高中数学选修2-1模块综合检测(含详解)

高中数学选修2-1模块综合检测

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋1<0”的否定是 ( ) A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0

2

B．存在x0∈R,2x40－x0＋1<0 2C．存在x0∈R,2x40－x0＋1≥0

D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0

2解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x0∈R,2x40－x0＋1≥0.

答案：C

x2y21

2．设椭圆2＋2＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此mn2椭圆的方程为

2

2

( )

x2y2

A.＋＝1 1216x2y2

C.＋＝1 48

x2y2

B.＋＝1 1612x2y2

D.＋＝1 48

m2－n21

解析：抛物线的焦点为(2,0)，∴4＝m－n.又＝，所以可解得m＝4，n＝2 3， m2x2y2

故椭圆的方程为＋＝1.

1612答案：B

3．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 ( ) 5 3A.

2C.

37 2

B.

21 2

3 5D. 2

解析：由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)． 又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0. 5

∴2n＝5，n＝.

2∴|a|＝ 答案：D

4．a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的

( )

253 51＋4＋＝.

42

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A．必要不充分条件 C．充分必要条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

1

解析：因为a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0变成2x＋1＝0，这时方程根为x＝－，所以

2“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”不能推出“a<0”；另一方面，当a<0时，Δ＝4－1

4a>0，∴方程一定有两个不相等的实数根，又两根之积为<0，∴方程的根一定是一正根一

a负根，所以“a<0”能推出“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”．

答案：B

y2

5．设F1，F2分别是双曲线x－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1·PF29

2

＝0，则|PF1＋PF2|＝

A.10 C.5

( )

B．2 10 D．2 5

解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n， ∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2， ∴m2＋n2＝4c2＝40.

∵|PF1＋PF2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2PF1·PF2＝40， ∴|PF1＋PF2|＝2 10. 答案：B

6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长为

A.3 C.6

( )

B．2 D．22

1解析：由题意知AB·AD＝AB·AA1＝AD·AA1＝，

2∴AC1＝(AB＋AD＋AA1)2

＝AB＋AD＋AA1＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝6， ∴|AC1|＝6. 答案：C

x2y2

7．已知点F1，F2分别是双曲线2－2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与

ab双曲线交于A，B两点.若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e为 ( )

2222 第 2 页 共 10 页

A.3 C．2

B.3或D．3

3 3

解析：如图，令x＝－c， c2y2b2则2－2＝1，∴y＝±，

aabb2

∴|AF1|＝. a

因△ABF2为等边三角形， ∴∠AF2F1＝30°.

b2

a3

∴tan ∠AF2F1＝＝，

2c33b2

＝2c，即 3(e2－1)＝2e， a

解得e＝ 3. 答案：A

x2y2

8．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆m＋n＝1上的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2

2π

＝α.当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是

3

A．41 C．9

B．15 D．1

( )

1

解析：由S△F1PF2＝|F1F2|·yP

2

＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大. 2π

此时∠F1PF2＝，

3

得a＝m＝2 3，b＝n＝3， 故m＋n＝15. 答案：B

9．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于

( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝3，SA＝2，

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可以求得SO＝

23333332，则B(，，0)，A(，－，0)，C(－，，0)，S(0,0，)． 22222222

因为E为SA的中点， ∴E(

332

，－，)． 444

3332

，－，)， 4443

2

∴BE＝(－

3

SC＝(－2，2，－2)．

SC＝－1，|BE|＝2，|SC|＝2， ∵BE·

所以cos〈BE，SC〉＝BE与SC所成角为60°. 答案：C

10．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为

5

B. 21D．－

2

( )

－11

＝－，

22×2

5

A．－

21C. 2

解析：法一：直线AB的斜率为 y1－y2y1－y2

kAB＝＝＝－1，

x1－x21212

y－y2122

22

即y1＋y2＝－2，y21＋y2＝(y1＋y2)－2y1y2＝6. 2

x1＋x2y1＋y2y21＋y2

线段AB的中点为(，)＝(，－1)

224

3

＝(，－1). 2

5

代入y＝x＋b，得b＝－. 2

法二：设直线AB的方程为y＝－x＋m，与y2＝2x联立，消去x得 y2＋2y－2m＝0.

y1＋y2＝－2，y1y2＝－2m. 1

由y1y2＝－1得m＝.

2设AB的中点为M(x0，y0)， 则y0＝

y1＋y2

＝－1， 2

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3

x0＝m－y0＝. 2

3

又M(，－1)在y＝x＋b上，

25

∴b＝－. 2答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

2解析：∵∃x0∈R,2x0－3ax0＋9＜0为假命题，

∴∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8， ∴－22≤a≤22. 答案：[－22，22]

x2y2

12．在双曲线2－2＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2

ab＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．

解析：不妨设点P在右支上，则2|PF1|＝|PF2|＋|F1F2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c－2a，|PF2|＝2c－4a.又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴e2－6e＋5＝0.又e＞1，∴e＝5.

答案：5

13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E.,F分别是BB1,CD的中点，则EF与平面CDD1C1

所成角的正弦值为________．

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则E(2,0,1)，F(1,2,0)， →

∴EF＝(－1,2，－1).

→→→

又平面CDD1C1的一个法向量为OD＝(0,2,0)，cos〈EF，OD〉466＝＝，故所求角的正弦值为.

3 6×23

答案：

6

3

→

14．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与→

x轴正向的夹角为60°，则|OA|为________．

p

解析：如图，设A的横坐标为x＋(x＞0)，

2→

则|AF|＝2x.

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由抛物线的定义得 pp

2x＝x＋，x＝，

22

3p3p

∴A的坐标为(，3p)或(，－3p)，

2221→

∴|OA|＝p.

2答案：

21p 2

三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知命题p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：∵綈p是綈q的必要不充分条件， ∴p是q的充分不必要条件． 对于命题p，依题意知

Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0， ∴－2≤a≤10.

令P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m， m＞0}， ∴P

Q，

m＞0，

即1－m＜－2，1＋m≥10，解得m≥9.

m＞0，

或1－m≤－2，1＋m＞10.

因此，实数m的取值范围是{m|m≥9}．

x2y2

16．(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，O为坐标原

ab点，点P(－1，

2→→)在椭圆上，且PF1·F1F2＝0， 2

⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.

(1)求椭圆的标准方程；

→→2

(2)当OA·OB＝时求k的值．

3

解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，

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11

∴c＝1，2＋2＝1.

a2b又a2＝b2＋c2，

所以可解得a2＝2，b2＝1，c2＝1， x22

∴椭圆的方程为＋y＝1.

2

(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切， 则

|m|

＝1，即m2＝k2＋1. 2k＋1

2

x2＋y2＝1，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. y＝kx＋m，直线l与椭圆交于不同的两点A，B. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∴Δ＞0⇒k2＞0⇒k≠0，x1＋x2＝－2m2－2x1x2＝，

1＋2k2m2－2k21－k2

∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝＝，

1＋2k21＋2k22

2

4km

， 1＋2k21＋k2→→

OA·OB＝x1x2＋y1y2＝1. 2＝，∴k＝±1＋2k317．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝ 3，∠ABC＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．

解：法一：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱， ∴AB⊥AA1. 在△ABC中，

AB＝1，AC＝ 3，∠ABC＝60°. 由正弦定理得∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1. 又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.

(2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD， 又AB⊥A1C.

2

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∴A1C⊥平面ABD， ∴BD⊥A1C，

∴∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角. 在Rt△AA1C中，

3× 3AA1·AC6

AD＝＝＝.

A1C26

AB6在Rt△BAD中，tan ∠ADB＝＝，

AD3∴二面角A－A1C－B的正切值为

6. 3

法二：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，

∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.在△ABC中，AB＝1，AC＝ 3，∠ABC＝60°.由正弦定理得∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝90°，

即AB⊥AC.如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A1(0,0，3)， ∴AB＝(1,0,0)，A1C＝(0，3，－3). ∵AB·A1C＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0， ∴AB⊥A1C.

(2)取m＝AB＝(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量．设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，

BC＝0，n·－x＋3 y＝0，

则∴

3y－3z＝0，n·A1C＝0，

∴x＝3y，y＝z.令y＝1，则n＝(3，1,1)， ∴cos 〈m，n〉＝ ＝

15

＝， 22222253＋1＋1·1＋0＋0

1－6

， 3

6. 3

15210＝， 55

3×1＋1×0＋1×0

m·n |m|·|n|

∴sin〈m，n〉＝∴tan〈m，n〉＝

∴二面角A－A1C－B的正切值为

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x2y2

18.(本小题满分14分)(2012·安徽高考)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：2＋2ab＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作a2

直线PF2的垂线交直线x＝c于点Q.

(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程； (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.

b2

a－0b2b2

解：(1)法一：由条件知，P(－c，a).故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－. 2ac－c－c2ac2ac2

因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝2x－2.

bba2

故Q(c，2a).

a2

由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.

cx2y2

故椭圆方程为＋＝1.

43

a2b2

法二：设直线x＝与x轴交于点M.由条件知，P(－c，). ca因为△PF1F2∽△F2MQ，所以

b2

a

|PF1||F1F2|

＝. |F2M||MQ|

即

2c＝，解得|MQ|＝2a. a|MQ|c－c

22

ac＝4，所以解得a＝2，c＝1.

2a＝4，x2y2

故椭圆方程为＋＝1.

43

a2x－c

y－2ac

(2)直线PQ的方程为2＝2，即y＝x＋a. aba

－2a－c－ac

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将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0， b2

解得x＝－c，y＝a.

所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.

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