dxf(t)dtf(x)dxa（ a ≤x≤ b）.

f(t)dtΦ(x)a推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数=即为其原函数.

xπsintdt例1 计算Φ(x)=0在x=0 ,2处的导数.

x2dx2sintdt20解 因为dx=sinx,故

ππ2)sin242.

2 Φ(0)sin00；

Φ(例2 求下列函数的导数：

exa(1)

Φ(x)lntdt(a0)t；

x解 这里Φ(x)是x的复合函数，其中中间变量ue，所以按复合函数求导

dΦdulntd(ex)lnexx(dt)xexatdxe法则，有 dxdu.

sin(2)

Φ(x)1x2d(x0).

sinx2sinx2xx2x.

dΦdx2sinsinddx1解 dxx2(x2)二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，又 F(x)是f(x)的任一个原函数，则有baf(x)dxF(b)F(a).

Φ(x)f(t)dtaxx证 由定理1知，变上限积分

也是f(x)的一个原函数，于

f(t)dtF(x)C0是知Φ(x)F(x)C0, C0为一常数, 即 a.

f(t)dtF(a)C0Caxa0我们来确定常数 的值，为此，令 ，有，得C0F(a).

a因此有 axf(t)dtF(x)F(a).

f(t)dtF(b)F(a)再令xb，得所求积分为 ab.

因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得

baf(x)dxF(b)F(a),其中F(x)f(x).

上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：

baf(x)dxF(x)baF(b)F(a).

例1 求定积分：

2312(1)

21(x1)dxx；（2）

22dxx(1x)；（3）131x2dx.

15x22112(2x)41(xx)dx1(x2x)dx3x16. 解 （1）

22（2）

2312dxx(1x)2312111x.xdx2231211(x)2d(x)

2arcsinx23122(arcsin21arcsin)0.3398.32

（3）x2x在[1,1]上写成分段函数的形式

x,1x0,f(x)x,0x1,

1于是1x20x21xdx(x)dxxdx2120110.

201例2 计算x0limcosx1edtt2x2.

0解 因为 x0时,cosx1,故本题属 0 型未定式,可以用洛必达法

则来求.这里1cosxetdt2是 x的复合函数,其中ucosx,所以

dcosxt2cos2xcos2xedte(cosx)'sinxe dx1,于是

有

x011e122e.

limcosx1etdt2x2sinxecoslimx02x2xsinxcos2xlimex02x思考题

x21.若

f(x)sint2dtx，f(x)?

2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数f(x)在积分区间[a,b]上连续. 问当f(x)在[a,b]区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算

x2,2x1,x1,10,f(x)2x,1x0,22f(x)dx, 其中 2x1,0x2.