2020-2021学年上海市黄浦区八年级(下)期末数学试卷

2020-2021学年上海市黄浦区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）（每题只有一个选项正确） 1．（3分）下列方程中，是无理方程的为（ ） A．

B．

C．

D．

2．（3分）下列方程中，有实数解的是（ ） A．2x4+1＝0 C．x2﹣x+2＝0

B．D．

+3＝0 ＝

3．（3分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（ ） A．∠D＝90°

B．AB＝CD

C．BC＝CD

D．AC＝BD

4．（3分）顺次联结等腰梯形四边的中点所形成的四边形一定是（ ） A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．梯形

5．（3分）下列事件中，必然事件是（ ） A．y＝﹣2x是一次函数 B．y＝x2﹣2是一次函数 C．y＝+1是一次函数

D．y＝kx+b（k、b是常数）是一次函数

6．（3分）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB′C′D′，如果AB＝1，点C与C′的距离为（ ）

A．

B．

﹣

C．1

D．

﹣1

二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2分）方程x3﹣2x＝0的根是 ．

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8．（2分）已知关于x的方程+＝5，如果设＝y，那么原方程化为关于y

的整式方程是 ． 9．（2分）方程

的解为 ．

10．（2分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．

11．（2分）在△ABC中，点D是边AC的中点，如果＝ ．

12．（2分）2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票，恰好2名女生得到电影票的概率是 ．

13．（2分）如果一个五边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于 度．

14．（2分）如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为 ． 15．（2分）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝ °．

，那么

16．（2分）若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 ． 17．（2分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝ 秒时，四边形ABPQ是直角梯形．

第2页（共22页）

18．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ ．

三、简答题：（本大题共4题，第19、20题每题5分，第21、22题每题6分，满分22分） 19．（5分）解方程：

＝

﹣

．

20．（5分）解方程组：．

21．（6分）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． （1）填空：（2）求作：

++

＝ .

﹣

＝ ；

（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）

22．（6分）某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时从学校出发．已知先遣队每小时比大部队多行进1千米，预计比大部队早半小时到达目的地．求先遣队与大部队每小时各行进了多少千米．

四、解答题：（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分） 23．（8分）某医药研究所开发了一种新药，在检验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2时后血液中含药量最高，达6微克/毫升，接着逐步衰减，服药10时后血液中含药量达3微克/毫升，每毫升血液中含药量y（微克）随着时间x（时）的变化如图所示．

（1）当成人按规定剂量服用时，求出x＞2时，y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，治疗疾病是有效的，那么有效

第3页（共22页）

时间有多长？

24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．

25．（10分）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB＝CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，双曲线y＝经过点D，直线y＝kx+b经过A、B两点． （1）求点A、B、C、D的坐标；

（2）求双曲线y＝和直线y＝kx+b的解析式；

（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．

26．（10分）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝4，BC＝7，点E、

第4页（共22页）

F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y． （1）求边AD的长；

（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式； （3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．

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2020-2021学年上海市黄浦区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）（每题只有一个选项正确） 1．（3分）下列方程中，是无理方程的为（ ） A．

B．

C．

【解答】解：

是一元二次方程，

是无理方程， ＝0是分式方程，

是一元一次方程，

故选：B．

2．（3分）下列方程中，有实数解的是（ ） A．2x4+1＝0 B．+3＝0 C．x2﹣x+2＝0

D．

＝

【解答】解：∵2x4+1＝0， ∴2x4＝﹣1， ∵x4≥0，

∴2x4+1＝0无实数解； ∵， ∴， ∵，

∴

无实数解；

∵x2﹣x+2＝0，

△＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴x2﹣x+2＝0无实数解； ∵，

解得x＝

，

第6页（共22页）

D．

∴故选：D．

有实数解，

3．（3分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（ ） A．∠D＝90°

B．AB＝CD

C．BC＝CD

D．AC＝BD

【解答】解：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，能使这个四边形是正方形的是BC＝CD， 故选：C．

4．（3分）顺次联结等腰梯形四边的中点所形成的四边形一定是（ ） A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．梯形

【解答】解：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E、F、G、H分别是各边的中点， 连接AC、BD．

∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF＝AC．

同理FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC＝BD，

∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形． 故选：B．

5．（3分）下列事件中，必然事件是（ ） A．y＝﹣2x是一次函数 B．y＝x2﹣2是一次函数

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C．y＝+1是一次函数

D．y＝kx+b（k、b是常数）是一次函数 【解答】解：y＝﹣2x是一次函数是必然事件； y＝x2﹣2是一次函数是不可能事件； y＝+1是一次函数是不可能事件；

y＝kx+b（k、b是常数）是一次函数是随机事件， 故选：A．

6．（3分）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB′C′D′，如果AB＝1，点C与C′的距离为（ ）

A．

B．

﹣

C．1

D．

﹣1

【解答】解：如图，连接AC'，AC，CC'，过C作CF⊥AC'于F， 由旋转可得，∠DAD'＝30°，∠DAB'＝60°， ∴∠DAC'＝45°﹣30°＝15°， 同理可得，∠B'AC＝15°，

∴∠CAC'＝60°﹣15°﹣15°＝30°， ∵AB＝BC＝1， ∴AC＝∴CF＝∴AF＝∴C'F＝

＝AC'， ， ， ﹣

，

＝

＝

＝

∴Rt△CC'F中，CC'＝

＝

，

第8页（共22页）

故选：D．

二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2分）方程x3﹣2x＝0的根是 【解答】解：因式分解得x（x+故答案为0，

．

+

＝5，如果设

＝y，那么原方程化为关于y

）（x﹣

．

）＝0，解得x1＝0，x2＝﹣

，x3＝

．

8．（2分）已知关于x的方程

的整式方程是 3y2﹣5y+1＝0 ． 【解答】解：设则原方程可化为， 3y+＝5， 去分母，整理得， 3y2﹣5y+1＝0，

故答案为：3y2﹣5y+1＝0． 9．（2分）方程

的解为 3 ． ＝y，则

＝，

【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2 ∴x2﹣2x﹣3＝0，

解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，

检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解， 当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解． 故答案为3．

10．（2分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，那么当y

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＜0时，自变量x的取值范围是 x＜2 ．

【解答】解：∵由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为（2，0）， ∴当y＜0是，x＜2． 故答案为：x＜2．

11．（2分）在△ABC中，点D是边AC的中点，如果【解答】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵点D是边AC的中点， ∴∵∴

＝﹣（

＝﹣

＝）＝． ，

，

．

，那么

＝

．

故答案为：

12．（2分）2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票，恰好2名女生得到电影票的概率是

．

【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰好2名女生得到电影票的有2种情况， ∴恰好2名女生得到电影票的概率是：

＝．

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故答案为：．

13．（2分）如果一个五边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于 108 度． 【解答】解：由题意知，此五边形为正五边形， ∵正五边形的外角和为360°，

∴正五边形的每个外角的度数为：360°÷5＝72°， ∴正五边形的每个内角的度数为：180°﹣72°＝108°． 故答案为：108．

14．（2分）如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为 120 ． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10， ∵对角线互相垂直平分， ∴∠AOB＝90°，AO＝5， 在Rt△AOB中，BO＝∴BD＝2BO＝24． ∴则此菱形面积是故答案为：120．

＝120，

＝12，

15．（2分）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝ 60 °．

【解答】解：∵AE＝AD，

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∴∠AED＝∠ADE＝75°，

∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB，

∵∠BAE＝90°+30°＝120°， ∴∠ABE＝

∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60．

16．（2分）若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 1：2 ． 【解答】解：设梯形的中位线被对角线分成的每一份是x，则中位线为3x． 根据梯形的中位线定理，得梯形的中位线平行于两底．

根据三角形中线定理，得它的上底边为2x，下底边＝6x﹣2x＝4x． 所以上底：下底＝2x：4x＝1：2．

，

17．（2分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝ 7 秒时，四边形ABPQ是直角梯形．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

过点A作AE⊥BC于E，

∴当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形， ∵∠B＝60°，AB＝8cm，

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∴BE＝4cm，

∵P，Q运动的速度都为每秒1cm， ∴AQ＝10﹣t，AP＝t， ∵BE＝4， ∴EP＝t﹣4，

∵AE⊥BC，AQ∥EP，AE∥QP， ∴QP⊥BC，AQ⊥AD， ∴四边形AEPQ是矩形， ∴AQ＝EP， 即10﹣t＝t﹣4， 解得t＝7， 故答案为：7．

18．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ 135° ．

【解答】解：延长CD到点F，如图所示． ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BC∥DE， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝90°．

∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处， ∴∠ADF＝∠EDF＝∠ADE＝45°， ∴∠BDC＝∠ADF＝45°，

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∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝135°． 故答案为：135°．

三、简答题：（本大题共4题，第19、20题每题5分，第21、22题每题6分，满分22分） 19．（5分）解方程：

＝

﹣

．

【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）得： 16＝（x+2）2﹣（x﹣2）， 整理得：x2+3x﹣10＝0， 解此方程得：x1＝﹣5，x2＝2，

经检验x1＝﹣5是原方程的解，x2＝2是增根（舍去）， 所以原方程的解是：x＝﹣5． 20．（5分）解方程组：

．

【解答】解：

由②，得（x+2y）（x﹣y）＝0， x+2y＝0或x﹣y＝0③， 由③和①组成方程组

，

，

，

解得：，，

所以原方程组的解是，．

21．（6分）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． （1）填空：（2）求作：

++

＝

.

﹣

＝

；

（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）

第14页（共22页）

【解答】解：（1）∵∴

＝﹣

， ＝

﹣；

＝．

； +

＝

，

故答案为：

（2）如图，

即为所求+．

22．（6分）某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时从学校出发．已知先遣队每小时比大部队多行进1千米，预计比大部队早半小时到达目的地．求先遣队与大部队每小时各行进了多少千米．

【解答】解：设先遣队每小时行进x千米，则大部队每小时行进（x﹣1）千米． 根据题意，得

解得 x1＝6，x2＝﹣5．

经检验：x1＝6，x2＝﹣5是原方程的根，x2＝﹣5不合题意，舍去． ∴原方程的根为x＝6． ∴x﹣1＝6﹣1＝5．

答：先遣队与大部队每小时分别行进6千米和5千米．

四、解答题：（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分） 23．（8分）某医药研究所开发了一种新药，在检验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2时后血液中含药量最高，达6微克/毫升，接着逐步衰减，服药10时后血液中含药量达3微克/毫升，每毫升血液中含药量y（微克）随着时间x（时）的变化如图所示．

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．

（1）当成人按规定剂量服用时，求出x＞2时，y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，治疗疾病是有效的，那么有效时间有多长？

【解答】解：（1）当x＞2时，设y＝kx+b， 把（2，6），（10，3）代入上式， 得：

，

解得：，

∴x＞2时，y＝﹣x+；

（2））当0≤x≤2时，设y＝kx， 把（2，6）代入上式，得k＝3， ∴0≤x≤2时，y＝3x，

把y＝4代入y＝3x，可得x＝， 把y＝4代入y＝﹣x+解得：x＝∴

，

；

﹣＝6，

∴这个有效时间是6小时．

24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．

第16页（共22页）

【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点， ∴AE＝EC＝BC ∵BC＝2AD， ∴AD＝BC

∴AD＝EC，且AD∥BC，

∴四边形AECD是平行四边形，且AE＝EC， ∴四边形AECD是菱形 （2）如图，

∵AD∥BC，AD＜BC ∴四边形ABCD是梯形， ∵BD平分∠ABD，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD

∵四边形AECD是菱形， ∴AD＝DC＝2 ∴AB＝DC＝2

∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC＝BD

第17页（共22页）

∵BC＝2AD＝4． ∴BD＝AC＝

＝2

25．（10分）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB＝CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，双曲线y＝经过点D，直线y＝kx+b经过A、B两点． （1）求点A、B、C、D的坐标；

（2）求双曲线y＝和直线y＝kx+b的解析式；

（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．

【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H． ∵AD∥BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∵AO⊥x轴，

∴四边形AOHD是矩形，

∴AO＝DH，AD＝OH，∠AOB＝∠DHC＝90°， 在Rt△ABO和Rt△DCH中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△DCH（HL）． ∴BO＝CH， ∵梯形的高为2， ∴AO＝DH＝2． ∵AD＝3，BC＝11，

第18页（共22页）

∴BO＝4，OC＝7．

∴A（0，2），B（﹣4，0），C（7，0），D（3，2）；

（2）∵双曲线y＝经过点D（3，2）， ∴m＝xy＝6．

∴双曲线的解析式为：y＝，

∵直线y＝kx+b经过A（0，2）、B（﹣4，0）两点， 得：

，

∴解得：．

∴直线的解析式为：y＝x+2；

（3）如图2，∵四边形ABMN是平行四边形． ∴BM∥AN且BM＝AN． ∵点N在y轴上，

∴过点B作x轴的垂线与双曲线y＝的交点即为点M． ∴点M的坐标为M（﹣4，﹣）， ∴BM＝． ∴AN＝BM＝， ∴ON＝OA﹣AN＝， ∴点N的坐标为N（0，）．

第19页（共22页）

26．（10分）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝4，BC＝7，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y． （1）求边AD的长；

（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式； （3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．

【解答】解：（1）如图1，过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H， ∵梯形ABCD中，∠B＝90°， ∴DH∥AB， 又∵AD∥BC，

∴四边形ABHD是矩形，

第20页（共22页）

∵∠C＝45°， ∴∠CDH＝45°， ∴CH＝DH＝AB＝4， ∴AD＝BH＝BC﹣CH＝3．

（2）∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°， ∴FG＝DG＝AE＝x， ∵EG＝AD＝3， ∴EF＝x+3，

∵PE＝PF，EF∥BC，

∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM， ∴PM＝PN，

如图2，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R， ∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN， ∴PQ＝EF＝（x+3），PR＝MN＝， ∵QR＝BE＝4﹣x， ∴（x+3）+y＝4﹣x，

∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+5；

（3）当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+5，AE＝x＝1， ∴S梯形AEFD＝（AD+EF）•AE＝（3+3+1）×3＝

，

2＝

当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：（x+3）﹣4﹣x，AE＝x＝，

∴S梯形AEFD＝（AD+EF）•AE＝（3+3+）×4＝综上所述，梯形AEFD的面积为

或

．

，

第21页（共22页）

第22页（共22页）