1. 高中数学课程的地位和作用：
⑴ 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内
容，是培养公民素质的基础课程。
⑵ 高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决
问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 ⑶ 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 ⑷ 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 2. 高中数学课程的基本理念：
⑴ 高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。 ⑵ 高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、
特长提供空间。
⑶ 让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。 ⑷ 提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习
兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。
⑸ 强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、
数学建模。
⑹ 重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；
强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。 ⑺ 强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的
重要作用。
⑻ 全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和
过程性评价。
3. 高中数学课程的目标：
⑴ 总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的
数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
⑵ 三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
⑶ 把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。
⑷ 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能
力
4. 高中数学课程的内容结构：
⑴ 必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算
法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式） ⑵ 选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：
① 选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、
推理与证明、复数、框图） ② 选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、
2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率） ③ 选修系列3（6个专题） ④ 选修系列4（10个专题） 5. 高中数学课程的主线：
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 6. 教学建议：
⑴ 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划
⑵ 帮助学生打好基础，发展能力：
① 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 ② 重视基本技能的训练
③ 与时俱进地审视基础知识与基本能力 ⑶ 注重联系，提高对数学整体的认知
⑷ 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力 ⑸ 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成 ⑹ 改善教与学的方式，使学生主动地学习 ⑺ 恰当运用现代信息技术，提高教学质量 7. 评价建议：
⑴ 重视对学生数学学习过程的评价
⑵ 正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶ 重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评） ⑷ 实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象） ⑸ 根据学生的不同选择进行评价
第二章 教学知识
8. 教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”） 9. 教学过程
备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用） 10. 教学方法
⑴ 讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教
学语言）
⑵ 讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。
⑶ 自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学 ⑷ 发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问
题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。
11. 概念教学
⑴ 概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩
小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。
⑵ 概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉
关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”） ⑶ 概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，
如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如
“
”）
⑷ 数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）
12. 命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施
之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习） 13. 推理教学
⑴ 推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的
⑵ 推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前
提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）
14. 问题解决教学
⑴ 数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则
⑵ 纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所
得到的解）
⑶ 非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解
数学模型；检验；交流和评价；推广）
15. 学习方式：自主学习、探究学习、合作学习
第三章 教学技能
16. 教学设计
⑴ 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科
学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。 ⑵ 教学设计与教案的关系：
① 内容不同：
教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。 ② 核心目的不同：
教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。 ③ 范围不同：
从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。
⑶ 数学课堂教学设计的意义：
① 使课堂教学更规范、操作性更强 ② 使课堂教学更科学 ③ 使课堂教学过程更优化
⑷ 数学课堂教学设计的基本要求：
① 充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本 ② 适应学生的学习心理和年龄特征 ③ 重视课程资源的开发和利用 ④ 注重预设与生成的辩证统一
⑤ 辩证认识和处理教学中的多种关系 ⑥ 整体把握教学活动的结构 ⑸ 数学教学设计的准备：
① 认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求
② 全面关注学生需求
③ 认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图
④ 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计 ⑤ 制定学期教学计划、单元教学计划 ⑹ 教材分析
① 分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务 ② 整体系统的观念用教材 ③ 理解教材的编排意图 ④ 突出教材的重点和难点 ⑺ 学情分析
① 分析学生原有的认知基础 ② 分析学生的个体差异 ③ 了解学生的生理、心理
④ 了解学生对本学科学习方法的掌握情况 ⑤ 分析学习知识时可能要遇到的困难 ⑻ 制定合理教学目标的要求
① 反映学科特点，体现内容本质 ② 要有计划性，可评价性 ③ 格式要规范，用词要考究
④ 要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等 ⑤ 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究） ⑥ 要实在具体，不浮华 ⑼ 教学反思
① 教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
② 教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；
个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文
⑽ 教学设计的撰写：
① 教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感
态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法） ② 学情分析
③ 教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析 ④ 教学理念 ⑤ 教学策略 ⑥ 教学环境 ⑦ 教学过程 ⑧ 教学反思
17. 教学实施
⑴ 课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬
念导入法
⑵ 课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进
性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
⑶ 课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分
析综合提问、评价提问 ⑷ 学生活动：
① 学生活动体现了学生在学习中的主体地位
② 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分 ③ 学生活动的目的是促进学生的理解 ④ 从总体上说，学生活动必须是思维活动
⑸ 课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和
启下法、发散法和拓展法
⑹ 结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外
沟通，立疑开拓
18. 教学评价
⑴ 数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、
学生行为、教学效果
⑵ 数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章 常用数学公式
一、 函数、导数 1. 函数的单调性
⑴ 设
、
且
在在
⑵ 设函数
增函数；若
在某个区间内可导，若
，则在该区间内
。那么
上是增函数； 上是减函数。
，则在该区间内
为减函数
为
2. 函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）
对于定义域内任意的对于定义域内任意的
，都有，都有
，则，则轴对称。
是偶函数； 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于3. 函数在点处的导数的几何意义
函数
在点
处的导数
是曲线在。
处
的切线的斜率，相应的切线方程是4. 几种常见函数的导数
（C为常数）；
（；
）；
； ；
；
；
；
；
5. 导数的运算法则
；
6. 幂函数
（
为奇数，为奇数 为奇数，为偶数 为偶数，为奇数 第一象限图像 7. 求函数
⑴ 如果在⑵ 如果在8. 凹凸函数：设
⑴ 若对任意
减函数 增函数 增函数 偶函数 过定点 的极值的方法:解方程附近的左侧附近的左侧
。当，右侧，右侧
时： ，则，则
是极大值； 是极小值；
奇函数 ）
性质 ；
；
在开区间上存在二阶导数：
，有
，则
在
上为下凸函数；
⑵ 若对任意，有，则在上为上凸函数；
二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量 9. 同角三角函数的基本关系式
10. 正弦、余弦的诱导公式
11. 和角与差角公式
； ；
（辅助角
所在象限由点
的象限
决定,12. 二倍角公式
）
；
；
13. 三角函数的周期
函数
，
及函数
，
（为常数，且，）的周期；函数
，，（为常数，且，
）的周期。
14. 三角函数的图像变换：
⑴ 函数
，
即
横坐标伸长（
）
或缩短（）到原来的倍，再向左（）或向右（）
平移的⑵ 函数
（
个单位，最后纵坐标伸长（倍。
，
）平移
即
）或缩短（）到原来
向左（
）或缩短（
）或向右
）
个单位，再横坐标伸长（
到原来的来的
15. 正弦定理
倍，再，最后纵坐标伸长（倍。
）或缩短（）到原
（
16. 余弦定理
;
17. 三角形面积公式
是
外接圆的半径）
;
18. a与b的数量积（或内积）
（
19. 向量的坐标运算
⑴ 设
，
；
⑵ 设⑶ 设
，，则
,则
。
； ,
则
是向量a，b的夹角）
20. 两向量的夹角公式
设
，
,
且
，
则
。
21. 向量的平行与垂直
；
三、 数列、集合与命题
22. 数列的通项公式与前项的和的关系
（数列
23. 等差数列的通项公式和前项和公式
的前项的和为）
；
24. 等比数列的通项公式和前项和公式
；
25. 数列求和常见结论：
（）；
；
；
。
26. 有个元素的集合，含有个子集，27. 原命题：若则；否命题：若
则
个真子集。 ；命题的否定：若则
。
28. 全称量词即“所有”，“全部”，可写作“”；存在量词又称特称量词，写作“”。 四、 不等式
29. 均值不等式
设
30. 柯西不等式
， (当且仅当＝b时取“=”号)
，其中
，当且仅当
31. Jensen不等式
32. 三角不等式：33. 指数不等式：
五、 解析几何与立体几何 34. 直线的五种方程
⑴ 点斜式：⑵ 斜截式：
（直线l过点
时不等式取等号。
，且斜率为k）
（b为直线l在y轴上的截距）
⑶ 两点式：
）
（直线l过点
，且，
⑷ 截距式：⑸ 一般式：
35. 两条直线的平行和垂直
若
，
（、b分别为直线的横、纵截距，（其中A、B不同时为0）
）
⑴ ⑵
36. 点
到直线
；
（的距离
37. 角平分线所在直线的方程
，其中
角的大小 38. 圆的三种方程
⑴ 圆的一般方程：⑵ 圆的标准方程：
分别为角的边所在直线的斜率，为原
⑶ 圆的参数方程：39. 两个圆的公共弦所在方程
40. 直线与圆的位置关系
直线
相离，弦长=
与圆
；;
相切
的位置关系有三种：
；
相交
其中
41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆：，离心率，准线，
参数方程是之和等于常数（
）。
，椭圆上的点与两个定点的距离
双曲线：，离心率，准线，
渐近线方程是之差等于常数（
，椭圆上的点与两个定点）。
的距离
抛物线：，焦点，准线，焦半径，过抛
物线焦点的弦长
线的距离。
42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准
⑴ 若双曲线方程为。
⑵ 若渐近线方程为双曲线可设为。
⑶ 若双曲线与
在轴上；
有公共渐近线，可设为，焦点
在轴上）
（，焦点
43. 若斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，则弦长公式为
（
44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
，表面积=
，体积=
（
）
是柱体的底面积，
是柱体的高）；圆锥侧面积=是锥体的底面积，
，表面积=，体积=（
是锥体的高）；
球的半径是六、 空间几何
45. 平面方程：
⑴ 点法式：
量 ⑵ 一般式：
，则其体积，其表面积
，是平面的法向
（
上一点
不全为0）
以及平行于平面的两不共线向量
⑶ 参数式：已知平面
和，则有
46. 两平面间的关系:
⑴ ⑵
；（法向量共线但两平面不重合）
⑶ 与的夹角（）：
47. 直线方程：
⑴ 一般式（交面式）：
⑵ 参数式：
⑶ 对称式（标准式）：48. 直线与平面的关系：
⑴
且
；
⑵
⑶ 与的夹角（）：
49. 曲面方程：
⑴ 单叶双曲面：（）
⑵ 双叶双曲面：（）
⑶ 椭圆抛物面：（），当时，曲面为旋转抛物面
⑷ 双曲抛物面：（）
七、 概率统计
50. 平均数、方差、标准差、期望的计算
平均数：
方差：
标准差：期望
51. 回归线方程
，其中
，
52. 独立性检验：53. 排列数、组合数
排列数公式：，其中，；
组合数公式：54. 二项式定理：
⑴ ⑵ 第⑶ 系
项：数
和
，其中
（：
，
）
，
⑷ 当的绝对值与1相比很小且
不大时，有，
55. 相对独立事件同时发生的概率56. 正态分布记为
时取最大值。
，其中期望
，方差
，曲线关于直线
对称并在
57. 离散型随机变量的期望与方差的性质：
⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量
取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
⑵
；
（
为常数）
⑶
常数） ⑷ 设⑸ 若
，则，则
，
，
；（为
，；若
服从几何分布，且
，则
八、 复数
58. 复数的除法运算：
，。
59. 复数
的模：
60. 复数之间不能进行大小比较 61. 设一元三次方程
（
）的三个根分别是
，则有：
⑴ ，，
⑵ 令
当当当
九、 极限与级数 62. 柯西收敛准则：数列
得当
时，有
，其中，
时，方程有一个实根，一对共轭复根； 时，方程有三个实根，其中有一个二重根； 时，方程有三个不等实根。
收敛的充分必要条件是：对于任意
。
，存在整数，使
63. 极限的定义：
。
：对于任意，存在正数，当时，有
64. 当时，有，，则有，
65. 函数极限的计算：
⑴ （）其中各函数极限均存在
⑵ 洛必达法则：若函数和满足下列条件：
①
或
② 在点
，其；
中
的某去心邻域内两者均可导，且；
则有
66. 拉格朗日中值定理：如果函数
么在开区间
内至少有一点（
满足在闭区间
）使等式
上连续；在开区间
内可导；那 成立。
67. 正项级数敛散性判断：
⑴ 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散 ⑵ 比值与根值判别法：
若；
若
；
⑶ 与级数比较：设，当时收敛，当时
发散。
68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数
满足
，
；
余项
。
，则收敛，且其和，
69. 幂级数收敛半径及收敛域：
设幂级数
，则有
⑴ 若⑵ 判断⑶ 若该级数在
，则其收敛半径为
在
处的敛散性；
；
处收敛，则其收敛域为
处收敛，则其收敛域为处都收敛，则其收敛域为
；若该级数在；若该级数在。
十、 矩阵、线性空间与线性变换
70. 矩阵的转置：
⑴ 对于
阵⑵ 若
足
阶实矩阵
，若满足
为，则称
或的转置；
为对称矩阵；若
阶方阵
满
（为单位矩阵），则矩
称为正交矩阵，其中阶方阵
满足，则称
为反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0；
⑶ 转置的运算规律：
71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩
72. 特征值和特征向量：
⑴ 给定矩阵
为矩阵
，若存在一个非零向量的特征值，
为矩阵
和实数
，满足
，则称
的特征向量。
的属于特征值
⑵ 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩
阵的行列式的值。 ⑶ 若同阶矩阵
和
的特征值相同，则有
等价于
。
73. 非异矩阵：若阶矩阵的行列式不为零，即，则称为非奇异矩阵或满秩矩阵，
否则称为奇异矩阵或降秩矩阵。 74. 相似、合同：
⑴ 相似：
非异矩阵
，使得
，则有
相似于
。
⑵ 相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同 ⑶ 合同：
非异矩阵
，使得
，则有
与
合同。
⑷ 合同的判断：正、负特征值的个数相等 75. 线性空间：
⑴ 柯西
布涅科夫斯基不等式：设
，当且仅当
⑵
本身与
都是
、
是欧式空间，
、
，则
线性相关时，等号才成立
的平凡子空间，而
的其他
的子空间，称之为
子空间称为非平凡子空间。 ⑶ 设
与
是线性空间
的两个子空间，则
76. 施密特正交化法：
对令
维欧式空间
，
的任一组基
，
，
，
，
，
，
即为
的一组标准正交基。
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