第23章 旋转拓展题

第二十三章 旋转 23.1图形的旋转

专题一 利用旋转的概念和性质求角的度数以及点的坐标及直线解析式

1. Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m= . 2.【 2011·牡丹江】平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB=60°， AO=1，AC=2，把平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴上，则旋转后点 C的对应点C′的坐标为 ．

专题二 利用旋转的概念和性质确定旋转中心、以及作旋转图形

3.如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示方 格纸上A点的位置，用（1，2）表示B点的位置，那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH 时的旋转中心用有序数对表示是__________．

4.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，坐标为（a，b），直线l的解析式为y=2x-4． （1）画出点P以点O为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点P′； （2）猜想点P′的坐标，并证明你的结论；

（3）求出直线l绕点O逆时针旋转90°后的直线l′的解析式．

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专题三 利用旋转的概念和性质判定三角形形状、线段之间位置与数量关系

5.如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF.当P为射线CD上任意一点（P不与C重合）时，连接EP；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG．判断直线FG与直线CD的位置关系，并加以证明.

6.【2011•南通】已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F'OE'（如图2）. （1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明； （2）当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.

7.【2011·咸宁】（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边 上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且 ∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN的长．

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知识要点：

1.旋转的定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转. 2.旋转的三个要素：旋转中心、旋转角、旋转方向. 3.旋转的性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角； （3）旋转前、后的图形全等.

温馨提示：

1.旋转可以得到相等的角、边，所以为证明三角形全等提供了有力的条件. 2.旋转可以将分散的边角集中于一点或集中于同一个三角形.同理，旋转也可以将集中的条件分散.

方法技巧：

1.确定旋转中心的方法：两组对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心. 2.旋转出等腰三角形；旋转90°出等腰直角三角形；旋转60°出等边三角形.

3.图形绕原点旋转90°前后对应点的坐标之间的关系：横变纵，纵变横，符号看象限. 即：P（a，b）绕原点顺时针旋转90°P(b，－a)； P（a，b）绕原点逆时针旋转90°P(－b，a).

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参考答案

1. 80°或120° 【解析】（1）如图，点B恰好落在边AB上的点B′时，有DB=DB′. ∴旋转角m=∠BDB′=180°－∠DB′B－∠B=180°－2∠B=80°；

（2）如图，点B恰好落在边AC上的点B″时，有DB=DB″.

在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°- ∠CDB″=120°．

2.（3，2），（-3，-2）【解析】如图： ∵∠AOB=60°，把平行四边形AOBC绕点0逆时针旋转，使点A落在y轴上， ∴∠A′EC′=90°. ∵∠A′C′B=60°，∴∠A′C′E=30°. ∵A′E=1，A′C′=2，∴EC′=3，A′E=1，∴C′（3，2）. 同理可得点C″（-3，-2）． 3.（5，2） 【解析】连接CG，作其垂直平分线；连接EA，作其垂直平分线；两垂直平分线的交点就是旋转中心. 4.【解】（1）如图所示； （2）P′（－b，a）． 证明：过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，过P′点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B′、A′. ∵∠POP′=90°，∴∠AOP=∠A′OP′. - 4 -

又∵OP=OP′，∴Rt△AOP≌Rt△A′OP′. ∴OA=OA′，AP=A′P′.

∴OA′=OA=a，OB′=P′A′=PA=OB=b.

∵P′在第二象限，∴P′的坐标为（－b，a）； （3）由图象知直线l与x轴交点为M（2，0），与y轴交点为N（0，－4）． 由（2）得：点M（2，0）、N（0，－4）绕O点逆时针旋转90°得到的对应点分别是M′（0，2）、N′（4，0）， ∴直线M′N′就是直线l绕O点逆时针旋转90°得到的对应直线， 解得直线l′的解析式为y=－1x+2． 25.【解】直线FG与直线CD的位置关系为互相垂直． 证明：如图，设直线FG与直线CD的交点为H．

∵线段EC、EP分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG， ∴∠PEG=∠CEF=90°，EG=EP，EF=EC．

∵∠GEF=90°-∠PEF，∠PEC=90°-∠PEF，∴∠GEF=∠PEC． ∴△GEF≌△PEC．∴∠GFE=∠PCE．

∵EC⊥CD，∴∠PCE=90°.∴∠GFE=90°．∴∠EFH=90°．∴∠FHC=90°．∴FG⊥CD． 6.【解】（1）AE′＝BF′.

证明：如图2，∵在正方形ABCD中， AC⊥BD,∴∠F'OE'＝∠AOD＝∠AOB＝90°. 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′.∴∠AOE′＝∠BOF′. ∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA,∴OE′＝OF′. ∴△OAE′≌△OBF′.∴AE′＝BF. （2）作△AOE′的中线AM，如图3.

则OE′＝2OM＝2OD＝2OA. ∴OA＝OM.

∵α＝30°,∴∠AOM＝60°.∴△AOM为等边三角形. ∴MA＝MO＝ME′，∠AE'M＝∠E'AM.

∵∠AE'M＋∠E'AM＝∠AMO,即2∠AE'M＝60°. ∴∠AE'M＝30°.

∴∠AE'M＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°， ∴△AOE′为直角三角形. 7.【解】（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，ABAG，AEAE， ∴△ABE≌△AGE．

∴BAEGAE．同理，GAFDAF．

1∴EAFBAD45．

2（2）MN2ND2DH2．

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∵BAMDAH，BAMDAN45，

∴HANDAHDAN45．∴HANMAN． ∵AMAH，ANAN，∴△AMN≌△AHN．∴MNHN． ∵BAD90，ABAD，∴ABDADB45．

∴HDNHDAADB90．∴NH2ND2DH2．∴MN2ND2DH2． （3）如图，

由（1）知，BEEG，DFFG．

设AGx，则CEx4，CFx6．

∵CE2CF2EF2，∴(x4)2(x6)2102． 解这个方程，得x112，x22（舍去负根）． ∴AG12．∴BDAB2AD22AG2122．

在（2）中，MN2ND2DH2，BMDH， ∴MN2ND2BM2．

设MNa，则a2(12232a)2(32)2． ∴a52．即MN52．

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23.2中心对称

专题一 利用中心对称的性质确定点的坐标

b2

1.点P（ac，）在第二象限，点Q（a，b）关于原点对称的点在（ ）

aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.一天，上九年级的聪聪和明明在一起下棋，这时聪聪灵机一动，象棋中也有很多数学知识，如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P．

（1）写出下一步“马”可能到达的点的坐标 ； （2）明明想了想，我还有两个问题： ①如果顺次连接（1）中的所有点，得到的图形是 图形（填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”）； ②指出（1）中关于点P成中心对称的点 . 专题二 利用中心对称的性质判定线段之间的关系 3.如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数关系式．

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4.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． [感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

专题三 利用中心对称的性质画图或游戏

5.如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则符合要求的直线可以画（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条

6.两个人轮流在一张桌面（长方形或正方形或圆形）上摆放硬币．规则是每人每次摆一个，硬币不能互相重叠，也不能有一部分在桌面边缘之外，摆好之后不许移动．这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币谁就认输．按照这个规则你用什么方法才能取胜呢？

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知识要点：

1.中心对称的定义：同一平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转180°后重合的两个点叫做对应点. 2.中心对称的性质：

①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； ②中心对称的两个图形是全等形. 3.关于原点对称点的坐标：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点 P′(－x，－y).

温馨提示：

1.轴对称图形的对称轴可以有多条，中心对称图形的对称中心只有1个.

2.对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分.

方法技巧：

1.画一条直线将一个不规则图形分成面积相等的两个部分的方法：利用割补法将该图形转化为两个中心对称图形，连接两个对称中心的直线就是所求的直线.

2.中心对称可以将分散的边角集中于一点或集中于同一个三角形.同理，中心对称也可以将集中的条件分散.

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参考答案 1. A 【解析】∵点P（ac，2bb2）在第二象限，∴ac＜0，＞0， aa∴a＜0，b＜0．∴点Q（a，b）在第三象限． ∴点Q（a，b）关于原点对称的点（-a，-b）在第一象限． 2.【解】（1）根据分析可得，下一步“马”可能到达的点的坐标：（0，0），（0，2），（1，3）， （3，3），（4，2），（4，0）；

（2）轴对称 （0，0）点和（4，2）点，（0，2）点和（4，0）点 3.【解】如图，设AD与C′D′交于点F，CD与A′D′交于点E. ∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，∴四边形DED′F是正方形. ∵正方形ABCD的边长为1，∴BD=2. ∵OB=x，∴OD=BD-OB=2-x. ∴DE=2·（2-x）=2-2x. ∴y=S正方形DED′F=DE=（2-2x）． 22∴y与x之间的函数关系式为：y=（2-2x）． 24.【解】延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG． （或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD）， ∴CF=BG,DF=DG.

∵DE⊥DF，∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF． 若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°.

由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°.

222222

∴在Rt△EBG中，BE+BG=EG，∴BE+CF=EF．

5.C 【解析】如图所示，能把图形分成面积相等的两个部分的直线共有3条．

6.【解】如果我先放，我就把第一枚放在桌中央，在他摆完后我再在他的中心对称的位置摆.因为中心对称是成对的,只要他能摆我就能摆，直到他输. 当两人都知道这个规则后谁先摆不下谁赢.

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23.3课题学习 图案设计

专题一 根据旋转、中心对称、轴对称的性质设计图案

1.如图所示是一块破损的正八边形窗户玻璃的图形，请你利用对称或其它有关知识补全图形．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

2.认真观察4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．

特征1：_________________________________________________； 特征2：_________________________________________________．

（2）请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

专题二 利用旋转、中心对称的性质证明线段之间的关系

3.【2012·济宁】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且

A1,3B,313,3△A1AC1是由△ABC旋转变换得到的． ,C,，已知

（1）请写出旋转中心的坐标是________________，旋转角是________________度； （2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形； （3）设Rt△ABC两直角边BC=a、ACb、斜边ABc，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．

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4.【2012·漳州】利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）.

（1）先作出该四边形关于直线l成轴对称图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形；

（2）完成上述设计后，整个图案的面积等于__________________.

知识要点：

1.轴对称、旋转、中心对称的定义. 2.轴对称、旋转、中心对称的性质.

温馨提示：

1.当n（n≥3）为奇数时，正n边形是仅仅是轴对称图形，对称轴有n条；当n（n≥3）为偶数时，正n边形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有n条. 2.计算网格中图形面积时，通常利用网格中格线长作为图形的底或高.

方法技巧：

1.图案设计的基本步骤： （1）确定关键点；

（2）根据要求确定关键点的对应点； （3）连接关键点的对应点成图.

2.对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半.

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参考答案

1.【解】（1）连接AE、BF相交于点O.

（2）分别作C、D两点关于O点的对称点G、H. （3）连接AH、HG、GF．

2.【解】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等

（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分．

3.【解】（1）(0，0) 90° （2）画出图形如图所示 （3）由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形． ∵S正方形CC1C2C3S正方形AA1A2B4S△ABC， ∴abc4221ab，a22abb2c22ab. 2∴abc． 4.【解】（1）如图所示：

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（2）由旋转和对称的特征可知，旋转前后的图形全等，即面积相等.对图形中的点进行标注，观察图形，由题意可知AD＝5，BE＝CE＝1.

1515∴△ABD的面积＝ADBE，△ACD的面积＝ADCE.

2222∵四边形ABDC的面积＝△ABD的面积＋△ACD的面积，

55∴四边形ABDC的面积＝5.

22∴整个图形的面积＝4×5＝20.

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