下限积分求导公式

变上、下限积分求导公式

d(x)f(t)dtf((x))(x) dxadbf(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)f(t)dtf((x))(x)f((x))(x) (x)dx

一、填空题答案

1、ln(x1) 2、3、221C 21sinx22 4、2xf(x) 5、

1 

二、计算题（每题2分） 1、

x12x32dx

解：

x12x32dx111d()d() 22xx3x3x1令

11t,则x xt

原式1d()x23x111/t23dt1d(13t2)tdt613t213t21d(13t2) 613t21  213t2C

2、exdx

解、令xt,xt2,dx2tdt

则原式=

et2tdt2td(et)2(ettetdt)

2tet2etC 2ex(x1)C

3、x2lnxdx

解：原式13lnx(dx3) 13133xlnx3xd(lnx)]

13x3lnx13x2dx 13x3lnx19x3C

4、

20xcosxdx

62 13131xC  x233xC

解：原式20xd(sinx)

2=xsinx020sinxdx

=

2cosx02

 5、

21

ln20x3exdx

21ln22x222tx，令，则 xed(x)021ln22x21ln2 原式=xed(x2)tetdt

2020解：原式1tln21ln2t teedt

0202 =ln2

1tln2= ln21 e02x26、dx

0(1x2)21解：令xtant,dxsectdt，则

2原式=

40tant1cos2t11412244sectdtsintdtdttsin2t

00sec4t22208427、

20e2xcosxdx

2202解，令原积分为I，则，利用分部积分法计算积分

2xIe2xcosxdxe2xdsinxesinx002sinx*2e2xdx

0 =2

20edcosx2ecosx020cosx*edx2x2x222x

=2(e41)4I

所以I=

24(e1) 522三、抛物线yx，y2x，与直线y=1所围成的图形（3分）

解：所求面积如右图阴影部分所示：（首先可画出图形，这样方便解题） 两部分关于x轴对称，则 A=2(y01y21)dy2(1)ydy 2203120 2(1

22)y232(22) 33四、求曲线yx及yx所围成的图形（3分）

解：所求面积如右图阴影部分所示： 则先求出交点为(1,1) A=

10(xx3)dx

31202 =x31415x 4012