数学模型中一类变上限积分函数导数的求法

Ｑ：　！　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｌｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　创新教育　数学模型中一类变上限积分函数导数的求法　张涛　（山东凯文科技职业学院　山东济南　２５０１　００）　摘要：在教材《数学模型》中出现的一类变上限积分函数的导数使很多本，专科同学感到速惑，本文透过现象，通过其函数的本质给出　了谈类函数求导的过程，井将此类积分做了总结整理，可供广大本、专科学生参考。　关键词：数学模型　变上限积分函数　导数　中图分类号：Ｇ　６　４　２　文献标识码：Ａ　文章编号：１　６　７４—０９８Ｘ（２０１　ｏ）１１（８）一ｏ１　３１－ｏ１　随着越来越多的高职院校参与到全国大学生数学建模竞赛中，　学生应用数学的能力得到较大提高，为尽快提升本校竞赛水平，绝大　多数院校选择开设数学模型或数学实验课。但目前国内面向高职院　校还没有成熟的教材，因此大多数教师选择使用较成熟的一本教材　Ⅸ数学模型》ｌ１１。不过该教材主要是面向本科院校的学生，所以很多内　容对高职学生而言，知识面太广，知识跨度太大，甚至对本科学生也　是如此。下面介绍的一类变上限积分函数导数的求法就是一例。　数变为：ｆ　＿厂（　，）出：ｒ：　ｄ　：上　口　ｘ　ｘ　于是，　）：　－，（　，）ｄ　ｒ】，：［上　：＿ｆ］，　＝　：ｌ　：：：　！　：　！：』：』　：：　：：：：　！　：　！：，，前一积分同　例２：：　：　二！　！！　：　二』　！　：　以上三个类型基本包括了典型积分上限函数求导的情形，下　面我们回头看一下（１）式的求导。　３　１．口］题求解　１题目引入　在教材（１）的第九章第三节（Ｐ２７５）随机存贮策略中，得出的平　均费用为：Ｊ（“）　１　。（　），　＜０　，　、　Ｊ　ｃ　０＋ｃｊ“＋　（ｘ＋　），“＞０　（１）　其中：Ｌ（　）　ｃ　Ｊ　（　—ｒ）ｐ（，）ｄ　ｒ＋ｃ，Ｊ　（，一　）Ｐ（，）ｄ　ｒ（２）　在ｕ＞０的情况下，对（１）求导得到：　ｄＪ＝ｃ．＋ｃ２　ｐ（ｒ）ｄ卜ｃ　ｅ　ｐ（ｒ）ｄ，　很多同学根据所学知识无法通过（１）（２）两式得出（３）式，下面就　该过程给出详细解答。　（３）　三（　＋“）＝ｃ：ｒ（　＋“一，）ｐ（ｒ）ｄｒ＋ｃ　『二（ｒ—　一“）ｐ（ｒ）ｄ，（６）　于是：　（１）式求导，主要是对Ｌ（ｘ＋ｕ）的求导。由（１）（２）可得　【ｆ　ｏｘ＋ｕ（ｘ＋ｕ－ｒ）巾）　【Ｊ－　（ｒ－ｘ－ｕ）　）…　２知识准备　定理１　：设厂（　）在【口，ｂ］上可积，作Ｆ（ｘ）：Ｉ．，（ｒ）ｄｔ，则　Ｆ（　）是［ａ，６］上的连续函数。　：ｃ　【ｆ　（　＋“）ｐ（ｒ）ｄ卜Ｊ　～ｒｐ（ｒ）］　＋ｃ３［￡　（ｒ－ｘ－ｕ）ｐ（ｒ）ｄ，＋ｆ（ｒ－ｘ－ｕ）ｐ（ｒ）ｄｒ】，，ｒｐ（ｒ）ｏ仍为　＝ｃ：［（　＋　）　＋　）Ｊ　。　Ｐ）（，．　ｄ　ｒ　一　一Ｊ。　ｒｒＰ　（（　）］　＋ｃ　３【ｆ【Ｉ　　“（　＋１　＋　）Ａ－ｌ＂）　（　），）ｒ＋ｆ　＋ｆｄ　　（，．一　—ｕ）　一　ｐ（ｒ）ｄｒ］ｄ　＝ｃ：　Ｐ（，）ｄｒ　定Ｎ２：若厂（　）在【ａ，ｂ］连续，则函数：Ｆ（　）＝Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ　（４）　ｒ的函数　在ｆａ，ｂ］可导，且　（　）＝／（　）。　（５）　例１、求函数Ｇ（　）＝ｒ　（ｆ）ｄｔ的导数。　解：因为Ｇ（　）　Ｊ。ｘｆ（，）ｄｔ＝　Ｊ　／（，）ｄｔ＝ｘＦ（　），此处　积分变量为ｔ。　所以有Ｇ　（　）＝Ｉｘ　Ｊ　ｆ（，）ｄｒ］　●ｉｘｆ（ｔ）ｄｔ＋　ｒｆ（ｔ）ｄｔ］　：ｆ　ｆ（ｔ）ｄｔ＋　（　）　＝＋ｃ　【（　＋“）Ｊ．。　ｐ（，）ｄｒ一　“，　ｐ（，）ｄ，＋ｆ　（ｒ－ｘ－ｌ／１）ｐ（，）ｄ，】　：ｃ：●“　口　例２、求函数ＪＶ（ｘ）＝Ｉ厂（ｘ＋ｔ）ｄｔ的导数　解：令ｕ＝ｘ＋ｔ，Ｎｔ：口　时，”：口＋　２ｘ，ｄｔ＝ｄ　，于是原函数　『ｎ　“ｐ（ｒ）ｄｒ＋　［Ｘ＋Ｕｐ（ｒ）ｄ，一』ｆＰ（，）ｄｒ】　ｒ　＋“　，口　，∞　＝ｃ２　ｊ。ｐ（ｒ）ｄｒ——ｃ　【Ｊ　＋　ｐ（ｒ）ｄｒ＋Ｊ　ｐ（ｒ）ｄｒ］　＝ｃ：　ｐ（，．）　ｐ（，．）ｄ　变为　／（　＋ｔ）ｄｔ＝Ｊ　厂（　）ｄ　，此时不是标准积分上线函数：　＝ｆ　ｆ（“）ｄ“＋ｆ　，（Ⅳ）ａｕ　，　，口＋Ｊ　故：　＋ｃ２　）　ｃ，　）ｄ，　＝Ｉ　ｆ（“）ｄｕ—Ｉ　ｆ（ｕ）ｄｕ　该函数的求导过程不仅仅用到定理１、２，更是用到了积分区间　所以日　（ｚ）＝［ｒ厂（　＋ｒ）ｄｔ］　的可加性等积分当中的性质。其实，在实际应用中遇到的关于积分　求解的问题，都是相当复杂的，需要用到定积分或不定积分的性质　及积分的，１．种求解方法．熟练掌握和序用它们是求解问颢的关肆　＝［　厂（　）ｄ“一ｒ”厂（“）ｄ　］　＝２ｆ（ｘ）一ｆ（ａ＋ｘ）　（其中前一积分为复合函数）　参考文献　ｆｌ】姜启源，谢金星，叶俊编．数学模型（第三版）［Ｍ】．北京：高等教育　出版社，２００３．　［２］［３１陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编．数学分析【Ｍ】．北京：高　等教育出版社，１９９０年（第二版）．　例３、求函数Ｉ（　）＝ｌ　ｆ（　ｔ）ｄｔ的导数。　口　解：令　：　，，贝Ｕ，：ａ—÷ｘ，　：ａｘ—÷ｘ２，ｄ　＝　ｄ，原函　科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　１　３１