2017-2018学年重庆市南川中学八年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)

2017-2018学年重庆市南川中学八年级（上）第一次月考数学试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（每题4分，共48分）

1．有下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A．1 cm、2 cm、3 cm C．2 cm、3 cm、4 cm

B．1 cm、4 cm、2 cm D．6 cm、2 cm、3 cm

2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝25°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）

A．105°

B．95°

C．85°

D．25°

3．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）

A．△ABD和△CDB的面积相等 C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD

B．△ABD和△CDB的周长相等 D．AD∥BC，且AD＝BC

4．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，这个补充条件是（ ） A．BC＝B′C′

B．∠A＝∠A′

C．AC＝A′C′

D．∠C＝∠C′

5．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ） A．6

B．12

C．16

D．18

6．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）

A．带①去

B．带②去

C．带③去

D．①②③都带去

7．使两个直角三角形全等的条件是（ ） A．一个锐角对应相等 C．一条边对应相等

B．两个锐角对应相等 D．两条边对应相等

8．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）

A．25°

B．27°

C．30°

D．45°

9．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝80°，则∠EOD的度数为（ ）

A．20°

B．30°

C．10°

D．15°

10．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）

A．2

B．3

C．6

D．不能确定

11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A．一处

B．二处

C．三处

D．四处

12．如图所示，AO＝BO，CO＝DO，连接AD、BC，设AD、BC相交于点P．结论：①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上．以上结论中（ ）

A．只有①正确

B．只有②正确

C．只有①②正确

D．①②③都正确

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有 性．

14．如图，在△ABC中，∠BAC＝56°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BPC＝ ．

15．如图，在△ABC和△FED中，BE＝FC，∠A＝∠D．当添加条件 时（只需填写一个你认为正确的条件），就可得到△ABC≌△DFE．

16．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm，则S阴影＝ cm．

2

2

17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ °．

18．如图：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．则∠B＝ ．

三、解答（共78分）

19．（8分）如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A＝20°，∠B＝60°，求∠DCE的度数．

20．（8分）如图，已知：AB＝DE且AB∥DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．

21．（10分）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．

22．（10分）如图，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？

23．（10分）已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． 求证：AM平分∠DAB．

24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD．

25．（10分）如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系； （2）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）

26．（12分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三条线段的数量关系是： ．

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明．

1．【解答】解：根据三角形的三边关系，得 A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误； B、4+2＜4，不能组成三角形，故此选项错误； C、2+3＞3，能够组成三角形，故此选项正确； D、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项错误． 故选：C．

2．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝2∠ACE＝120°． ∴∠A＝120°﹣25°＝95°． 故选：B．

3．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB， ∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误； B、∵△ABD≌△CDB，

∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误； C、∵△ABD≌△CDB， ∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB， D、∵△ABD≌△CDB， ∴AD∥BC，故本选项错误； 故选：C．

4．【解答】解：A中两边夹一角，满足条件； B中两角夹一边，也可证全等；

D中两角及其中一角的对边对应相等，所以D也正确， 故选：C．

5．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得 （n﹣2）•180°＝150°•n， 故选：B．

6．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去． 故选：C．

7．【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；

B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；

D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确． 故选：D．

8．【解答】解：在△ADB和△CDB， ∵BD＝BD，∠ADB＝∠CDB＝90°，AD＝CD ∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠CBD＝×∠ABC＝27°． ∵AD＝CD，∠ADB＝∠EDC＝90°，BD＝ED， ∴∠E＝∠ABD． 所以，本题应选择B．

9．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠C＝80°， ∴∠B＝40°．

∴∠BAD＝∠BAC＝30°， 又∵OE⊥BC， 故选：A．

10．【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， 故选：A．

11．【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．

故选：D．

12．【解答】解：连接OP， 在△AOD与△BOC中， ∴△AOD≌△BOC，①正确； ∵AO＝BO，CO＝DO，

，

∴AP＝BP，

，

∴∠AOP＝∠BOP，即点P在∠AOB的平分线上，③正确． 故选：D．

13．【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：稳定．

14．【解答】解：∵∠BAC＝56°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣56°＝124°． ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝118°． 故答案为：118°．

15．【解答】解：添加∠B＝∠DEC． ∵BE＝FC，

在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS），

故答案为：∠B＝∠DEC（答案不唯一）．

16．【解答】解：∵点E是AD的中点，

∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半． ∵点F是CE的中点，

∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm． 17．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE， ∴∠1＝∠DBE， ∴∠1+∠3＝90°．

∴∠1+∠2+∠3＝∠7+∠3+∠2＝90°+45°＝135°． 故答案为：135．

2

18．【解答】解：延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图所示：

∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，

∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°， ∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°， 在△AFE和△ACE中， ∴△AFE≌△ACE（SAS）， 又∵∠ACE为△ABC的外角，

∴∠F＝∠B+18°， 则∠B＝48°． 故答案为：48°

19．【解答】解：在△ABC中．∠A＝20°，∠B＝60° ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100° ∴∠BCD＝∠ACB＝50°， ∴∠CEA＝90°，

∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣30°＝20°． 20．【解答】解：证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∴BC＝EF，

，

∴∠A＝∠D．

21．【解答】证明：如图，连接AD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF．

22．【解答】解：AB与CD的延长线交于点G，如图， ∵AE⊥EF，CF⊥EF，

∵∠BAE＝124°，∠DCF＝155°， ＝540°﹣459° ∵81°≠80°， ∴不符合规定．

23．【解答】证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，

∴∠1＝∠2，

∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴ME＝MB，

∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 24．【解答】证明：延长CE、BA交于点F．

∴∠ABD＝∠ACF． ∵

∴BD＝CF． ∴∠CBE＝∠FBE． ∵

∴CE＝EF， ∴CE＝BD．

25．【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，

，

，

在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C， （2）∵∠D＝40°，∠B＝36°， ∴∠OCB﹣∠OAD＝3°，

∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，

∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝×（﹣4°）+40°＝38°； 所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P， ∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB， 整理得，2∠P＝∠B+∠D．

26．【解答】解：（1）①如图1中，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，

∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°， 在△BCE和△CAF中， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF， ∴EF＝|BE﹣AF|；

②∠α+∠ACB＝180°时，①中两个结论仍然成立；

∴∠CBE＝∠ACF，

，

∴BE＝CF，CE＝AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE， 故答案为∠α+∠ACB＝180°． 理由：如图3中，

∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF， 在△BEC和△CFA中， ∴△BEC≌△CFA（AAS）， ∵EF＝CE+CF， ∴EF＝BE+AF