初三数学圆的基础练习

圆的有关概念和性质

(1) 圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定

点为圆心，定长为半径．

②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

（2）圆的有关性质 ①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图

形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

④三角形的内心和外心

ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形

的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的

度数等于它所对的弧的度数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形． 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

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知识点复习：

1．在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_____组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径_____________这条弦，并且平分弦所对的两条_______。

3. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是__________）的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条___

4. 圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的__________等于这条弧所对的__________的一半。

___________________所对圆周角相等。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的______相等。

直径所对的圆周角是________，____________的圆周角所对弦是直径。 5．圆的切线

⑴ 判定：经过直径________，并且与这条直径_____________的直线是圆的切线。

⑵ 性质：圆的切线垂直于___________的直径。 6．三角形的外心

________________________确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的_____________________________的交点。 7．三角形的内心

与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条________________________的交点。 ㈡和圆有关的位置关系

8．点和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则⑴点在圆内

_______________；⑵点在圆上_______________；⑶点在圆外

_____________________。

9．直线和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________

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的距离为d，则

⑴直线和圆没有公共点直线和圆_______________d_____r； ⑵直线和圆有惟一公共点直线和圆_______________d_____r； ⑶直线和圆有两个公共点直线和圆_______________d_____r. ㈢与圆有关的计算：

11. ⑴弧长公式：l＝______________（已知弧所对的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R）

⑵设扇形的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R，弧长为l，则扇形的周长为C＝____________；

面积S＝_______________＝_______________

⑶设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。则l2＝r2＋h2；圆锥侧面积S

侧

＝_________________;

全面积S全＝_________________________

⑷设圆柱的底面半径为r，高为h，母线长为l。则l＝h；圆柱侧面积S侧＝

_________________;

全面积S全＝_________________________

圆的练习

一、选择题

1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ） A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 2.下列命题中，正确的个数是（ ）

⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆； ⑶半径相等的两个圆是等圆 ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如果两个圆心角相等，那么（ ）

A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对 4.⊙O中，∠AOB=∠84°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ） A.42° B.138° C.69° D.42°或138°

5.如图，已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°．则∠AOB的度数为（ ） A．44°

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B．46° C．68° D．88°

6.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（ ） A.CE=DE B.

C.∠BAC=∠BAD D.AC＞AD

7.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A.4 B.6 C.7 D.8

8.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ） A.140° B.110° C.120° D.130°

9.如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（ ）

A.80°B. 50°C. 40°D. 20°

10.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 二、填空题 1.如图，AB为⊙O直径，E是AC=_____.

中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则

2.如图，⊙O中，若∠AOB的度数为56°，∠ACB=_________.

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3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BDC=25°，则∠BOC=________.

4.如图，等边ΔABC的三个顶点在⊙O上，BD是直径，则∠BDC=________，∠ACD=________.若CD=10cm，则⊙O的半径长为________.

5.如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．

6.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.

三、解答题

1.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.

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2.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上.(1)求证：

=

；

成立吗？

(2)若C、D分别为OA、OB中点，则

3.如图，已知AB=AC，∠APC=60° (1)求证：△ABC是等边三角形. (2)若BC=4cm，求⊙O的面积.

一、选择题

1.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是( ) A.AB⊥CD

B.∠AOB=4∠ACD C. D.PO=PD

2.如图，⊙O中，如果

=2

，那么( )

A.AB=AC B.AB=2AC C.AB＜2AC D.AB＞2AC

3.如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是( )

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A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B.∠4＜∠1=∠3＜∠2 C.∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2 D.∠4＜∠1＜∠3=∠2

4.如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于( ) A.3 B.3+

C.5- D.5

二、填空题

1.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______.

2.如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______(只需写一个正确的结论).

3.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.

4.半径为2a的⊙O中，弦AB的长为

，则弦AB所对的圆周角的度数

是________.

5.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______.

三、解答题

1.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，

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求弦CD长.

2.如图，∠AOB=90°，C、D是

三等分点，AB分别交OC、OD于点E、

F，求证：AE=BF=CD.

3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°. (1)求证：AB为⊙C直径.

(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.

答案与解析 基础达标 一、选择题

1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A

二、填空题

1.8 2.28° 3.50° 4.60°，30°，10cm 5.45 6.第二

三、解答题

1.AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E， 则CE=DE，且CN∥OE∥DM. ∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，

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∴AN=BM.

2.(1)连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，

∵OA=OB，AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN， ∴∠AOM=∠BON，∴ (2)

提示：同上，在Rt△OCM中，

，同理

，

.

3.(1)证明：∵∠ABC=∠APC=60°， 又

，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角

形.

(2)解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°， 设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=

⊙O的面积

能力提升 一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.D

二、填空题

1.8cm，10cm 2.AB=CD 3.3 4.120°或60° 5.90°

三、解答题

1. 过O作OF⊥CD于F，如右图所示 ∵AE=2，EB=6，∴OE=2， ∴OF=1，EF=

，连结OD，

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在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=

2. 连结AC、BD，∵C、D是

，∴CD=2.

三等分点，

∴AC=CD=DB，且∠AOC=×90°=30°，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，

又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC，

同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD.

3. (1)⊙C经过坐标原点O，且A、B为⊙C与坐标轴的交点，有∠AOB=90° ∴AB为直径；

的比为1：2，∴它们所对的圆周角之

(2)∵∠BMO=120°，

比为∠BAO:∠BMO=1：2 ∴∠BAO=60°，∴在Rt△ABO中，AB=2AO=8，∴⊙C的半径为4； 作

∴AE=OE，BF=OF

在Rt△ABO中，AO=4，OB=

，垂足分别为点E、F

∴

∴圆心C的坐标为.

综合探究

1.（2，0）提示：如图，作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心.

2.(1)AC、AD在AB的同旁，如右图所示，作足分别为点E、F

∵AB=16，AC=8，AD=8

，

，垂

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∴

在Rt△AOE中，

∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°.

(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90° 第11页 优秀是一种习惯 林冉老师