一、选择题
1． 若a=ln2，b=5
，c=
xdx，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a 2． 下列函数中，为奇函数的是（ ）
A．y=x+1 B．y=x2 C．y=2x D．y=x|x|
3． 已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R
4． 若命题p：∃x0∈R，sinx0=1；命题q：∀x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（ ） A．￢p为假命题 B．￢q为假命题 C．p∨q为假命题 D．p∧q真命题
2
5． 设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x，x∈R}，则M∩N=（ ） A．∅
B．N
C．[1，+∞） D．M
4
的展开式中，含x的项的系数是（ ）
6． 在二项式
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
7． 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为4cm，高为10cm，则一质点自点A出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（ ）
A．16cm B．123cm C．243cm D．26cm
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8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．8+2 B．8+8 C．12+4 D．16+4
2x10的解集为（ ） 9． 奇函数fx满足f10，且fx在0，上是单调递减，则
fxfxA．1，1 C．，1
B．，11，
D．1，
10．已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（ ） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1
D．a≤﹣3
对称”是“θ=﹣
”的（ ）
11．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．下列各组函数为同一函数的是（ ） A．f（x）=1；g（x）= B．f（x）=x﹣2；g（x）=C．f（x）=|x|；g（x）=
D．f（x）=
•
；g（x）=
二、填空题
x2y213．已知抛物线C1：y4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|3，双曲线C2：221
ab（a0，b0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为 . 2【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
14．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________． 15．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．
16．AA1=2cm， 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于 cm．
17．已知线性回归方程
18．设双曲线
﹣
=9，则b= ．
=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积
是 ．
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三、解答题
19．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．
（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m；
（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（大小，并说明理由．
20．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．
（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；
（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4； ②GH⊥PD．
），Q=
，R=
，试比较P，Q，R的
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21．如图，四边形ABEF是等腰梯形，ABEF,AFBE2,EF42,AB22，四边形
ABCD是矩形，AD平面ABEF，其中Q,M分别是AC,EF的中点，P是BM的中点．
（1）求证:PQ 平面BCE； （2）AM平面BCM.
22．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）记bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Sn．
23．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=（Ⅰ）求；
22
（Ⅱ）若c=b+
a．
a2，求B．
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24．已知f（（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
）=﹣x﹣1．
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石首市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】解：∵b=5c=
=xdx=
a=ln2＜lne即， ，
，
∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a． 故选：C．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
2． 【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A；
2
由于y=x为偶函数，故排除B；
由于y=2为非奇非偶函数，故排除C；
x
由于y=x|x|是奇函数，满足条件， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
3． 【答案】A
【解析】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A． A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；
B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误； C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误； D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误． 故选：A．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．
4． 【答案】A 【解析】解：∴∃x0∈R，sinx0=1； ∴命题p是真命题；
时，sinx0=1；
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22
由x+1＜0得x＜﹣1，显然不成立；
∴命题q是假命题；
∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题； ∴A正确． 故选A．
2
【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和
命题p，q真假的关系．
5． 【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1， ∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
2
∵集合N中的函数y=x≥0，
∴集合N={y|y≥0}， 则M∩N={y|y≥0}=N． 故选B
6． 【答案】B 【解析】解：对于对于10﹣3r=4， ∴r=2， 故选项为B
，
422
则x的项的系数是C5（﹣1）=10
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7． 【答案】D 【解析】
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考
点：多面体的表面上最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题． 8． 【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为
，
根据三视图得出侧棱长度为∴该几何体的表面积为2×（2×故选：D
=2，
+2×2+2×2）=16
，
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
9． 【答案】B 【解析】
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2x12x102x1fx0，即整式2x1的值与函数fx的值符号相反，当试题分析：由
fxfx2fxx0时，2x10；当x0时，2x10，结合图象即得，11，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 10．【答案】A
2
【解析】解：∵条件p：x+x﹣2＞0，
∴条件q：x＜﹣2或x＞1 ∵q是p的充分不必要条件 ∴a≥1 故选A．
11．【答案】B
【解析】解：若f（x）的图象关于x=则2×
+θ=
+kπ，
+kπ，k∈Z，此时θ=﹣
不一定成立， 对称，
解得θ=﹣反之成立，
即“f（x）的图象关于x=故选：B
对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．
12．【答案】C
【解析】解：A、函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是相同函数；B、函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数； C、因为
综上可得，C项正确． 故选：C．
，故两函数相同；
D、函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，函数g（x）的定义域为{x|x≤1或x≥1}，定义域不同，故不是相同函数．
二、填空题
13．【答案】3
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14．【答案】
【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t）·（－1） ＝4－t＝2，∴t＝2. 答案：2
15．【答案】 180
【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cna
2
可知r=2，所以系数为C10×4=180，
rn﹣rr
b可设含
x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
16．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是三角形AB1D1的面积为4则h=
．
，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则
=
，
，
故点A1到平面AB1D1的距离为故答案为：
．
17．【答案】 4 ．
【解析】解：将故答案为：4
代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．
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18．【答案】 9 ．
【解析】解：双曲线
222
可得c=a+b=13，
=1的a=2，b=3，
，∠F1MF2=90°，
﹣
又||MF1|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2在△F1AF2中，由勾股定理得： |F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2
=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，
22
即4c=4a+2|MF1||MF2|， 2
可得|MF1||MF2|=2b=18，
即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9． 故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．
x
∴g（x）=e．，f（﹣x）=ln（﹣x），
x
则函数的导数g′（x）=e，f′（x）=，（x＜0），
设直线m与g（x）相切与点（x1，则切线斜率k2=
=
），
，则x1=1，k2=e，
=
，则x2=﹣e，k1=﹣，
设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1=故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m． （Ⅱ）不妨设a＞b， ∵P﹣R=g（
）﹣
=
﹣
=﹣
＜0，∴P＜R，
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∵P﹣Q=g（）﹣=﹣
==，
xxxx
令φ（x）=2x﹣e+e﹣，则φ′（x）=2﹣e﹣e﹣＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，
故φ（x）＜φ（0）=0， 取x=
，则a﹣b﹣
⇔
令t（x）=﹣1+则t′（x）=﹣
，
=
≥0，
+
＜0，∴P＜Q， =
=1﹣
则t（x）在（0，+∞）上单调递增， 故t（x）＞t（0）=0， 取x=a﹣b，则∴R＞Q， 综上，P＜Q＜R，
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．
20．【答案】
【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点， 取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线， ∴PK∥GF，
∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG， ∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF， ∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG， ∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB， 又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG． （2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
﹣1+
＞0，
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PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD， 分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， ∴P（0，0，
），D（﹣1，4，0），
），∵P（0，0，=（﹣1，4，﹣
），
）， ），
=（﹣1，4，﹣D（﹣1，4，0），∵
=
=（﹣，，﹣
），
∴G（﹣，，
设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4， 依题意得：
2
∴x＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）
，
又=（x+，y﹣，﹣
，
），
∵GH⊥PD，∴∴﹣x﹣+4y﹣
，即y=
2
，（ii）
把（ii）代入（i），得：3x﹣12x﹣44＞0， 解得x＞2+
或x＜2﹣
，
∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，
∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
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21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定. 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 由an＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0， 化简得q2
﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍），
∵a3=a1•q2
=4a1=8，∴a1=2，
∴数列{an}是以首项和公比均为2的等比数列，
∴an=2n
；
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考
（Ⅱ）由（I）知bn=log2an=
n
∴anbn=n•2，
=n，
123n1n
∴Sn=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2﹣+n×2，
2Sn=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
123n1nn+1
两式相减，得﹣Sn=2+2+2+…+2﹣+2﹣n×2，
∴﹣Sn=
n+1
﹣n×2，
n+1
∴Sn=2+（n﹣1）2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
23．【答案】
22【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinAsinB+sinBcosA=22
即sinB（sinA+cosA）=
sinA，
sinA
a2，得cosB=
2）a，
∴sinB=sinA， =
22
（Ⅱ）由余弦定理和C=b+222
由（Ⅰ）知b=2a，故c=（2+
2
可得cosB=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45° 题进行了互化．
24．【答案】
，则x=
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问
【解析】解：（1）令t=∴f（t）=∴f（x）=
， （x≠1）…
，
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=
，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
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∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…
第 16 页，共 16 页
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