积分上限函数求导

要求解积分上限函数的导数，我们首先要明确积分上限函数的定义和性质。

$$

F(x) = \\int_{a}^{x} f(t) dt $$

其中，$f(t)$是连续函数，$a$是常数。 根据积分的定义，我们可以得到： $$

F(x) = \\lim_{n \o \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \\Delta t_i $$

其中， $t_i$是在区间 $[a, x]$ 上的任意点，$\\Delta t_i$是区间上的一个分割。

当我们固定$t_1$和$t_n$，仅改变分割的方式时，我们可以得到： $$

F(x) = \\lim_{n \o \\infty} \\sum_{i=1}^{n-1} f(t_i) \\Delta t_i + f(t_n) \\Delta t_n

$$

我们可以观察上式中的两项：

- 第一项是一个关于 $t_i$ 的和，将其视作 $t$ 的函数：$G(t) = \\sum_{i=1}^{n-1} f(t_i) \\Delta t_i$。当我们固定 $t_1$ 和 $t_n$，仅改变中间的 $t_i$ 时，可以将它看作是一个 Riemann 和。由 Riemann 和的性质可知，$G(t)$ 是 $t$ 的连续函数。

- 第二项是 $f(t_n)$ 乘以 $\\Delta t_n$。我们可以看出这是一个独立于 $t_i$ 的项。

因此，根据连续函数的性质，我们可以得到积分上限函数的导数为： $$

F'(x)=G'(x)+f(x) $$

其中，$G'(x)$表示$G(t)$对$t$的导数。 下面我们来具体求解$G'(x)$：

首先，我们可以将$G(t)$写成下面的形式： $$

G(t) = \\sum_{i=1}^{n-1} f(t_i) \\Delta t_i = \\sum_{i=1}^{n-1} f(t) \\cdot \\frac{t_i - t_{i-1}}{\\Delta t_i} \\Delta t_i = f(t) \\sum_{i=1}^{n-1} (t_i - t_{i-1})

$$

注意到 $\\sum_{i=1}^{n-1} (t_i - t_{i-1})$ 是一个常数，记作 $\\Delta t$，我们可以将 $G(t)$ 改写为：

$$

G(t) = f(t) \\cdot \\Delta t $$

现在我们可以对$G(x)$求导了： $$

G'(x) = \\frac{d}{dx} (f(x) \\cdot \\Delta t) = f'(x) \\cdot \\Delta t

$$

将$G'(x)$和$f(x)$代入积分上限函数的导数公式，我们得到积分上限函数的导数为：

$$

F'(x) = G'(x) + f(x) = f'(x) \\cdot \\Delta t + f(x) $$

这就是积分上限函数的导数。

需要注意的是，由于 $\\Delta t$ 是一个常数，所以积分上限函数的导数与 $\\Delta t$ 无关，只与 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 有关。

在实际应用中，要求解积分上限函数的导数，我们需要先求解$f(x)$的导函数，然后将其加到$f(x)$上即可。