全国2012年数学模拟分类汇编平面向量

全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编 平面向量

【江西省泰和中学2012届高三12月周考】已知平面向量a，b满足|a|1,|b|2,a与b的夹角为60，则

“m=1”是“(amb)a”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C．

【解析】解析：(a-mb)a=1-m0，m1，选Ｃ

【山东省日照市2012届高三上学期期末理】（3）如图所示，已知AB2BC,OAa,OBb,OCc,则下列等式中成立的是

（A）c32b12a

（B）c2ba （D）c32a12b（C）c2ab

即2OCOA3OB，即c2BOOC），【答案】A 解析：由AB2BC得AOOB（32b12a。

【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】11.

，且

，则向量

在向量

的外接圆的圆心为O，半径为1，若

方向上的射影的数量为（）

(A).(B).(C). 3 (D).

【答案】A

【解析】由已知可以知道，ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此ABC是直角三角形。且

A=2，又因为 |OA||CA|CAB3,B6,3,AC1，故BA在BC上 的射影|BA|cos632因此答案为A

【山东省微山一中2012届高三10月月考理】9．若kR，|BAkBC||CA|恒成立，则△ABC的形状一定

是 （ ）

A．锐角三角形 【答案】B

B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【解析】根据遇模平方kR，|BAkBC||CA|恒成立可以转化为:

222222kR,kBC2kBABC2BABCBC0,(BABC)BC(2BABCBC)0

accosBa(2accosBa)0,由余弦定理得: ccosBcb0,

222222222由正弦定理得:sin2B1,B2.由上可知:该题综合考查向量的模、数量积、二次不等式恒成立、正

余弦定理以及推理论证能力,是难题.

2【2012三明市普通高中高三上学期联考文】关于x的方程axbxc0，（其中a、b、c都是非零平

面向量），且a、b不共线，则该方程的解的情况是

A.至多有一个解 B.至少有一个解 C.至多有两个解 D.可能有无数个解 【答案】A

【解析】本题主要考查平面向量的基本定理、向量相等以及方程的解的相关知识，属于基础知识、基本计算的考查.

22b、c都是非零向量）由已知，x是实数。关于x的方程axbxc0，（其中a、可化为cxaxb，

a、b不共线且为非零平面向量，由平面向量的基本定理，存在唯一实数对（m，n）使cmanb。于

x2mx2m是，至多有一个解。

xnxn【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，则实数λ等于

A.－2 B. －【答案】C

【解析】本题主要考查平面向量的共线的性质. 属于基础知识、基本运算的考查. λa＋b＝(λ＋2,2λ)，向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，∴（λ＋2）×（－2）＝2λ×1， ∴λ＝－1

【2012厦门市高三上学期期末质检文】如图，已知OA3，OB1，OA·OB0，∠AOP＝若OPtOAOB,，则实数t等于

1313 C.－1 D.－23

6，

A. B.

33 C.3 D.3

【答案】B

【解析】本题主要考查向量的相等、向量的数量积公式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵OA·OB0，∴∠AOB＝

263若OPtOAOB,则OPOBtOA,BPtOA，∴BPOA，

； ∵ ∠AOP＝

， ∴∠BOP＝



在Rt△BOP中, |BP|333|OA|, ∴实数t等于 33【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1】△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足BM2AM，则CM·CA= A．18 B．3 C．15 D．12 【答案】 A

【解析】本题主要考查平面向量的共线及数量积的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

由题意，如图建立直角坐标系，则A(3,0),B(0,3) ∵BM2AM，∴A是BM的中点 ∴M（6，－3）

CM＝（6，－3），CA＝(3,0) CM·CA＝18

2【2012黄冈市高三上学期期末考试文】若ABBCAB0，则ABC必定是

（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】 B

【解析】本题主要考查向量的运算、向量垂直的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 2ABBCAB0AB(BCAB)0ABAC0ABAC 则ABC必定是直角三角形。

【2012金华十校高三上学期期末联考文】设向量a，b满足|a|1,|ab|a(ab)0，则|2ab|=

3,

C．4

（ ） D．43 A．2 B．23 【答案】 B

【解析】本题主要考查平面向量的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

2a(ab)0ab|a|1

|ab||2ab|22223(ab)3ab2ab3b4

2(2ab)224ab4ab1223

1【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】在边长为1的正三角形ABC中，BDBA，E是CA的中

3点，则CDBE= （ ）

A．23 B．12 C．13 D．16

【答案】 B

【解析】本题主要考查平面向量的运算以及坐标法. 属于基础知识、基本方法的考查. 如图，建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,0),C(,21333CD(,),BE(,)

62441333131CDBE(,)(,)

62448821133),D(,0),E(,) 23443【2012粤西北九校联考理11】已知向量

a=(x1,2),b=(4,y),若ab，则9x3y的最小值为 ;

【答案】6

ab0【解析】若ab,向量a=(x1,2),b=(4,y)，所以，所以2xy2，由基本不等式得

936

xy【山东省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】14、在四边形ABCD中，

AB311DC(1,1),BABC，则四边形BDABCD的面积为 。|BA||BC||BD| C D B A 【答案】

3 解析:由ABDC(1,1)可得ABDC2且四边形ABCD是平行四边形，再由

311可知BCDD在ABC的角平分线上，且以BA及BC上单位边长为边的BAB|BA||BC||BD|平行四边形的一条对角线长（如图）是PBAB=BACB,CSDABBC3，因此ABC3，所以

232sin。该题由AB3DC(1,1)考查向量相等的概念和求摸

113以及几何意义，由BABCBD考查向量的加法的几何意义，该题还考查正弦定

|BA||BC||BD|理面积公式以及转化能力，是难题。

【烟台市莱州一中2012届高三模块检测文】已知向量a,b满足|a|2,|b|1,|ab|2. （1）求ab的值； （2）求|ab|的值.

【答案】17.解：（1）由｜ab｜=2得

|ab|a2abb412ab4，

222所以ab122.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

22（2）|ab|a2abb421216，所以|ab|6.„„„„„12分

【山东实验中学2012届高三一次诊断文】16. 点O在的面积与凹四边形. 【答案】5:4 【解析】解： 作图如下

的面积之比为________.

内部且满足，则

作向量OD=2OB,OF2OC

以OD、OF为邻边作平行四边形ODEF,根据

平行四边形法则可知：OD+OF=OE

即2OC+2OB＝OE

由已知2OC+2OB＝＝-OA，

所以OE＝-OA，

BC是中位线，则OE＝2OG=4OH, 则线段OA、OH的长度之比为4:1， 从而AH、OH的长度之比为5:1，

所以△ABC与△OBC都以BC为底，对应高之比为5:1， 所以△ABC与△OBC的面积比为5:1，

∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5:4

【2012韶关第一次调研理7】平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，b1，

则ab（ ） A．3 B．【答案】B

【解析】因为平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，b1，

7 C．3 D．7

所以ab2a2abb7

22【2012深圳中学期末理13】给出下列命题中

0 b满足abab，则a与ab的夹角为30； ① 向量a、 b的夹角为锐角的充要条件； ② ab＞0，是a、

③ 将函数y =x1的图象按向量a=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x； ④ 若(ABAC)(ABAC)0，则ABC为等腰三角形；

以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 【答案】①③④

【解析】对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；

对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为ab＞0，是a、 b的夹角为锐角的必

要条件；

对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确； 对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确；

【2012海南嘉积中学期末理10】在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，a、b为不

同的两个平面）

①m^a，n//aÞm^n ②m//n，n//aÞm//a

③m//n，n^b，m//aÞa^b

④mn=A，m//a，m//b，n//a，n//bÞa//b 其中正确的命题个数有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【答案】C

【解析】①m^a，n//aÞm^n正确；②m//n，n//aÞm//a错误，线可以在平面内；③m//n，

n^b，m//aÞa^b正确；④mn=A，m//a，m//b，n//a，n//bÞa//b正确。

【2012黑龙江绥化市一模理13】已知向量a(2,4)，b(1,1)，若向量b(ab)，则实数的值

为___. 【答案】13

【解析】因为向量b(ab)，所以b(ab)0，13

【2012 浙江瑞安期末质检理15】已知平面向量a,b,c不共线，且两两之间的夹角都相等,若

|a|2,|b|2,|c|1,则abc 与a的夹角是 .

【答案】60



【解析】cosabc,a(abc)aabca12，夹角为600；

【2012·泉州四校二次联考理5】定义：ab=absin，其中为向量a与b的夹角，若a2，b5，

ab6，

则ab等于（ ）

A．8 B．8 C．8或8 D．6 【答案】B

434【解析】由a2，b5，ab6，得cos,sin，所以ab=absin=258

555【2012延吉市质检理5】若向量a=（x-1，2），b=（4，y）相互垂直，则的最小值为（ ）

A．12 B．23

C．32 D．6

【答案】D

【解析】因为向量a=（x-1，2），b=（4，y）相互垂直，所以ab0,4x42y0,2xy2 则9x3y232xy6.

【2012浙江宁波市期末文】在ABC中，D为BC中点，若A120，ABAC1，则AD值是 （ ）

(A)

12的最小 (B)

32 (C) 2 (D)

22

【答案】D

1【解析】由题D为BC中点，故AD(ABAC)，所以

211112222|AD|(ABAC)(|AB|2ABAC|AC|)(2|AB||AC|2)4442，选D。

【2012安徽省合肥市质检文】已知向量a(3,1),b(1,m)，若2ab与a3b共线，则m= ； 【答案】

13

【解析】2ab(5,2m)，a3b(6,13m)，由2ab与a3b共线得5(13m)6(2m)，

m13。

解得

【2012山东青岛市期末文】设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA2ij，OB4i3j，则OAB的面积等于 . 【答案】5

【解析】由题可知|OA|51，5，|OB|5，OAOB5，所以cosOA,OB55555255。

21，所求面积为SsinOA,OB25【2012吉林市期末质检文】已知a(2，1)，b(0，2)，若向量ab与2ab

垂直，则实数的值为 . 【答案】32

2222【解析】由题可得(ab)(2ab)2a(21)abb0，又a5，b4，ab2，

则102(21)40，解得32。

【2012江西南昌市调研文】【答案】6；

【解析】由a//b可得2k34，解得k6。

则k= .

1【2012广东佛山市质检文】已知向量a(x,2)，b(1,y)，其中x0,y0.若ab4，则x小值为 （ ）

392y的最

A．2 【答案】C

B．2

C．4 D．22

1【解析】由ab4得x2y4，又x2y(12)(xy)1yx19，选C。

xy4242x2y4【2012河南郑州市质检文】在△ABC中，若AB2ABACBABCCACB,则△ABC是（ ） A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】D

22【解析】由ABABACBABCCACB得ABABACBABCACBC,

即ABCBBCBC,得CACB0,C,选D。

2【2012河南郑州市质检文】在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p=4,a2b2c2,q=【答案】

33,S满足p∥q,则∠C= .

；

2223(abc)2absinC,即tanC【解析】由题p∥q，则4S3，C3。

【2012北京海淀区期末文】如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的

中点，那么EF=

11（A）AB+AD

2211AB+AD （C）-2211 （B）-AB-AD 2211 （D）AB-AD

22DECFAB【答案】D

11【解析】EF=DB=(AB-AD)，选D。

22【2012广东韶关市调研文】平面向量a与b的夹角为600，a(2,0)，b1，则ab（ ）

A．3 B．【答案】B 【解析】因ab27 C．3 D．

a2abb4221cos6017，所以ab227，选B。

【2012延吉市质检理11】 已知向量

k=________． 【答案】1

【解析】因为a— 2b与c共线，向量所以33k0,k1；

【2012延吉市质检理14】已知：OA1,OBm ． OCmOAnOB(m,nR),则n．若a— 2b与c共线，则

．

3,OAOB0,点C在AOB内,且AOC30,设

【答案】3

【解析】因为OA1,OBOCmOAnOB(m,nR),3,OAOB0,点C在AOB内,且AOC30,设

m33mn根据共线成比例得

n3tan300,所以

3

【2012厦门期末质检理6】如图，平行四边开ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝

13AB，则DMDB·等于

A.－1 B. 1

3333C.－ D.

【答案】B

【解析】DMDA13AB;DBDAAB;DMDBDA243DAABAB21;选B。

【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】若向量a(1,1b),(8ab)c30，则x=

(2,c5),x满足条件

【答案】4

【解析】本题主要考查向量的坐标的运算、向量的数量积公式. 属于基础知识、基本运算的考查.

14(8ab)(6,3),(8ab)c163x30x

3【2012年西安市高三年级第一次质检文】 已知向量则k=_______ 【答案】1

【解析】本题主要平面向量的共线和坐标运算 . 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ a2b(3,3),a2b与c共线，∴3.若a-2b与c共线

3k3k1

【2012三明市普通高中高三上学期联考文】已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)∥b，

则k= ． 【答案】5

【解析】本题主要考查向量的坐标的运算、向量的数量积公式. 属于基础知识、基本运算的考查.

 ac(3k,6)，∵(ac)∥b，∴1(6)3(3k)，解得k=5

【2012武昌区高三年级元月调研文】在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=4，BD=1，则

ABAD 。

【答案】 14

【解析】本题主要考查向量的加法、向量的数量积的分配律及数量积运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

ABADAB(ABBD)ABABABBD16|AB||BD|cos12014

1【2012三明市普通高中高三上学期联考文】已知向量a(sinx,1),b(3cosx,),函数

2f(x)(ab)a．2

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期T;

（Ⅱ）已知a、c分别为ABC内角A、B、b、C的对边, 其中A为锐角,a23,c4,且f(A)1,

求A,b和ABC的面积S．

【解析】本题主要考查了向量及其数量积、二倍角公式、周期公式，余弦定理和面积公式. 属于容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.

2解: （Ⅰ） f(x)(ab)a2aab2

„„„„„„„2分

（Ⅱ）

f(A)sin(2A因为A(0,2),2A66)1

(56,6)，所以2A62，A3 „„„„8分

S12bcsinA12243223 „„„„12分

【2012山东青岛市期末文】已知函数f(x)平移

632sin2x1222(cosxsinx)1，xR,将函数f(x)向左

个单位后得函数g(x)，设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c.

7，f(C)0，sinB3sinA，求a、b的值；

（Ⅰ）若c

（Ⅱ）若g(B)0且m(cosA,cosB)，n(1,sinAcosAtanB)，求mn的取值范围.

3212【解析】（Ⅰ）f(x)sin2x(cosxsinx)1

2232sin2x12cos2x1sin(2x6)1 …………………………………………1分

f(C)sin(2C66)10,所以sin(2C,),所以2C6)1

因为2C6(11662,所以C3……………………………3分

由余弦定理知：a2b22abcos37，

因为sinB3sinA,由正弦定理知：b3a……………………………………………5分 解得：a1,b3…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由条件知g(x)sin(2x所以sin(2B因为2B66)1所以g(B)sin(2B6)10,

6)1

(136,6),所以2B62 即B6

m(cosA,32)，n(1,sinA3333cosA)

于是mncosA32(sinAcosA)12cosA32sinAsin(A6)…… 8分

B6A(0,56),得 A6(6,)……………………………………………10分

【山东临沂市临沭一中高三10月份阶段测试试题】已知|a|4,|b|8, a与b的夹角120，求

|ab|.

【答案】17.解：|ab|=22222(ab)=a2abb=a2|a||b|cos120b

122=4248(2)8=43 【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考文】17、已知e1，e2是夹角为60°的单位向量，且

a2e1e2，b3e12e2。 （1）求ab；

（2）求a与b的夹角a,b。

227【答案】17、解：（1）ab＝（(2e1e2)(3e12e2)＝－6e1＋e1e2＋2e2＝；

22（2）|a||2e1e2|(2e1e2)7，同理得|b|7，

ab1所以cosa,b，又a,b[0,180]，所以a,b＝120°。

2|a||b|【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考文】19、已知向量a＝(cos,sin)，[0,]，向量b＝(3，－1)  (1)若ab，求的值；

(2)若2abm恒成立，求实数m的取值范围。

【答案】19、解：(1)∵ab，∴3cossin0，得tan(2)∵2ab＝(2cos3,2sin1)，

3，又[0,]，所以π3；

213π所以2ab(2cosθ3)2(2sinθ1)288sinθcosθ88sinθ，

223又∈[0，π]，∴π3[π2ππ3,]，∴sin[,1]， 33322∴2ab的最大值为16，∴2ab的最大值为4，又2abm恒成立，所以m4。

【山东省济宁市鱼台二中2012届高三11月月考文】16.(本小题满分12分) 已知向量a＝(sin，1)，b＝(1，cos)，－(1) 若a⊥b，求； (2) 求|a＋b|的最大值． 【答案】16. 解：(1)若ab，则sin即tan(2)当1 而(cos022．

2,2)，所以4

4)ab32(sincos)322sin(

4时，

ab的最大值为21

【山东省济南市2012届高三12月考】30.（本小题满分8分）已知平面向量a(3,1),b(（Ⅰ）若存在实数k和t,满足x(t2)a(t212,32)

t5)b，yka4b且x⊥y，求出k 关于t的关系

式kf(t)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数kf(t)在t(2,2)上的最小值.

【答案】30．（本小题满分8分）

 （Ⅰ）ab0，且a2,b1 ------------------2分 ∴xy(t2)k(a)24(t2t5)(b)20 ----------3分

tt5t22 ∴kf(t) （t2） ------------------4分

（Ⅱ）kf(t)tt5t22t21t25 ---------------5分

∵t(2,2)，∴t20， ----------------6分 则kt21t253， -----------------7分

当且仅当t21，即t1时取等号，∴k的最小值为-3 . ------------8分