石首市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1． 已知复数z11ai,z232i，aR,i是虚数单位，若z1z2是实数，则a（ ） A． 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ 2112 B． C． D． 33332

2

2． 已知圆C：x+y﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（ ）

A．一定相离 B．一定相切

C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心

3． 若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ） A．±1

B．﹣1 C．0

D．1

=1（a＞b＞0）上的一点，且

=0，

4． 若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．

，则此椭圆的离心率为（ ） B．

C．

D．

5． 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ ） A．（1，2） B．[1，2] 6． (x2C．[1，2） D．（1，2]

16)的展开式中，常数项是（ ） 2x515515A． B． C． D．

4164167． PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）

A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法确定

8． 已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（ ） A．﹣7

9． 设函数F（x）=

B．﹣1

C．﹣1或﹣7

D．

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x

∈R恒成立，则（ ） A．f（2）＞e2f（0），f

B．f（2）＜e2f（0），f

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C．f（2）＞e2f（0），f A．0.1

D．f（2）＜e2f（0），f

C．0.3

D．0.4

10．如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（ ）

B．0.2

112311．设a，b为正实数，22，(ab)4(ab)，则logab=（ ）

abA.0

B.1 C.1 D.1或0

【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 12．在极坐标系中，圆

的圆心的极坐标系是( )。

ABCD

二、填空题

13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 ． 14．已知x、y之间的一组数据如下： x 0 1 y 8 2 则线性回归方程

2

6

3 4

所表示的直线必经过点 ．

15．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

= ．

16．

如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当

2

2

四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________． 17．函数f（x）=log

2

（x﹣2x﹣3）的单调递增区间为 ．

18．命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为 ．

三、解答题

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19．化简： （1）（2）

．

+

．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上． （Ⅱ）若

（I）求证：AD⊥PB；

，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？

（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．

21．椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率

，点（2，

）在C上．

（1）求椭圆C的方程；

的斜率与l的斜率的乘积为定值．

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM

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22．已知函数f（x）=a﹣（1）若a=1，求f（0）的值；

，

（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；

（3）若函数f（x）为奇函数，判断|f（ax）|与f（2）的大小．

23．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．

（Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若，求实数k的值； （Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

24．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

234，，，且各轮考核通过与否相互独立。 345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

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25．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．

进行分组，假设同一组中的每个数据可用

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率； （Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中

．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明） （注：

26．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残存的农药y（单位：微克）的统计表：

xi 1 2 3 4 5 yi 57 53 40 30 10 （1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性； ，其中为数据

的平均数）

（2）若用解析式y＝cx＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；

2

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附：设ωi＝x2i，有下列数据处理信息：ω＝11，y＝38， （ωi－ω）（yi－y）＝－811， （ωi－ω）2＝374，

对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为

（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）

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石首市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】z1z232a(3a2)i， ∵z1z2是实数，∴3a20，∴a2． 【答案】C

【解析】

【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．

22

【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）+y=2， ∴圆心C（1，0），半径r=， ∵≥＞1， ∴圆心到直线l的距离d=

＜

=r，且圆心（1，0）不在直线l上，

2． 3∴直线l与圆相交且一定不过圆心． 故选C

3． 【答案】B

2

【解析】解：因为复数a﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，

2

所以a﹣1=0且a﹣1≠0，解得a=﹣1．

故选B．

【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．

4． 【答案】A 【解析】解：∵∴

∵Rt△PF1F2中，∴∴

又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为e=故选A

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

5． 【答案】D

=

=

=

=

，设PF2=t，则PF1=2t

=2c，

，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．

，

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x

【解析】解：A={x|2≤4}={x|x≤2}，

由x﹣1＞0得x＞1

∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1} ∴A∩B={x|1＜x≤2} 故选D．

6． 【答案】D

r【解析】Tr1C6(x2)6r(1r1r123r，

)()rC6x2x2令123r0，解得r4．

4∴常数项为()4C61215． 167． 【答案】A

【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定， 而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中， ∴甲地的方差较小． 故选：A．

【点评】本题 考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．

8． 【答案】A 【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行． 所以故选：A．

，解得m=﹣7．

【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．

9． 【答案】B 【解析】解：∵F（x）=∴函数的导数F′（x）=∵f′（x）＜f（x）， ∴F′（x）＜0，

即函数F（x）是减函数，

2

则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜ef（0），f，

，

=

，

故选：B

10．【答案】A

2

【解析】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，

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∵P（﹣3≤ξ≤﹣1） =∴

∴P（ξ≥1）=

．

【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．

11．【答案】B.

2323

11ab2222 【解析】(ab)4(ab)(ab)4ab4(ab)，故

abab(ab)24ab4(ab)3111184(ab)8ab2，而事实上ab2ab2，

(ab)2(ab)2abababab∴ab1，∴logab1，故选B.

12．【答案】B 【解析】

，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为

，选B。

二、填空题

13．【答案】 平行 ．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

=5

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D 故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

14．【答案】 （，5） ．

【解析】解：∵故选C

，

∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，5）

【点评】解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定 过样本中心点．

15．【答案】 ﹣5 ．

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2

【解析】解：求导得：f′（x）=3ax+2bx+c，结合图象可得

x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0， 故

，解得

故==﹣5

故答案为：﹣5

16．【答案】

【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9. 圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，

∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2

PC2－AC2＋2AC＝2PC2－9＋6.

当PC最小时，四边形PACB的周长最小． 此时PC⊥l.

∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，

x＋y－5＝0由，解得点P的坐标为（4，1）， x－y－3＝0

由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，

119

∴S△ABC＝AC·BC＝×3×3＝.

222

9

即△ABC的面积为.

2

9答案： 2

17．【答案】 （﹣∞，﹣1） ．

【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1} 令t=x﹣2x﹣3，则y=

2

因为y=在（0，+∞）单调递减

t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增

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由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）

故答案为：（﹣∞，﹣1）

18．【答案】 ∃x0∈R，都有x03＜1 ．

3

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有x≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R，

3

都有x0＜1”．

故答案为：∃x0∈R，都有x0＜1．

3

【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解 （1）原式= ==

=

==﹣1．

=

（2）∵tan（﹣α）=﹣tanα，sin（tan（π+α）=tanα， ∴原式=

+

﹣α）=cosα，cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα，

=

+

=

=﹣

=﹣1．

【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．

20．【答案】

【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB， ∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB， ∴AD⊥PB．

（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点， 当M为PD的中点时，EM∥AD， ∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM， ∴平面BEM⊥平面PAB． 此时，

．

（III）设CD的中点为F，连接BF，FM 由（II）可知，M为PD的中点． ∴FM∥PC．

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∵AB∥FD，FD=AB， ∴ABFD为平行四边形． ∴AD∥BF，又∵EM∥AD， ∴EM∥BF．

∴B，E，M，F四点共面．

∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM， ∴PC∥平面BEM．

【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．

21．【答案】

【解析】解：（1）椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率

，点（2，．

）在C上，可得

，

22

，解得a=8，b=4，所求椭圆C方程为：

（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 把直线y=kx+b代入故xM=

=

222

可得（2k+1）x+4kbx+2b﹣8=0，

，yM=kxM+b=

=

， ，即KOMk=

．

于是在OM的斜率为：KOM=

∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．

22．【答案】

【解析】解：（1）a=1时：f（0）=1﹣

=；

（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1＜x2 则f（x1）﹣f（x2）=a﹣

﹣a+

=

．

x

∵y=2在R是单调递增且x1＜x2 x1x2x1x2

∴0＜2＜2，∴2﹣2＜0，

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2x1+1＞0，2x2+1＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在R上单调递增．

（3）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）， 即a﹣解得：a=1． ∴f（ax）=f（x）

=﹣a+

，

又∵f（x）在R上单调递增

∴x＞2或x＜﹣2时：|f（x）|＞f（2）， x=±2时：|f（x）|=f（2）， ﹣2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．

【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．

23．【答案】

【解析】

【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；

（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；

方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；

（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，

，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；

方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设则

2

2

，

，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN

面积的最大值．

【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．

因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r， 所以 解得a=0，r=2，…（2分）

22

所以圆C的方程是x+y=4．…（4分） （II）方法一：因为所以

，∠POQ=120°，…（7分）

，…（6分）

所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分） 又

，所以k=0．…（9分）

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方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 因为

，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0．…（6分）

2

2

由题意得：…（7分）

因为又

=x1•x2+y1•y2=﹣2，

，

，…（8分）

2

所以x1•x2+y1•y2=

2

化简得：﹣5k﹣3+3（k+1）=0，

2

所以k=0，即k=0．…（9分）

（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S． 因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分） 又根据垂径定理和勾股定理得到，而

，即

，…（11分）

…（13分）

当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分） 方法二：设四边形PMQN的面积为S．

当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时当直线l的斜率k≠0时，设则所以

2

2

．…（10分）

，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0

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同理得到．…（11分）

=…（12分）

因为所以

， ，…（13分）

当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）

24．【答案】（1）（2）X的分布列为数学期望为E(X)0100025

131124700-- 20003000610532342 3455解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

2-------------4分 5（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

212312341，P(X1000)(1)，P(X2000)(1) 33346345102342P(X3000)------------------9分

3455P(X0)1所以，X的分布列为

数学期望为E(X)0100025．【答案】

13112470020003000---------------------12分 61053第 15 页，共 16 页

【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型

【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有

人，

所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有

人． （

Ⅱ）设 “至少有1人体育成绩在”为事件， 记体育成绩在

的数据为

，

，体育成绩在

的数据为

，

，，． ，

，

，

，

，

，

则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：

，

而事件

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的结果有7种，它们是：

因此事件的概率． （Ⅲ）a，b，c的值分别是为，26．【答案】 【解析】解：（1）

，．

根据散点图可知，x与y是负相关． 方程，y＝cω＋d，

（2）根据提供的数据，先求数据（ω1，y1），（ω2，y2），（ω3，y3），（ω4，y4），（ω5，y5）的回归直线

－811＝≈－2.17， 374

^^

a＝y－cω＝38－（－2.17）×11＝61.87.

∴数据（ωi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的回归直线方程为y＝－2.17ω＋61.87， 又ωi＝x2i，

∴y关于x的回归方程为y＝－2.17x2＋61.87.

61.876187（3）当y＝0时，x＝＝≈5.3.估计最多用5.3千克水．

2.17217

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