解析变限积分函数的求导问题

解析变限积分函数的求导问题

作者：王翠萍

来源：《读写算》2013年第46期

摘要 ：变限积分函数的求导在微积分学中占有非常重要的地位.本文主要根据常见的几种结构式的变限积分函数的求导做出了分析和总结.

关键词 ：连续 可导 变限积分函数

1.研究背景

函数是微积分学的主要研究对象，其中函数的可导性是微积分学中的一个主要研究问题.高等数学的上册部分主要讲解了一元函数的微积分.面对形形色色的函数结构，初学者对函数的求导感到无所适从.在微积分及其后继课程中，经常会涉及变限积分函数的求导.变限积分函数作为一种特殊的函数，又不同于一般的初等函数，初学者对其求导法则的应用更是把握不清.鉴于以上原因，下文通过举例常见的几种结构式的变限积分函数的求导，对其做出了分析和总结，以求对初学者提供帮助.

2.正文

首先给出变限积分函数的基本求导法则.

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定理[1]如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数 在区间 [a，b]上可导，且它的导数

.

推论1如果函数f（x）连续，函数φ（x）可导，则函数 的导数为 .

推论2如果函数f（x）连续，函数φ（x），ψ（x）均可导，则函数 的导数为 .

下面通过几个典型例子来解析变限积分函数的求导法则.

例2.1计算

解根据推论2，由变限积分函数的求导法则得

. .

例2.2计算 .

解在积分中t为积分变量，x作为上限可看作常量，故 .

从而由乘积函数的求导法则得

例2.3计算 .

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解在积分 中，积分变量为t，而被积函数cos（x-t）中不仅仅与变量t有关，还与变限积分函数的自变量x有关，所以不能直接应用变限积分函数的求导法则来求导，必须对被积函数或变限积分作等价变形.

（法一）对被积函数作等价变形.由于cos（x-t）=cosxcost+sinxsint，

故

.

（法二）对变限积分函数通过定积分的换元法作等价变形.

设x-t=u，则 ，

故 .

通过以上几个例子可以看出，遇到变限积分函数的求导时，首先要观察所给函数是否为变限积分函数的标准形式，也就是说积分中的被积函数是否只与积分变量有关，否则的话一定要首先对被积函数作等价变形或对变限积分通过换元法将其化为标准形式，然后应用对应的求导法则[2].

3.总结

变限积分函数，作为一种特殊形式的函数，涉及到了高等数学的主要内容.他是联

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结众多知识点的纽带，比如与变限积分有关的极限运算、利用变限积分证明一些积分不等式、借助变限积分判别级数的敛散性以及求解积分方程[3]，这些问题的解决都离不开变限积分函数的求导.因此正确地求解变限积分的导数是解决此类问题的前提.

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学.高等教育出版社第六版

[2]王翠萍.关于不同结构函数的求导.数学学习与研究

[3]田仕芹.变限积分—一个渗透到高等数学主要内容的函数.数学教学研究，第29卷第3期

作者简介：王翠萍（1980-），女，讲师，硕士，研究方向为组合数学、高等数学教育。