常用积分公式

kdxkxc (k为常数)

1⑵ xdx(1)xc

11211xdxxc, dx2xc 特别， dxc,

xx3x1⑶

xdxln|x|c

a⑷ adxlnac, 特别，edxec ⑸ sinxdxcosxc

⑹ cosxdxsinxc

1⑺

sinxdxcscxdxcotxc

1⑻

cosxdxsecxdxtanxc

1x1⑼ dxarcsinc(a0),特别，dxarcsinxc

axa1x11x1dxarctanc(a0),特别，⑽

axaa1xdxarctanxc

11axdxln⑾

ax2aaxc(a0)

11xadxln或

xa2axac(a0) ⑿ tanxdxlncosxc

⒀ cotxdxlnsinxc

⑴

1232xxxx22222222222222⒁

cscxdxlncscxcotxc1dx xlntancsinx2⒂

secxdx1x2a2lnsecxtanxc1dx xπlntanccosx24(a0)⒃

dx===lnxx2a2c

⒄

a2xx2axdx===arcsinax2c

2a222(a0)⒅

x2a22xadx===xalnxx2a2c

2222(a0)asinbxbcosbxaxaxesinbxdxec22ab⒆

bsinbxacosbxeaxcosbxdxeaxc22ab1⒇

(ax)dx22nnx2n3n1c（递推公式）

2(n1)a2(a2x2)n12(n1)a2跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24 含根式axbxc的积分 ⑴

2x24x5dx12(x2)21d(x2)[套用公式⒅]

⑵

x21(x2)21ln(x2)(x2)21 22xx24x5dx(2x4)4x24x5dx x24x5dx

12x24x5d(x24x5)2(请你写出答案)

⑶

1x24x5xdx1(x2)21(2x4)4x2(x2)21 d(x2)ln[套用公式⒃]

⑷

1dx2x24x51d(x24x5)2dx222x4x5x4x51x4x52dx

(请你写出答案)

⑸

54xxdx232x2x223(x2)2 3(x2)d(x2)arcsin232[套用公式⒄]

22⑹x54xx2dx12(42x)454xx2dx

1254xx2d(54xx2)254xx2dx

(请你写出答案)

⑺

dx54xx2d(x2)32(x2)2arcsinx2[套用公式⑼] 3⑻

154xx22xdx(42x)4dx54xx212d(54xx2)54xx22dx54xx2

(请你写出答案)

例25 求原函数解 因为

1dx. 1x41x4(12x2x4)2x2(1x2)2(2x)2(12xx2)(12xx2)

所以令

1AxBCxD(A,B,C,D为待定常数）1x4x22x1x22x1

(AxB)(x22x1)(CxD)(x22x1)x22x1x2x12 从恒等式(AxB)(x22x1)(CxD)(x22x1)1(两端分子相等)，可得方程组

BD1(常数项)A2BC2D0（一次项系数）2AB2CD0（二次项系数）AC0（三次项系数）解这个方程组(在草纸上做)，得A

1221,Bx111,C,D. 因此， 2222右端的第一个积分为

1dx1x41222dxx22x11222dx

x22x1x111222dxx22x142x1(2x2)2x22x1dx142(2x2)dx1x22x14x212x1dx

421421d(x22x1)124x2x11x1212222dx(套用积分公式)

ln(x22x1)22arctan(2x1)

类似地，右端的第二个积分为

11x112222dxln(x2x1)arctan(2x1) 2x2x14222所以

1x22x1111lnarctan(2x1)arctan(2x1) dx1x442x22x12222x22x112xln2arctan（见下注） 21x42x2x1221【注】根据tan()tantan,则

1tantan(2x1)(2x1)22x2x 21(2x1)(2x1)2(1x)1x22x1x2tanarctan(2x1)arctan(2x1)因此,

arctan(2x1)arctan(2x1)arctan dxdx(01). 【关于(01)，见例17】

1cosx1cosxx解 令ttan(半角替换)，则

221txxx22 cosxcos2sin22cos21112xx2221tsec21tan2例26 求

22dxd(2arctant)于是，

2dt 1t2dx1cosx12dt2dtdt2 1t21t2(1)(1)t211t2111t221x21arctantanc arctantc21121212【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数yy(x)的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

y(x)limh0y(xh)y(x) 或dyy(x)dx

h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如

ex2dx,1dx,lnxexdx,xsinxdx等 x都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.