变限积分函数的求导和应用

２０１　７年９月　教育教学论坛　Ｓｅｐｔ．２０１　７　第３８期　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　ＴＥＡＣＨＩＮＧ　ＦＯＲＵＭ　ＮＯ．３８　变限积分函数的求导和应用　朱忠华　（东华大学理学院应用数学系，上海２０１６２０）　摘要：变限积分函数是微积分中一类具有特殊形式的函数，它是联结众多知识点的纽带，是学生学习的重　点和难点，在微积分中有广泛的应用。本文介绍了积分上限函数的概念及其特有的求导性质，并结合实例深入　讲解变限积分函数的求导以及其在微积分各主要内容中的应用。　关键词：变限函数；不定积分；定积分；导数；连续　中图分类号：Ｇ６４２．４１　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４～９３２４（２０１７）３８—０２１１一Ｏ３　一、前言　数，所以本文主要讨论积分上限函数的情况。　一元函数微积分【ｌ－　都分主要涉及六个概念，即极　积分上限函数，这是一类特殊的函数，具有与普　限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理　通函数相同的特征；又由于它的上限是变化的，变限　即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛　积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质。　顿一莱布尼兹公式）。在这六个概念中，除了不定积　特殊性决定了它的重要性，变限积分内容也是各类考　分，其他五个概念都是某种形式的极限，所以它们由　试经常要考到的一个重要知识点，本文就只介绍它的　极限联系了起来。为了要说明不定积分与其他概念的　求导的性质，证明略。　联系时，引入了积分上限函数，得出了牛顿一莱布尼　２．变限积分函数的求导性质。　兹公式，从而揭示了不定积分与定积分、微分与积分　定理１：如果函数　ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则变上　的内在联系，不但解决了定积分的计算问题，同时微　ｆ　积分的六个重要概念也就相互联系了起来［４１。　限函数　（ｘ）＝『ｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］内连续、可导，且　二、变限积分函数的定义与性质　ｊ　ｒ　１．定义。对于闭区间［ａ，ｂ］上连续的函数　ｘ），设ｘ　（ｘ）＝　Ｊｄｘ　　ｆ（ｔ）ｃｌｔ＝ｆ（ｘ）。　ｒ　为［ａ，ｂ］上的任一点，定积分Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ显然存在，当ｘ注：其中区间ａ可为一∞，ｂ可为＋∞。　Ｊ　ａ　在　由复合函数的求导，积分上限函数的求导可得如　［ａ，ｂ］上任意变动时，对于每一个取定的ｘ的值，　下一般形式：　ｘ　ｒ　ｇ（　｝ｆ（ｔ）ｄｔ就有一个对应的值，这样就在［ａ，ｂ］上定义了　，Ｊ　ｆ　Ｊ　ａ　推论１：［Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ］　＝　『ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｇ（ｘ））・ｇ　ｘ）　一个新的函数，称为变上限积分，又称为积分上限函　此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理　，　数，一般记为中（ｘ）＝Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］。　需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量ｘ或　Ｊ　ａ　只含Ｘ的表达式ｇ（ｘ）；第二，被积函数ｆ中只含积分变量　这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几　ｔ，不含参变量ｘ。　何解释：　（ｘ）表示一个以ｆ（ｘ）为曲边的曲边梯形的面　求导计算举例：　积，当ｘ给一个确定的值，　（ｘ）有一个确定的值，所以　例１：设　（ｘ）＝ｆ　ＶＴ￣ｄｔ１，求　’（ｘ）．　ｒ　又称　（ｘ）＝Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ为面积函数。　Ｊ　ａ　解：在Ｖｌ＋ｔ　的连续区间内任选一点，比如取ｔ＝Ｏ，　ｂ　．记　（ｘ）＝ｆ　ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］称为变下限积分，又　可得　ｘ　０　ｘ　Ｊ　ｘ　称为积分下限函数。中（ｘ），　（ｘ）统称为变限积分函　ｄｘ　Ｊｆ　２ｘ　　ｄｔ＝　ｆｄｘ　Ｊ　２　　ｄｔ＋ｄｄｘ　Ｊ　ｆ　０　　ｄｔ　ｂ　ｒ　ｒ　数。因　（ｘ）＝『ｆ（ｔ）ｄｔ＝一ｆ　ｆ（ｔ）ｄｔ也可化为积分上限函　：一２Ｖ１＋８ｘ　＋２ｘ、／１＋ｘ。．　收稿日期：２０１７—０３—０７　－２１１——　２Ｏ１　７年９月　第３８期　教育教学论坛　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　ＴＥＡＣＨＩＮＧ　ＦＯＲＵＭ　Ｓｅｐｔ．２０１　７　ＮＯ３８　，注：由此题，可得对变限积分函数的求导更一般　的结论：　ｇ（　）　．解：（１）当ｘ＞Ｏ时，ｆ（ｘ）显然是连续。　（２）当ｘ＜０时，对任何ｔ，ＣＯＳ　ｔ是连续的，可得　ｇ（　）　推论２：［Ｊ…ｆ（ｔ）耐＝［Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ＋　）ｆ（ｔ）　』　。　。ｔｄｔ；￣　的连续函数，　ｄｔ］　＝ｆｆｇ（ｘ））・ｇ　（ｘ）一　ｈ（ｘ））・ｈ　（ｘ）．　例２：设　ｘ）可导，求导　ｔｆ（２ｘ—ｔ）ｄｔ．　ｄｘ　分析：在学习积分上限函数时，要注意区分积分　上下限变量与积分变量，不要混淆。这里被积函数ｆ中　除含积分变量ｔＰｂ，还含参变量ｘ，不能直接使用变限积　分函数的求导性质，通常要通过变量替换消去被积函　数ｆ中参数Ｘ，则令ｕ＝２ｘ—ｔｉｎ可．　２　ｆ　ｃｏｓ　２　ｔｄｔ　故ｆ（ｘ）＝　～是连续的．　ｆ　ｃ。ｓ　ｔｄｔ　（３）当ｘ＝０时，ｌｉａｒｆ（ｘ）：ｌｉｍ　～ｘ　０　Ｘ　：ｌｉｍ　ｏ—ｌ　：１，　而ｌｉｍｆ（ｘ）＝２＝ｆ（０），因此ｆ（ｘ）在ｘ＝０处不连续，但它　是右连续的　解：令ｕ＝２ｘ—ｔ，贝０｝ｆｆ（２ｘ—ｔ）ｄｔ＝ｆ（２ｘ—ｕ）ｆ（ｕ）ｄｕ　Ｎ　３．讨论变限积分的隐函数与参数方程求导问题。　＝２ｘ　Ｊ　ｆ（ｕ）ｄｕ—Ｊ　ｕｆ（ｕ）ｄｕ　・．．　例５：已知ｆ　ｅ　ｄｔ＋ｆ　ｃ０ｓｔｄｔ＝Ｏ，求　．　０　０　ｄｘ　解：隐函数方程，两边对Ｘ求导，得　ｅ　・ｙ　＋ｃ０ｓ（ｘｙ）・（ｙ＋ｘｙ　）＝０，整理得ｙ　：ｄ　ｙ：　ＯＸ　—（』ｔｆ（２ｘ—ｔ）ｄｔ）：２　ｆ　ｆ（ｕ）ｄｕ＋２ｘ［２ｆ（２ｘ）一　２　ｆ（ｘ）］［－２ｘｆｆ２ｘ）・２－ｘ　ｘ）］　ｒ　ｙｃｏｓ（ｘｙ）　＝２　ｆ　ｆ（ＩＩ）ｄｕ—ｘｆ（ｘ）．　ｅ　＋ＸＣＯＳ（ｘｙ）　处理这类问题的关键是：变限积分作积分变量替　换同普通定积分一样，必须对变限积分的上下限作相　应地替换，即仍然遵循定积分的“不换元不换限，换元　必换限”的原则。　三、变限积分函数求导应用的典型例题　４．讨论变限积分函数的单调性与奇偶性等问题。　例６：设ｆ（ｘ）为奇函数，在（一∞，＋∞）内连续且单调　ｒ　递增，Ｆ（ｘ）＝｝（ｘ一３ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ　０　掌握好变限积分的求导运算是非常重要的，当我们　碰到变限积分的题目时，不是想办法去求出这个变限积　分的函数表达式，而是应该想到用求导性质去解决具体　的问题，下面分晴况来讨论变限积分求导的应用。　１．讨论变限积分函数的极限问题。　ｘ—求证：（１）Ｆ（ｘ）为奇函数；（２）Ｆ（ｘ）在［０，＋∞］上单　调递减．　证：（１）。．‘Ｆ（一ｘ）＝　（一ｘ一３ｔ）ｆｔ）ｄｔ　ｔ＝－ｕ　０ｘ　，。。。。。。　。。。。。一　Ｊ（一ｘ＋３ｕ）ｆ（一ｕ）ｄ（～ｕ）　＝一ｆ　ｅ　ｄｔ　．　，　例３：￣ｌｉｒｎ—　ｘ　ｓｉｎ２ｘ　ｆ（ｘ一３ｕ）ｆ（ｕ）ｄｕ＝一Ｊ（ｘ一３ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝一Ｆ（ｘ）　０　０　故Ｆ（ｘ）为奇函数。　解：是　未定型，用洛比达法则，　Ｉ－　（２）‘．’Ｆ（ｘ）＝ｘ　ｆ　ｉｆｔ）＆一３　Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ　０　０　・．ｆ　．　．原式＝—等＝　～・２ｘ　：　：ｌ　ｉｍ　＝　６ｌｉｍ二ｘ　　６：一　．．　膦ｌｉ　　ａｒＦ（ｘ）＝ｆ　ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘｆ（ｘ）一３ｘｆ（ｘ）＝Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ一２ｘｆ（ｘ）　０　０　＝注：通常这类　或　的未定型极限都可用洛比　ＩＩ　ｏ。　』ｆｉｔ）ａｔ—ｆ（ｘ）Ｊ　ｄｔ—ｘ　ｘ）　０　０　达法则来计算，在计算过程中可用等价无穷小量来进　行因式替换，简化计算。　２．讨论变限积分函数的连续性问题。　一＝｝ｆ（ｔ）ｄｔ—Ｉ　ｆ（ｘ）ｄｔ—ｘｆ（ｘ）　０　０　：Ｉ［ｉｆｔ）一ｆ（ｓ）］ｄｔ—ｘｆ（ｘ）　’．二　．Ｘ＞Ｕ　ｎ＝＞　・ｆ（ｘ）在（一∞，＋∞）内为增函数与奇函数，　ｉｔ）一ｆｆ（ｘ）＜０，ｘｆ（Ｘ）＞０　ｅ　一１　．・．例４：讨论ｆ（ｘ）＝　一２，ｘ＝Ｏ的连续性．　・．！　．Ｊ［ｉｆｔ）一　ｘ）］ｄｔ＜Ｏ，一ｘｆｆｘ）＜Ｏ　０　．＜Ｕ　Ｘ＜０　．－２１２　２０１７年９月　第３８期　教育教学论坛　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　ＴＥＡＣＨＩＮＧ　ＦＯＲＵＭ　＝Ｓｅｐｔ．２０１　７　ＮＯ．３８　于是：Ｆ（ｘ）＝Ｉ［ｉｆｔ）～ｆ（ｘ）］ｄｔ—ｘｆ（ｘ）＜Ｏ，　ｘ∈（０，＋∞）　２ｘ［ｆ（ｘ）一ｆ（ｏ）］＋２ｘ＝２ｘｆ（ｘ）＋２ｘ　￣ｌｌｆ＇（ｘ）一２ｘｆ（ｘ）＝２ｘ，求解一阶线性微分方程，得　ｆ（ｘ）＝ｅ　（一ｅ　＋ｃ），又ｆ（０）＝０，得Ｃ＝１，所以ｆ（ｘ）＝ｅＸ一１．　故：Ｆ（ｘ）在［０，＋∞］上单调递减。　５．讨论含变限积分方程的根的情况。　１　ｘ　例７：已知函数ｆ（　）：ｆ　ｘ）零点的个数．　ｄｔ＋ｆ　ｄｔ，求　注：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分　方程化为微分方程，然后求解，注意初值条件隐含在　积分方程内。　９．在证明不等式题中的应用。　例１０：设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且　解：ｆ，ｘ）一　＋２　：０，得驻点ｘ：　．　ｘ）单调增加，０≤ｇ（ｘ）≤１．　ｒ　・　证明：（Ｉ）０≤Ｊ　ｇ（ｔ）ｄｔ￣ｘ—ａ，ｘＥ［ａ，ｂ］；　当ｘ＜　时，ｆ　ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调减少；当ｘ＞　，ａ　ｆ　』＝ｇ（ｔ）ｄｔ　ｈ　时，　ｘ）＞０，　ｘ）单调增加．　（ＩＩ）ｆ　ｆ（ｘ）ｄｘ≤』ｕｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ．　因　１）＝０，Ｎ￣Ａｆ（ｘ）在ｘ＞　时存在唯一零点且　证明（Ｉ）：因０≤ｇ（Ｘ）≤１，所以ｘ∈［ａ，ｂ］时，有　ｘ　ｘ　ｘ　ｒ　，ｒ　ｆ（÷）＜０．　ｆ　０ｄｔ＜￣Ｊ　ｇ（ｔ）ｄｔ≤ｆ　１ｄｔ，　Ｂ　ａ　ａ　又　（ｘ）＝＋∞，ｆ（吉）＜０，￣ＥＩ：Ａｆ（ｘ）在ｘ＜÷时也　ｒ　即０≤Ｉ　ｇ（ｔ）ｄｔ＜￣ｘ—ａ，ｘ∈［ａ，ｂ］．　ａ　存在唯一零点．　ａ＋』　（ｕ）ｄｕ　ｘ　ｒ　，综上，ｆ（ｘ）有且仅有２个零点。　证明（ＩＩ）：令Ｆ（ｘ）＝ｆ－　　ａ　ｆ（ｔ）ｄｔ—Ｊ　ａ　ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，　６．求被积函数为变限积分函数的定积分。　Ｘ∈［ａ，ｂ］，Ｆ（ａ）＝０　Ｎ８：设　）：Ｊ　ｄｔ，求ｆ　）ｄ　．　因设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，所以　０叮『－ｔ　０　ｘ　，Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可导，且Ｆ　（ｘ）＝［ｆ（ａ＋Ｊ　ｇ（ｕ）ｄｕ）一ｆ　解：因　０）：０，　百）：ｆ　ｄｔ，ｆ　ｘ）：　，　ａ　（ｘ）］ｇ（ｘ）。　所以ｆ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝［ｘｆ（ｘ）］ｏ　一ｆ　ｘｆ　（ｘ）ｄｘ　ｒ　由（Ｉ）知，ａ＋ｆ　ｇ（ｕ）ｄｕ￣＜ｘ，又已知ｆ（ｘ）单调增加且　ａ　＝订ｆ（叮Ｔ）一』　一ＸＳＩＤＸ　ｄｘ＝竹ｆ（盯）＋』—＇ｉＴ－—Ｘ－＇ＩＴ　ｇ（ｘ）Ｉ＞０，所以Ｆ　（ｘ）≤０，从而Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调减　０盯一Ｘ　０　１ｒ—Ｘ　少，Ｆ（ｂ）≤Ｆ（ａ）＝０，即』ａ＋Ｉ：ｇ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ。）ｄｘ≤』：ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄ）【．　ｓｉｎｘｄｘ＝，ｒｒｆ（１Ｔ）＋Ｊ　ｓｉｎｘｄｘ一盯ｆ（１Ｔ）＝［ＣＯＳＸ］Ｉ　：２．　以上例题中的例７、例９、例１０都是近几年考研的　试题。总之，变限积分函数是一个非常重要而又特殊　７．求解积分方程。　的一类函数，它的求导性质必须熟练掌握并能进行各　例９：设函数ｆ（ｘ）具有连续的一阶导数，且满足　方面的应用。　）：ｆ（）【２一ｔ　）ｆ，（ｔ）ｄｔ＋Ｘ２，求ｆ（　）的表达式．　参考文献：　【１］同济大学应用数学系＿高等数学（上册）ｆＭ】．高等教育出版　社．２００６．　解：　ｘ）：ｘ　ｆ　ｆ，（ｔ）ｄｔ—ｆ　ｔ２ｆ，（ｔ）ｄｔ＋Ｘ２，Ｋｆ（ｏ）：０，　［２］华东师大数学系编．数学分析［Ｍ］．高等教育出版社（第三　０　０　版），１９９４．　两边求导得，ｆ，ｘ）：２ｘ　ｆ　ｆ，（ｔ）ｄｔ＋ｘｉｆ，ｘ）一　【３１万学海文考试研究中心．２０１５考研数学真题大解析数学二　【Ｍ】冲国时代经济出版社，２０１３．　【４】卢亚丽，李艳华，等．变限积分函数求导方法研究Ⅱ】．河南教　ｘ　ｆ，ｘ）＋２ｘ：２ｘ　ｆ　ｒ（ｔ）ｄｔ＋２ｘ　育学院学报，２００４，１３（１）．　Ｔｈｅ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｌｉｍｉｔ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ＺＨＵ　Ｚｈｏｎｇ—ｈｕａ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈ，Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，ＤｏｎｇｈＨａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０１　６２０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｖａｒｉａｂｌｅ　ｌｉｍｉｔ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｈａｓ　ａ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｆｏＦＩＴＩ　ｉｎ　ｃａｌｃｕｌｕｓ．Ｉｔ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ａ　ｌｉｎｋ　ｏｆ　ｍａｎｙ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｐｏｉｎｔｓ　ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｔｈｅ　ｋｅｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｉｉｆｃｕｌｔｙ　ｏｆ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｃａｌｃｕｌｕｓ．Ｉｔ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｃａｌｃｕｌｕｓ．Ｔｈｅ　ｕｐｐｅｒ　ｈｍｉｔ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｗｉｈｔ　ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｈｃａｔｉｏｎ　ｏｆｔｈｅ　ｕｐｐｅｒ　ｌｉｍｉｔ　ｏｆｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｃｏｎｔｅｎｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌｕｓ　ａｒｅ　ｅｘｐｌａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｖａｒｉａｂｌｅ　ｌｉｍｉｔ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｕｆｎｃｔｉｏｎ；ｎｉｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ；ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　－２１３—