变限积分函数求导方法研究

维普资讯 http://www.cqvip.com 第ｌ３卷第１期　２　０　０　４年３月　河南教育学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｔｔｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．１３　Ｎｏ．１　Ｍａｒ．２Ｏ０４　文章编号：１００７—０８３４（２００４）０１—０ＯＯ４—０３　变限积分函数求导方法研究　卢亚丽　，李艳华２，李战国２，孙书安２，李　晔２　（１．郑州师范高等专科学校数学系，河南郑州４５００４４；２．河南农业大学基础科学学院，河南郑州４５０００２）　摘要：给出了５个变限积分函数导数定理，并结合实例详细深入地研究了变限积分函数的求导方法．对被积函　数为复杂函数的变限积分函数导数的详细分析与示例对大学数学教师教学有较高参考价值，同时也有助于大学生　深刻理解变限积分函数导数的内涵．　关键词：变限积分函数；导数　中圈分类号：０１７２．２　文献标识码：Ａ　在满足有关条件的前提下，若一个被积函数厂　的积分上下限含有变量　，则这个积分就是一种函　数，这种函数的自变量也含有变量　，笔者称这个定　积分为函数．厂的变限积分函数（包括积分上限函数　与积分下限函数）．变限积分函数是大学生在高等数　学课程中遇到的一种新的函数类型，也是全国硕士　研究生入学考试数学统考中历年来测试的重点内容　之一，但许多高等数学教材中关于变限积分函数性　质与求导方法部分内容讲得都比较简略．在教学实　践中，相当一部分学生对其理解明显感到困难，不会　求变限积分函数导数或求变限积分函数导数有误的　学生占相当高的比例．本文将结合计算实例对变限　积分函数求导方法进行更加详细而深入的研究，帮　助大学生深刻理解变限积分函数导数内涵，同时也　为大学数学教师教学提供参考．　１积分上限函数定义与性质　定义　设ｆ（　）在［ａ，ｂ］上连续，　为［ａ，ｂ］上　任一点，则被积函数厂（　）的积分上限函数定义为　ｒ　函数　（　）在区间［ｏ，ｂ］上是有界函数．　（３）若函数ｆ（　）在［ａ，ｂ］上连续，则积分上限　函数　（　）在区间［ａ，ｂ］上可导、连续且可积．　（４）若函数ｆ（　）是以Ｔ为周期的连续函数，则　积分上限函数　（　）可以表示为周期是Ｔ的周期函　数与线性函数之和．　（５）若函数ｆ（　）在［一ａ，ａ］上连续，则积分上　ｒ　限函数　（　）＝Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ．当ｆ（　）为奇函数时，　Ｊ—ｎ　（　）为偶函数；当ｆ（　）为偶函数时，　（　）不一定　为奇函数，　（　）为奇函数的充要条件是　（ａ）：０．　２　变限积分函数求导定理　定理１　如果函数厂（　）在［ａ，ｂ］上连续，则积　ｒ　分上限函数　（　）＝Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ是被积函数ｆ（　）的一　Ｊ　ｒ　个原函数，即有　（　）：　Ｉ／（ｆ）ｄｆ：／（　），或　ｒ　ｄ　（　）＝ｄｌ　ｆ（ｔ）ｄｔ：ｆ（　）ｄｘ．证明略．　（　）：Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ，（Ⅱ≤　≤ｂ），其中ｔ为积分变量．　√ｄ　ｒ　例１　已知　（　）＝Ｉ　２ｔｄｔ，求　（　）．　Ｊ　从几何上看，这个积分上限函数　（　）表示区　分析：本题被积函数比较简单，可以先按照牛　间［ｎ，ｘ］上曲边梯形的面积（当厂（　）≥０时）．由积　分上限函数定义可知积分上限函数　（　）有以下初　等性质：　（１）若函数ｆ（　）在［ａ，ｂ］上连续，则当厂（　）≥　０（或ｆ（　）≤０）时，积分上限函数　（　）在区问［ａ，　ｂ］上是单调增加（或单调减少）的函数、　（２）若函数厂（　）在［ａ，ｂ］上连续，则积分上限　顿一莱布尼茨公式求出关于　的表达式，再进行求　导运算；也可以直接按照定理１，用自变量　直接替　换被积函数式中的积分变量ｔ写出导数结果．　ｒ　解法１　（　）＝Ｉ　２ｔｄｔ：ｔ　１　：　一Ⅱ　，　Ｊ　故　（　）：（　一ａ　）　：（　）　一（Ⅱ　）　：２ｘ．　解法２直接按照定理１写出结果得　（　）：２ｘ．　收稿日期：２００３—１２—０３　作者简介：卢亚丽（１９７６一），女，河南漯河人，郑州师范高等专科学校数学系教师　４·　维普资讯 http://www.cqvip.com 定理２　如果函数ｆ（Ｘ）在［ｎ，ｂ］上连续，则积　３．１　被积函数是自变量与积分变量可分离型的变　限积分函数的导数　定理４　若被积函数ｆ（ｔ，ｘ）满足可积条件且　可以表示为ｆ（ｔ，　）＝ｇ（　）·ｈ（ｔ），则变限积分函　分下限函数　（　）＝Ｉ　ｆ（￡）ｄｔ可导，且其导数为　（　）：　』　（￡）ｄ￡＝一ｆ（ｘ），或ｄ　（　）＝　ｄＩ　ｆ（￡）ｄｔ＝一ｆ（　）ｄｘ．证明略．　例２　已知　（　）＝Ｉ　２￡ｄ￡，求　（　）．　分析：方法同例１．　解法１　（　）：Ｉ　２ｔｄｔ：￡　Ｉ？＝ｂ　一　，故　（　）：（ｂ　一Ｘ　）　：（ｂ　）　一（Ｘ　）　＝一２　．　解法２　按照定理２，用自变量Ｘ直接替换被积　函数式中的积分变量ｔ，并在被积函数前面加上一　个负号，从而写出导数结果．　（　）＝一２　．　定理３　如果函数ｆ（Ｘ）连续，且ｇ（Ｘ）、ｈ（Ｘ）可　ｒｈ（Ｘ）　导，则变限积分函数　（　）＝Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ可导，且其　导数为　（Ｘ）＝ｆ［ｈ（Ｘ）］·ｈ　（Ｘ）一ｆ［ｇ（Ｘ）］·　ｇ　（Ｘ）．　证明：设Ｆ（　）为ｆ（Ｘ）的一个原函数，即　Ｆ　（　）：ｆ（　），则按照牛顿一莱布尼茨公式可以求　ｒ＾（　）　，　、　得　（　）＝Ｉ　／（￡）ｄ￡＝Ｆ（￡）　｛＝Ｆ［ｈ（　）］一　Ｆ［ｇ（Ｘ）］，从而按照复合函数求导法则可以求出　（Ｘ）的导数．　（　）＝［　ｈ（Ｘ）］］　一［Ｆ［ｇ（Ｘ）］］　［ｈ（ｘ）ｌｈ　（　）一Ｆ，［ｇ（　）］ｇ　（　）　ｆ［ｈ（Ｘ）］·ｈ　（Ｘ）一ｆ［ｇ（Ｘ）］·ｇ　（　）．　由定理３的证明过程可以看出，定理１与定理２是定　理３的特例．　例３　已知　（Ｘ）　＋ｓｉｎｔ］ｄｔ，求　（ｘ）．　解：该例与定理３相比，ｓｉｎ　Ｘ相当于ｇ（　），Ｘ　相　当于ｈ（Ｘ），３　＋ｓｉｎｔ相当于被积函数ｆ（ｔ）．于是由　定理３可得：　（ｘ）：［３　‘＋ｓｉｎ（Ｘ。）］·（Ｘ　）　一［３　…　＋　ｓｉｎ（ｓｉｎ　Ｘ）］·（ｓｉｎ　Ｘ）　＝［３　＋ｓｉｎ（Ｘ。）］·３　一［３　“　＋ｓｉｎ（ｓｉｎ２ｘ）］·２ｓｉｎｘ·ｃＯｓ　＝［３　＋ｓｉｎ（　）］．　３　一ｆ３　“　＋ｓｉｎ（ｓｉｎ　Ｘ）］．ｓｉｎ２　．　利用定理３求变限积分函数的导数时，要求被积函　数ｆ（ｔ）仅仅是关于积分变量ｔ的函数，若被积函数　中不仅含有积分变量ｔ，而且含有自变量ｘ时，则不　能直接利用定理３求导，需要作恒等变形，化简为定　理３要求的类型，再应用定理３求出结果．　３　被积函数为复杂函数的变限积分函数的导数　这里复杂被积函数仅以被积函数是包含自变量　与积分变量的函数复合体来进行研究．　数　（　）＝Ｉ　／（￡，　）ｄｔ的导数为：　，ｃ　：［ｊ．　：／ｃｔ，ｘ　ｄ　］　：［ｊ．　；ｇ　ｃ　·　ｃ　ｄ　］　［ｇ　ｃ　·ｊ＇　：　ｃ　ｄ　］　＝ｇ　，ｃ（　）　．ｊ＇：“‘　：：）　ｃ（　）ｄ　＋ｇ　ｃ（　．　）。［【ｊ＇：“　　）　ｃ（　ｄ　）ｄ　］Ｊ　＝ｇ　（　）·Ｉ　、　（￡）ｄ　ｒ＋ｇ（　）－［ｈ［ｕ（　）］·　“　（Ｘ）一ｈ［　（Ｘ）］·　（　）］．　例４设　（　）：Ｉ　ｅ“　·ｓｉｎｔｄｔ，求　（　）．　分析：该变限积分函数的被积函数是含有自变　量　与积分变量ｔ的复杂函数，但被积函数可以很容　易分解为ｅ　（ｅ　·ｓｉｎｔ）．该题的求解可以分为积分　和求导两个阶段，由于在进行积分运算过程中ｔ是　积分变量，把　可以看作常数，则ｅ　也可以看作　常数，因而ｅ　在进行积分运算时可以提到积分符　号的前面去．然后把ｘ看作变量，对ｘ进行求导运　算，按照函数乘积导数公式求出结果．　解：由于　（　）：Ｉ　ｅ“　·ｓｉｎｔｄｔ　　Ｉｅ　“ｈ（ｅ‘·ｓｉｎｔ）ｄｔ　：ｅ　·　Ｉ（ｅ　·ｓｉｎｔ）ｄｔ　所以　）：［ｅ　ｓｉ￣ｘ－Ｊｊ　ｓ２ｉ　ｎｘ　·ｓｉｎｔ）ｄｆ］　［ｅ　］　·Ｉ　（ｅ　·ｓｉｎｔ）ｄｔ＋ｅ∽　·　·ｓｉｎｔ　］，　３ｃｏｓ（３ｘ）·ｅ　·ｌ　（ｅ　·ｓｉｎｔ）ｄｔ＋ｅ　·　［ｅ　·ｓｉｎ（ｓｉｎｘ）·（ｓｉｎｘ）　一ｅ２ｘｓｉｎ（２ｘ）·（２ｘ）　］　３ｅｏｓ（３ｘ）·ｅ　·ｌ　（ｅｔ·ｓｉｎｔ）ｄｔ＋ｅＳｉｐ＿３ｘ·　［ｅ　·ｓｉｎ（ｓｉｎｘ）·ｅｏｓｘ一２ｅ　ｓｉｎ（２ｘ）］．　例５　已知　（　）＝Ｉ　ｔ·Ｉｎ（１＋　—ｔ）ｄｔ，求　（ｘ）．　分析：该题不能像例４那样直接把复杂被积函　数ｆ（ｔ，ｘ）表示为ｆ（ｔ，ｘ）＝ｇ（Ｘ）·ｈ（ｔ）的形式，但　是可以通过变量替换“＝ｘ—ｔ，把原复杂被积函数　厂（ｆ，ｘ）转化为关于自变量ｘ与新积分变量“的可分　离变量函数．　解：令ｕ＝　—ｔ，贝０　ｔ：ｘ—ｕ，ｄ￡：一ｄｕ，当ｔ　维普资讯 http://www.cqvip.com 从０变化到３　时，ｕ从　变化到一２　．故　（　）＝ｌ　ｔ·Ｉｎ（１＋　—ｔ）ｄｔ　（　）：　（　）·ｌ　ｓ［　（　），￡］ｄｔ—　（　）·　√ｇ【　（　Ｊ　ｒｌ　ｈ『　（　）１　（　）ｔ］ｄｔ．　ｌ　（　—ｕ）·Ｉｎ（１＋ｕ）·（一ｄｕ）　ｌ　（　—ｕ）·Ｉｎ（１＋ｕ）·ｄｕ　ｇ【ｐ（　）Ｊ　定理５与定理３的实质原理是一样的，在定理５中只　不过被积函数　（“）＝ｌ　ｓ（ｕ，ｆ）ｄｔ是用变限积分　函数定义的函数类型罢了．　ｌ　·Ｉｎ（１＋ｕ）·ｄｕ—ｌ　ｕ·Ｉｎ（１＋ｕ）ｄｕ　ｌ　Ｉｎ（１＋ｕ）·ｄｕ—ｌ　ｕ·Ｉｎ（１＋ｕ）ｄｕ　例６设　（　）：　［　（ｕ—ｔ）ｄｔ　ｄｕ，求　（　）及　（　）．　所以　（　）＝　ｄｘ【　·』：：　－ｎ（·＋ｕ）·ｄｕ一．『：：　ｕ·Ｉｎ（·＋ｕ）ｄｕ］　［　·ｊ．：：　－ｎ（·＋ｕ）·ｄｕ］　一［ｊ．：：　ｕ·Ｉｎ（·＋ｕ）ｄｕ］　＝ｌｊＪ．　　－２ｘ　ｌｎ（１　＋ｕ）·＋·　＋ｄｕ　　·［Ｉ　ｊＪｌ　．　－２ｘ　ｌｎ（１　＋ｕ）·　ｌｄｕ］　一　一　解：　（　）＝　·ｌ，（　—ｆ）ｄｔ一０　·ｌ　ｆ（Ｏ—　ｔ）ｄｔ＝ｌ　（　—ｔ）ｄｔ．　令　—ｔ＝Ｙ，则ｔ＝　—Ｙ，ｄｔ＝一ｄｙ，当ｔ从０变　化到　时，则Ｙ从　变化到０．　［　·ｌｎ（１＋　）·　一（一２ｘ）·ｌｎ（１—２ｘ）·（一２ｘ）　］　因而　（　）＝ｌ／（　—ｆ）ｄｔ＝Ｉ　ｆ（Ｙ）·（一ｄｙ）＝　ｌ　ｆ（ｙ）ｄｙ，这里Ｙ为积分变量．　ｌ　Ｉｎ（１＋ｕ）·ｄｕ＋　·［Ｉｎ（１＋　）·　一Ｉｎ（１—　２　）·（一２ｘ）　］一［　·Ｉｎ（１＋　）一４　·Ｉｎ（１—２ｘ）］　Ｉ　ｌｎ（１＋ｕ）·ｄｕ＋　·［１ｎ（１＋　）＋２Ｉｎ（１—２ｘ）］一　［　·Ｉｎ（１＋　）一４　·Ｉｎ（１—２ｘ）］　所以　（　）＝［　训　＝【ｊ　（Ｙ）ｄＹ］　＝　（　最后需要指出，若被积函数不满足本文给出的　求变限积分函数导数的５个定理的条件，则应该想　方设法通过恒等变形使被积函数满足定理条件，然　后利用定理求出结果．但是深刻理解积分上限函数　导数的性质与内涵，灵活应用变限积分函数的求导　方法的能力只能在不断的学习与练习过程中逐步　提高．　　Ｉｌｎ（１＋ｕ）·ｄｕ＋６ｘｌｎ（１—２ｘ）　（　一１）Ｉｎ（　＋１）＋（８　＋１）Ｉｎ（１—２ｘ）一３ｘ．　（利用积分公式ｌｌｎｘｄｘ：ｘｌｎｘ—　＋ｃ可求出　积分后的结果）　３．２　被积函数仍然是变限积分函数型的变限积分　函数的导数　定理５　设变限积分函数的被积函数ｆ（ｕ）满　足可积条件且可以表示为　参考文献　［１］孙书安，曹殿立．高等数学［Ｍ］．北京：气象出版社，１９９８．　［２］　教育部考试中心．２００３年全国硕士研究生入学考试数学考试参　考书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　（ｕ）＝ｌ　ｓ（ｕ，ｔ）ｄｔ，则变限积分函数　ｊ．　ｄｕ的导数为　［３］　赵连成．积分上限函数的研究［Ｊ］．内蒙古民族师院学报（自然　科学版），１９９９，（２）：１１３　１１６．　Ｓｔｕｄｙ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　Ｌｉｍｉｔ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ＬＵ　Ｙａ—ｌｉａ，ＬＩ　Ｙａｎ—ｈｕａｂＬＩ　Ｚｈａｎ—ｇｕｏｂＳＵＮ　Ｓｈｕ—ａｎ　．ＬＩ　Ｙｅ　，，（Ⅱ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　Ｔｅａｃｈｅｒ’ｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００４４．Ｃｈｉｎａ；　ｂ．Ｂａｓｉｃ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｃｏｌｅｇｅ，ｔｌｔｅｎａｎ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５０００２Ｃｈ／ａ）ｎ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，５　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｌｉｍｉｔ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｕｐｐｅｒ　ｌｉｍｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ　ａｎｄ　ｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ　ｗｉｔｈ　ｅｘａｍｐｌｅｓｗｈｉｃｈ　ｍａｙ　ｓｅｒｖｅ　ａｓ　ａ　ｌｉｔｔｌｅ　ｈｉｇｈｅｒ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｔｅａｃｈｅｒｓ　ａｎｄ　ａｌｓｏ　ｃａｎ　ｈｅｌｐ　ｔｈｅ　ｃｏｌｌｅｇｅ　ｓｔｕｄｅｎｔ　ｔ０　ｃａｔｃｈ　０ｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｌｉｍｉｔ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ’ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅＫｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｕｎｃｅｒｔａｉｎ　ｌｉｉｔｍ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　６　·