2020-2021学年山东省济南市七年级(下)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年山东省济南市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽

出10张，恰好红桃，梅花，黑桃3种牌都抽到，这件事情( )

A. 可能发生 B. 不可能发生 C. 很可能发生 D. 必然发生

2. 已知图形：其中既是轴对称图形，①等边三角形，②平行四边形，③菱形，④圆．

又是中心对称图形的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3. 已知一辆汽车行驶的速度为50𝑘𝑚/ℎ，它行驶的路程𝑠(单位：千米)与行驶的时间𝑡(

单位：小时)之间的关系是𝑠=50𝑡，其中常量是( )

A. s B. 50 C. t D. s和t

4. 下列说法中正确的有( )

(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余； (3)相等的两个角是对顶角；

(4)从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

5. 如图，已知∠1=∠2，则AH必为三角形ABC的( )

A. 角平分线 B. 中线 C. 一角的平分线 D. 角平分线所在射线

6. “小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是( )

A. (𝑎𝑏)2=𝑎𝑏2 B. (𝑎3)2=𝑎6 C. 𝑎6÷𝑎3=𝑎2 D. 𝑎3⋅𝑎4=𝑎12

7. 下列各组数是勾股数的是( )

A. 2，1，5 C. √2，√3，√5

B. 15，8，17 D. 7，7，7

3

4

5

8. 将一条两边沿平行的纸带如图折叠，若∠1=52°，则∠2等于( )

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A. 52° B. 58° C. ° D. 60°

9. 小颖的家与学校的距离为𝑠0千米，她从家到学校先以匀速𝑣1跑步前进，后以匀速

𝑣2(𝑣2<𝑣1)走完余下的路程，共用了𝑡0小时，下列能大致表示小颖离家的距离𝑦(千米)与离家时间𝑡(小时)之间关系的图象是( )

A.

B.

C.

D.

10. 小明和小凡是同班同学，被分到了同一个学习小组．在一次数学活动课上，他们各

自用一张面积为100𝑐𝑚2的正方形纸片制作了一副七巧板，并合作完成了如图所示的作品．请计算图中打圈部分的面积是( )

A. 12.5𝑐𝑚2 B. 25𝑐𝑚2 C. 37.5𝑐𝑚2 D. 50𝑐𝑚2

𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于点B，11. 如图，数轴上的点A表示的数是0，点B表示的数是3，且𝐵𝐶=2，

以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为( )

A. √13

B. √13+2 C. √13−2 D. 2

O是对角线AC、BD的交点，12. 如图所示，在正方形ABCD中，

BC于E、F，𝐶𝐹=3，过O作𝑂𝐸⊥𝑂𝐹，分别交AB、若𝐴𝐸=4，则EF的长为( )

A. 3

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B. 4 C. 5 D. 6

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”(如3=

22−12，16=52−32)则3和16是智慧数．已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，….则第2018个“智慧数”是______．

14. 一只不透明的布袋中有三种小球(除颜色以外没有任何区别)，分别是2个红球，3

个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是__________． F分别在BC、CD上，△𝐴𝐸𝐹15. 如图，正方形ABCD中，点E、

是等边三角形，连结AC交EF于G，下列结论：①𝐵𝐸=𝐷𝐹；②∠𝐴𝐸𝐹=15°；③𝐴𝐶垂直平分EF；④𝐵𝐸+𝐷𝐹=𝐸𝐹；⑤△𝐶𝐸𝐹为等腰直角三角形，其中正确的有______(填序号)．

F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、16. 如图，点E、

BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为______ .(填序号)

①一定不是平行四边形；②一定不是中心对称图形；③可能是轴对称图形；④当𝐴𝐶=𝐵𝐷时它是矩形．

17. 已知一台装有30升柴油的柴油机，工作时平均每小时耗油3升，请写出柴油机剩

余油量Q关于时间的函数关系式______(不要求写定义域) 18. 如图的阴影部分是由四个全等的直角三角形和一个

DH，FG分别相交于点I，J，正方形拼成，直线AE，K，若直角三角形的两直角边长分别为1和2，则△𝐼𝐽𝐾的面积为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分） 19. 化简下列各式：

(1)3(𝑥−1)2+(𝑥+2)(1−2𝑥)

(2)(

𝑥2−2𝑥+1𝑥2−1

+𝑥)÷𝑥+1．

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11

四、解答题（本大题共11小题，共74.0分） 20. (2𝑎+𝑏−𝑐)(2𝑎−𝑏+𝑐)

21. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如

图方式叠放在一起(其中∠𝐴=60°，∠𝐷=30°，∠𝐸=∠𝐵=45°)．

(1)猜想∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐷𝐶𝐸的数量关系，并说明理由． (2)当∠𝐴𝐶𝐸<180°且点E在直线AC的上方时，这两

块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠𝐴𝐶𝐸所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．

22. “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新

华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要

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买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：

(1)小明家到学校的距离是_____米； (2)小明在书店停留了_____分钟；

(3)本次上学途中，小明一共骑行了_____米；

(4)我们认为骑车的速度超过了300米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由．

23. 如图1，锐角△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐵𝐴𝐶=60°，若⊙𝑂的半径为2√3．

(1)求BC的长度；

(2)如图2，过点A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点H，若𝐴𝐵+𝐴𝐶=12，求AH的长度．

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24. 先化简，再求值：(𝑎−𝑏)2+𝑏(𝑎+𝑏)−𝑎2−2𝑏2，其中𝑎=−3，𝑏=3．

25. 已知：如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延

长线交于点E，𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝐸𝐴=𝐸𝐶，求证：∠𝐴=∠𝐶．

1

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26. 已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=5，两直角边之和为7，求𝑆△𝐴𝐵𝐶．

27. 已知多项式𝑎𝑥+𝑏与2𝑥2−𝑥+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为6，

求𝑎𝑏的值．

28. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，A、B两艘轮船同时从港口P出发，各

自沿一固定方向航行，A轮船每小时航行12海里，B轮船每小时航行16海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点R、Q处，且相距30海里．已知B轮船沿北偏东60°方向航行．

(1)𝐴轮船沿哪个方向航行？请说明理由； (2)请求出此时A轮船到海岸线的距离．

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29. 2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面

对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

(1)在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为______ ，并补全条形统计图；

(2)该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数； (3)对视力“非常重视”的4人有𝐴1，𝐴2两名男生，𝐵1，𝐵2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．

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30. (1)研究：如图1，已知△𝐵𝐶𝐷是等腰三角形，BA是CD边上的高，垂足为A，CF

是底边DB的高交BA于点𝐹.若𝐵𝐴=𝐴𝐶，求证：△𝐴𝐹𝐶≌△𝐴𝐷𝐵；

(2)拓展：在图2、图3中，△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，点D在线段BC上(不含点𝐵)，∠𝐵𝐷𝐹=2∠𝐵𝐶𝐴，且DF交AB于点F，𝐵𝐸⊥𝐷𝐹，垂足为点E．

①如图2，当点D与点C重合，试写出BE与DF的数量关系；

𝐶)时，当点D在线段BC上(不含点B、②如图3，①中的结论成立吗？如果成立，请证明它；如果不成立，请说明理由．

1

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张，一定还有1张黑桃； 若抽出了全部的梅花与黑桃共7张，则还会有3张红桃； 若抽出了全部的红桃与黑桃共8张，则还会有2张梅花； ∴这个事件一定发生，是必然事件． 故选：D．

4张梅花、3张黑桃，因为一副牌有5张红桃、从中一次随机抽出10张，恰好红桃，梅花，黑桃3种牌都抽到，这个事件一定发生，是必然事件．

本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．

2.【答案】B

【解析】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形； ②平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形； ③菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④圆，既是轴对称图形，也是中心对称图形； 综上可得，符合题意的有2个． 故选B．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】B

【解析】解：在运动过程中，汽车行驶的路程s随行驶的时间t的变化而变化， ∴𝑠、t是变量，

汽车行驶的速度为50𝑘𝑚/ℎ， ∴50是常量， 故选：B．

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根据变量和常量的定义判断即可．

本题考查的是变量和常量的定义，掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量是解题的关键．

4.【答案】A

【解析】解：(1)两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故错误； (2)两个角的和为90°，这两个角互为余角，故错误；

(3)相等的两个角不一定是对顶角，对顶角一定相等，故错误；

(4)从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误； 故选：A．

(1)当两条互相平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； (2)根据余角的定义作出判断； (3)根据对顶角的定义作出判断； (4)根据点到直线的距离的定义作出判断．

本题考查了对顶角、余角的定义点到直线的距离，注意点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，两个角的和为90°，这两个角互为余角．

5.【答案】A

【解析】解：∵∠1=∠2，AH是线段， ∴𝐴𝐻必为三角形ABC的角平分线． 故选：A．

根据角平分线的概念和三角形的角平分线的概念进行选择．

注意三角形的角平分线和角平分线的联系和区别：三角形的角平分线是线段，角平分线是射线．

6.【答案】B

【解析】解：A、应为(𝑎𝑏)2=𝑎2𝑏2，故本选项错误； B、(𝑎3)2=𝑎6，正确；

C、应为𝑎6÷𝑎3=𝑎3，故本选项错误； D、应为𝑎3⋅𝑎4=𝑎7，故本选项错误． 故选B．

根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数

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不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．

7.【答案】B

【解析】解：A、因为22+12≠52，不是勾股数，此选项不符合题意； B、因为82+152=172，是勾股数，此选项符合题意；

C、因为(√2)2+(√3)2=(√5)2，不是正整数，不是勾股数，此选项不符合题意； D、因为，，，不是正整数，不是勾股数，此选项不符合题意．

777故选：B．

三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．

本题考查了勾股数的概念：满足𝑎2+𝑏2=𝑐2的三个正整数，称为勾股数．注意： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足𝑎2+𝑏2=𝑐2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

3

4

5

8.【答案】C

【解析】解：∵纸带两边平行， ∴∠3=∠1=52°， 由于折叠，

∴2∠2+∠3=180°， ∴2∠2+52°=180°， 解得∠2=°． 故选：C．

由于纸带的两边平行，可得∠3=∠1=52°，由折叠可得重合的角相等，利用平角可求得∠2的度数．

本题考查了翻折变换问题，找着重合的角，利用平角定义列出方程是正确解得本题的关键．

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9.【答案】C

【解析】解：小颖从家到学校y随时间t的增大而增大， ∵𝑣2<𝑣1，

∴前半段，线段比较陡，后半段比较缓， 纵观各选项，只有C选项图形符合． 故选C．

根据速度越大，线段越陡分两段讨论得到函数图象即可得解．

本题考查了动点函数图象，比较简单，理解速度越大，线段越陡是解题的关键．

10.【答案】B

【解析】解：

小猫的头部的图形是abc，在右图中三角形h的一半与b全等，而由图中𝑎+𝑐+ℎ的一半正好是正方形的四分之一，即阴影部分的面积是4×100𝑐𝑚2=25𝑐𝑚2， 故选B．

由七巧板的制作过程可知，这只小猫的头部是用正方形的四分之一拼成的，所以面积是正方形面积的四分之一．

本题考查了正方形的性质，也考查了列代数式的内容，难度较大，还考查了学生的观察图形的能力．

1

11.【答案】A

【解析】解：∵点A表示的数是0，点B表示的数是3， ∴𝐴𝐵=3，

又∵𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于点B，且𝐵𝐶=2，

∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=√𝐵𝐶2+𝐴𝐵2=√22+32=√13， ∵𝐴𝐶=𝐴𝐷， ∴𝐴𝐷=√13，

∴点D表示的数为√13，

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故选：A．

𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，依据勾股定理即可得到AC的长，进而得到AD的长，即可得出点D表示的数．

本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．

12.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶，∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐶𝐹=45°，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， 又∵𝑂𝐸⊥𝑂𝐹，

∴∠𝐸𝑂𝐵+∠𝐵𝑂𝐹=90°=∠𝐵𝑂𝐹+∠𝐶𝑂𝐹， ∴∠𝐸𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐹， ∴△𝐵𝐸𝑂≌△𝐶𝐹𝑂(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐹=3， 又∵𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐹=4，

∴𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中，𝐸𝐹=√𝐵𝐸2+𝐵𝐹2=√32+42=5． 故选：C．

先利用ASA证明△𝐵𝐸𝑂≌△𝐶𝐹𝑂，故得𝐵𝐸=𝐹𝐶，进而得出𝐴𝐸=𝐵𝐹，在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中利用勾股定理即可解得EF的长．

本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

13.【答案】2694

【解析】解：观察探索规律，发现全部智慧数从小到大可按每三个数分一组， 从第二组开始每组的第一个数都是4的倍数，从而第n组的第一个数为4𝑛(𝑛≥2)； ∵2018=3×672+2

∴第2018个“智慧数”是第673组中的第2个数，即：4×673+2=2694 故答案为：2694．

先根据题意观察规律，发现每三个一组，从第二组开始的每组第一个数都是4的倍数，再算出第2018个“智慧数”处在哪一组的第几个，就可以算出答案了．

本题考查了平方差类型的新定义，解题的关键是找到循环规律并正确得出要求的数字所

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处的位置．

14.【答案】

【解析】  

每次摸出的红球的概率都相同，均为

．

15.【答案】①③⑤

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，△𝐴𝐸𝐹是等边三角形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐹，∠𝐵=∠𝐷，=90°， 𝐴𝐵=𝐴𝐷

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸和𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，{，

𝐴𝐸=𝐴𝐹∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸≌𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐹，故①正确， ∵𝐵𝐶=𝐷𝐶， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐹，

∴⑤△𝐶𝐸𝐹为等腰直角三角形， 由于𝐴𝐸=𝐴𝐹，𝐶𝑊=𝐶𝐹， ∴𝐴𝐶垂直平分EF，故③⑤正确，

∵△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，∴∠𝐴𝐸𝐹=60°，故②错误， 设𝐸𝐶=𝑥，由勾股定理，得 𝐸𝐹=√2𝑥，𝐶𝐺=

√2𝑥， 2

√6𝑥， 2

𝐴𝐺=𝐴𝐸𝑠𝑖𝑛60°=𝐸𝐹𝑠𝑖𝑛60°=2×𝐶𝐺𝑠𝑖𝑛60°=∴𝐴𝐶=∴𝐴𝐵=∴𝐵𝐸=

√6𝑥+√2𝑥， 2√3𝑥+𝑥， 2√3𝑥+𝑥2

−𝑥=

√3𝑥−𝑥， 2

∴𝐵𝐸+𝐷𝐹=√3𝑥−𝑥≠√2𝑥，故④错误， 故答案为：①③⑤．

通过条件可以得出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐹，从而得出∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹，𝐵𝐸=𝐷𝐹，由正方形的性质就可以得出𝐸𝐶=𝐹𝐶，就可以得出AC垂直平分EF，设𝐸𝐶=𝑥，𝐵𝐸=𝑦，由勾股定

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理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，于是得到结论．

本题主要考查了全等三角形的判断和性质，等边三角形和正方形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，证得𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸≌𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹是解题的关键．

16.【答案】③

【解析】解：连接AC、BD，

∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，

∴𝐸𝐻//𝐵𝐷，𝐺𝐹//𝐵𝐷，

∴四边形EHGF是平行四边形，故①错误； ∵四边形EHGF是平行四边形，

∴四边形EHGF是中心对称图形，故②错误，

当𝐴𝐶=𝐵𝐷时，四边形EHGF是菱形，可能是轴对称图形，故③正确，④错误； 故答案为：③．

连接AC、BD，根据三角形中位线定理、菱形、矩形的判定定理判断即可．

本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．

17.【答案】𝑄=30−3𝑡

【解析】解：∵柴油机的容量为30升，工作时平均每小时耗油3升， ∴柴油机剩余油量𝑄=30−3𝑡． 故答案为：𝑄=30−3𝑡．

根据柴油机的容量及每小时耗油量，即可找出剩余油量Q关于时间的函数关系式，此题得解．

本题考查了函数关系式，根据各数量间的关系找出函数关系式是解题的关键．

18.【答案】10

【解析】解：过G作𝐺𝐿⊥𝐼𝐾于L， ∵∠𝐵𝐶𝐹+∠𝐺𝐶𝐻=90°， ∴∠𝐹𝐶𝐺=90°， ∵𝐶𝐹=𝐶𝐺，

∴△𝐶𝐹𝐺是等腰直角三角形，

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∵𝐶𝐹//𝐼𝐽，𝐶𝐺//𝐼𝐾，

∴△𝐼𝐽𝐾是等腰直角三角形，∠𝐽𝐼𝐾=90°， ∵𝐶𝐹=√12+22=√5， ∴𝐼𝐷=𝐴𝐷×𝐼𝐴=

√5， 52√55

2√5=

2√5， 5

𝐾𝐻=+

√55

=

3√5， 53√55

∴𝐼𝐾=

2√55

+√5+=2√5，

∴△𝐼𝐽𝐾的面积=2√5×2√5÷2=10． 故答案为：10．

先证明△𝐶𝐹𝐺是等腰直角三角形，△𝐼𝐽𝐾是等腰直角三角形，再根据勾股定理和三角形面积公式即可求解．

本题考查了勾股定理及直角三角形的知识，根据所给图形，得到△𝐶𝐹𝐺是等腰直角三角形，△𝐼𝐽𝐾是等腰直角三角形是解答本题的关键．

19.【答案】解：(1)原式=3𝑥2−6𝑥+3+𝑥−2𝑥2+2−4𝑥=𝑥2−9𝑥+5；

(2)原式=[(𝑥+1)(𝑥−1)+𝑥]⋅(𝑥+1)=𝑥−1+

(𝑥−1)2

1

𝑥+1𝑥

=𝑥−1+1+𝑥=

1

𝑥2+1𝑥

．

【解析】(1)原式利用完全平方公式，多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；

(2)原式利用除法法则变形，利用乘法分配律计算即可得到结果． 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：原式=[2𝑎+(𝑏−𝑐)][2𝑎−(𝑏−𝑐)]

=4𝑎2−(𝑏−𝑐)2 =4𝑎2−𝑏2+2𝑏𝑐−𝑐2．

【解析】【试题解析】

2𝑎+𝑏−𝑐=2𝑎+(𝑏−𝑐)；2𝑎−𝑏+𝑐=2𝑎−(𝑏−𝑐).先运用平方差公式，再运用完全平方公式计算．

此题考查乘法公式的运用，把握公式的实质是关键．难度中等．

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21.【答案】解：(1)∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐸=180°；理由如下：

∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐵=90°+∠𝐷𝐶𝐵，

∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐸=90°+∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐸=90°+90°=180°； (2)存在，

当∠𝐴𝐶𝐸=30°时，𝐴𝐷//𝐵𝐶，理由如下，如图1所示：

∵∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐵=30°，∠𝐷=30°， ∴∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶；

当∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐸=45°时，𝐴𝐶//𝐵𝐸，理由如下，如图2所示：

∵∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐵=45°，∠𝐵=45°， ∴𝐵𝐸⊥𝐶𝐷， 又∵𝐴𝐶⊥𝐶𝐷， ∴𝐴𝐶//𝐵𝐸；

当∠𝐴𝐶𝐸=120°时，𝐴𝐷//𝐶𝐸，理由如下，如图3所示：

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∵∠𝐴𝐶𝐸=120°，

∴∠𝐷𝐶𝐸=120°−90°=30°， 又∵∠𝐷=30°， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷， ∴𝐴𝐷//𝐶𝐸；

当∠𝐴𝐶𝐸=135°时，𝐵𝐸//𝐶𝐷，理由如下，如图4所示：

∵∠𝐴𝐶𝐸=135°，

∴∠𝐷𝐶𝐸=135°−90°=45°， ∵∠𝐸=45°， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐸， ∴𝐵𝐸//𝐶𝐷；

当∠𝐴𝐶𝐸=165°时，𝐵𝐸//𝐴𝐷.理由如下： 延长AC交BE于F，如图5所示：

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∵∠𝐴𝐶𝐸=165°， ∴∠𝐸𝐶𝐹=15°， ∵∠𝐸=45°，

∴∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐸𝐶𝐹+∠𝐸=60°， ∵∠𝐴=60°， ∴∠𝐴=∠𝐶𝐹𝐵， ∴𝐵𝐸//𝐴𝐷．

【解析】(1)根据①中的结论可提出猜想，再由∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐸=90°+∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐸可得出结论；

(2)分∠𝐴𝐶𝐸=30°，45°，120°，135°及165°进行解答．

本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．

22.【答案】解：(1)1500 ；

(2) 4； (3) 2700 ；

(4)由图象可知：12～14分钟时是小明买到书后继续骑车到学校的这段时间，平均速度=

1500−60014−12

=450米/分，

∵450>300，

∴12～14分钟时速度不在安全限度内

【解析】 【分析】

本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时

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间，又利用了路程与时间的关系． (1)根据函数图象的纵坐标，可得答案；

(2)根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可的答案；

(3)根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； (4)根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度． 【解答】

解：(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米； 故答案为1500；

(2)根据题意，小明在书店停留的时间为从(8分)到(12分)， 故小明在书店停留了4分钟． 故答案为4；

(3)一共行驶的总路程=1200+(1200−600)+(1500−600) =1200+600+900=2700米； 故答案为2700； (4)见答案．

23.【答案】解：(1)连接OB，OC，过点O作𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点D，

∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=2𝐵𝐶， ∵∠𝐴=60°，

∴∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐴=120°， ∵𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵=∵𝑂𝐵=2√3，

∴𝐵𝐷=𝑂𝐵⋅𝑐𝑜𝑠30°=2√3×∴𝐵𝐶=2𝐵𝐷=6．

(2)设点G为此三角形ABC内切圆的圆心(角平分线的交点)，过G分别向AB，AC，BC作垂线GM，GN，GQ，

∵𝐺𝑀=𝐺𝑁=𝐺𝑄，𝐶𝑄=𝐶𝑁，𝐵𝑄=𝐵𝑀，𝐴𝑀=𝐴𝑁，

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√32

180°−∠𝐵𝑂𝐶

2

1

=30°，

=3，

∴𝐴𝑀+𝐴𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁=3． 在𝑅𝑡△𝐴𝐺𝑀中， ∵∠𝐺𝐴𝑀=30°，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=𝑆△𝐴𝐵𝑄+𝑆△𝐵𝐶𝑄+𝑆△𝐴𝐶𝑄

21

=2𝐴𝐵⋅𝐺𝑀+2𝐵𝐶⋅𝐺𝑄+2𝐴𝐶⋅𝐺𝑀 =2𝐺𝑀(𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐶𝐵) =9√3， ∴𝐴𝐻=3√3．

1

111

OC，(1)首先连接OB，【解析】过点O作𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点D，由圆周角定理，即可求得∠𝐵𝑂𝐶的度数，继而求得∠𝑂𝐵𝐶的度数，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案；

(2)设点G为此三角形ABC内切圆的圆心(角平分线的交点)，过G分别向AB，AC，BCGN，GQ，𝐶𝑄=𝐶𝑁，𝐵𝑄=𝐵𝑀，作垂线GM，根据角平分线的性质可知𝐺𝑀=𝐺𝑁=𝐺𝑄，𝐴𝑀=𝐴𝑁，故A𝑀+𝐴𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶=6，𝐴𝑀=𝐴𝑁=3.在𝑅𝑡△𝐴𝐺𝑀中，根据锐角三角函数的定义得出GM的长，再由𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=𝑆△𝐴𝐵𝑄+𝑆△𝐵𝐶𝑄+𝑆△𝐴𝐶𝑄即可得出结论．

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

1

24.【答案】解：(𝑎−𝑏)2+𝑏(𝑎+𝑏)−𝑎2−2𝑏2

=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2+𝑎𝑏+𝑏2−𝑎2−2𝑏2 =−𝑎𝑏，

当𝑎=−3，𝑏=3时，原式=−(−3)×3=1．

1

1

【解析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

25.【答案】证明：连接OE，

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在△𝐴𝑂𝐸和△𝐶𝑂𝐸中，

𝑂𝐴=𝑂𝐶∵{𝑂𝐸=𝑂𝐸 𝐴𝐸=𝐶𝐸

∴△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐸(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝐴=∠𝐶．

【解析】连接OE，由𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝐸𝐴=𝐸𝐶，OE为公共边，可证得△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐸，即可得∠𝐴=∠𝐶．

本题考查了全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：设两直角边为a、b，

𝑎+𝑏=7

根据题意可知：{2，

𝑎+𝑏2=25解得𝑎=3，𝑏=4或者𝑎=4，𝑏=3， 𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑎⋅𝑏=2×3×4=6．

1

1

【解析】设两直角边为a、b，根据题意列出a和b的方程组，解出a和b的值，再根据三角形的面积公式求出三角形的面积．

本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，此题难度一般．

27.【答案】解：∵(𝑎𝑥+𝑏)(2𝑥2−𝑥+2)=2𝑎𝑥3+(2𝑏−𝑎)𝑥2+(2𝑎−𝑏)𝑥+2𝑏，

又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为6， 2𝑎−𝑏=0

，

2𝑏=6

𝑏=3

解得：{𝑎=3，

2∴{

∴𝑎𝑏=(2)3=

3

278

．

【解析】先求出(𝑎𝑥+𝑏)(2𝑥2−𝑥+2)的值，即可得出2𝑏=6，2𝑎−𝑏=0，求出a、b的值，代入后求出即可．

本题考查了多项式乘多项式，能根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．

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28.【答案】解：(1)由题意可得：𝑅𝑃=18海里，𝑃𝑄=24海里，𝑄𝑅=30海里，

∵182+242=302， ∴△𝑅𝑃𝑄是直角三角形， ∴∠𝑅𝑃𝑄=90°，

∵𝐵轮船沿北偏东60°方向航行， ∴∠𝑅𝑃𝑆=30°，

∴𝐴轮船沿北偏东30°方向航行；

(2)过点R作𝑅𝑀⊥𝑃𝐸于点M，则∠𝑅𝑃𝑀=60°， 则𝑠𝑖𝑛60°=

𝑅𝑀18

，

解得：𝑅𝑀=9√3．

答：此时A轮船到海岸线的距离为9√3海里．

【解析】(1)直接得出𝑅𝑃=18海里，𝑃𝑄=24海里，𝑄𝑅=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案； (2)直接利用𝑠𝑖𝑛60°=

𝑅𝑀18

，得出答案．

此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．

29.【答案】162°

【解析】解：(1)调查的学生人数为16÷20%=80(人)， ∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×80=162°， 故答案为：162°，

“重视”的人数为80−4−36−16=24(人)，补全条形统计图如图：

36

(2)由题意得：3200×80=160(人)，

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4

即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人； (3)画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个， ∴恰好抽到同性别学生的概率为12=3．

(1)先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可； (2)由该校共有学生人数除以“非常重视”的学生所占比例即可；

(3)画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．

4

1

30.【答案】证明：(1)如图1，∵𝐵𝐴⊥𝐷𝐶，

∴∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∴在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中， ∠𝐷+∠𝐷𝐵𝐴=90°， 同理∠𝐷+∠𝐷𝐶𝐹=90°， ∴∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐷𝐶𝐹， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∴△𝐴𝐹𝐶≌△𝐴𝐷𝐵(𝐴𝑆𝐴)； (2)①解：𝐵𝐸=2𝐷𝐹，理由是： 如图2，延长BE、DA交于G， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐺=90°， ∴∠𝐺+∠𝐺𝐵𝐴=90°， ∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐺， ∴∠𝐶𝐸𝐺=90°，

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1

∴∠𝐺+∠𝐴𝐶𝐹=90°， ∴∠𝐺𝐵𝐴=∠𝐴𝐶𝐹， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴△𝐴𝐺𝐵≌△𝐴𝐹𝐷， ∴𝐵𝐺=𝐷𝐹，

∵∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐺𝐸𝐶=90°， ∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐹，𝐶𝐸=𝐶𝐸， ∴△𝐶𝐺𝐸≌△𝐶𝐵𝐸， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐺， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐺，

211

∴𝐵𝐸=2𝐷𝐹； ②成立，

证明：过点D做𝐷𝑃//𝐴𝐶，交AB于点Q，交BE延长线于点P， ∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐵=45°，∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∵𝐷𝑃//𝐴𝐶，

∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝑃𝐷𝐵=45°， ∠𝐵𝑄𝐷=90°，

∴△𝑄𝐵𝐷为等腰直角三角形， 即𝑄𝐵=𝑄𝐷，

∵∠𝐵𝐷𝐸=2∠𝐵𝐶𝐴=22.5°， ∴∠𝐹𝐷𝑄=22.5°， ∵𝐵𝐸⊥𝐷𝐹，

∴∠𝐸𝐵𝐷=90°−22.5°=67.5°， ∠𝐸𝑃𝐷=90°−22.5°=67.5°， ∴∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐸𝐵𝐷−45°=22.5°， 在△𝐵𝑄𝑃与△𝐷𝑄𝐹中， ∠𝐵𝑄𝑃=∠𝐷𝑄𝐹∵{𝐵𝑄=𝑄𝐷， ∠𝑃𝐵𝑄=∠𝐹𝐷𝑄∴△𝐵𝑄𝑃≌△𝐷𝑄𝐹(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐵𝑃=𝐷𝐹，

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1

在△𝐵𝐷𝑃中， ∵∠𝐸𝑃𝐷=∠𝐸𝐵𝐷， ∴△𝐵𝐷𝑃是等腰三角形， ∵𝐵𝐸⊥𝐷𝐹， ∴𝐵𝐸=𝐵𝑃，

21

即𝐵𝐸=2𝐷𝐹．

1

【解析】(1)如图1，根据同角的余角相等证明∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐷𝐶𝐹，利用ASA证明△𝐴𝐹𝐶≌△𝐴𝐷𝐵；

𝐵𝐸=𝐷𝐹，作辅助线，构建全等三角形，证明△𝐴𝐺𝐵≌△𝐴𝐹𝐶，则𝐵𝐺=𝐶𝐹，(2)①如图2，2再证明△𝐶𝐺𝐸≌△𝐶𝐵𝐸，可得结论；

②结论仍然成立，过点D做𝐷𝑃//𝐴𝐶，交AB于点Q，交BE延长线于点P，证明△𝐵𝑄𝑃≌△𝐷𝑄𝐹，得𝐵𝑃=𝐷𝐹，再由等腰三角形三线合一的性质得：𝐵𝐸=2𝐵𝑃，即𝐵𝐸=2𝐷𝐹． 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，运用了类比的思想，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，难度适中．

1

1

1

第27页，共27页