中学生数学·２０１４年２月上·第４８３期（高中） 寸湖南师范大学附属中学（４１０００６） 赵优良 ２０１３年高考湖南理科卷第１５题看似是一 道平淡的数列试题，但如果仔细琢磨，我们发 现其构思精巧、别具一格，是值得我们关注和 研究的好题．先将原题摘录如下： Ｓ２ｋ—ｇ／２ｋ－－ （是∈Ｎ ）， 设Ｓ 为数列｛“ ｝的前ｎ项和，Ｓ 一（～１） “ １ ｓｚ 一（ｓｚ —ｓ 。）一刍， ｓ。 一一刍． ｓ ｌ一－ａｚｋ－１－－ １（ｋ￣又。．。，ｎ∈Ｎ ，则 Ｎ ）， （１）ｎ 一 ． （２）Ｓ１＋Ｓ ２＋…＋Ｓ１ｏ０一２ １ ２雎 ２ 分析 由题设条件ｓ 一（一１）ｎａ，一 １２ 。 般通过赋值”一１，２，３，４…，先求出 ａ１，ｎ ２＇ａ ３’ 又。．’ｓｚ…一一。２¨ 一 １ 再观察、归纳，求Ｓ ．现在我们就顺着这种思路 试一试． （ｓ２ｋ＋ｉ—ｓ ）一 ， 解‘．。ｓ 一（一）＇ａ ｎ－－ １ｓ ＝２Ｓ ＋ ）＋ ｏ． 当ｎ一１时，“ 一ｓ 一一 一 ， ２（一 １１ “１一一 ’ Ｓ１＋Ｓ２＋…＋Ｓ１。０一Ｓｌ＋Ｓ３＋…＋Ｓ９９ （ ＋ 一 ＋…＋ １）一百１（ 一１）当”一２时，ｓ２一ａ２一 １ｎ ｑ－ａ ２一ａｚ－－ １由上述推导过程可得出更一般结论： 不能求出ａ ｚ。 Ｓ１＋Ｓ２十…＋Ｓ ２ ＝＝＝Ｓ１＋Ｓ ３ ４－…十Ｓ２＾１一 当”＝＝：３时，ｓ。＝＝＝－－ａ３－－ １（ ＋ ＋…＋刍）一÷（ 一１）（ｋＥＮ ）． 数列｛ｎ ｝的通项公式为： ｎ ＋ｎ ＋ｎ。＝－－ａ ３一 １很多同学认为不能先求出ａ ，也就求不出 ｎ。．因此在高考时，相当多的同学放弃了该题， 也导致该题得分率相当低． 事实上，由题设条件Ｓ 一（一１） ｎ ～ 可 ｆ一去（ 一２ｋ一１，ｋＥＮ＊）， １ ｃ一 … ． ，７２Ｅ Ｎ 且 ≥２， 若题设条件ｓ 一（一１） ｎ 一 １，”∈Ｎ 改 为：ｓｌ—Ｏ，ｓ 一（一１） ｌ口 一 １同样可以推出很漂亮的结论： 知Ｓ 与ａ 的递推关系，要求ｎ ，一般利用ｎ ＝＝＝ ｛霎 ～ｓ一 ： ：消去ｓ ，从而求出ｎ ． 解 ·．。又ｓ 一一 ｌ一，ｓ 一 一ｏ（ｋ￣－Ｎ ）， ① ｓ３一－－６／３一 １ Ｓｌ＋Ｓ ２＋Ｓ ３＋…－ｔ－Ｓ２ 一Ｓ２＋Ｓ４＋…＋Ｓ ２ ｓ 一ａ４一 １ ② ６（刍一１）（ｋ Ｅ Ｎ－）． 数列｛。 ｝的通项公式为： ｒ０ １②一①得￥４－－ｓ。一“ ＋ａ ３－－ １十 １（ｎ一１）， ．Ⅱ 一ｎ ＋ａ３－－ １十 １ｎ ：：： －＿（ｎ：２ｋ－－ｌ，ｋ∈Ｎ 且是＞１）， １ 。ｓ一一 ‘ 一 ｌ＿ （ ＝＝＝２ ，ｋＥＮ （下转第５页） 又’．‘ｓ 一（一１）ｎａ ｎ－－ １黪 网址：ＺＸＳＳ．ｃｔ）ｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ● ６ ● 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａ１．ｎｅｔ．ｃｎ 中学生数学·２０１４年２月上·第４８３期（高中） 是（２一√３） 一７—４√３． 题型五、若已知点（ 。 ）在圆上，求形如ａｘ ＋扫 ＋ｃ（口、ｂ、ｃ为常数，且ａ ＋ｂ ≠０）的最值 ３ 或 一３厄故填３ ；一３ ． 题型六、若已知点（ ，Ｙ）在圆上，求形如 （ｎ、ｂ、ｃ、ｄ为常数，且口≠０，ｃ≠０）的最值 此种题型可转化为求过两点（ｚ，Ｙ）和 学 多 此种题型可以转化为动直线截距的最值 问题；也可转化为已知圆与直线ｎｚ＋ｂｙ＋Ｃ—ｔ 基 础 知 留 ｔ 有公共点的问题，进而利用数形结合法即可； 还可借助圆的参数方程，转化为有关三角函数 表达式求最值问题． 例５ 若实数ｚ， 满足ｚ。＋ ＋８ｘ一６ｙ （一 ，一旦）的直线斜率问题，进而利用数形 结合法即可获解． 例６ 已知实数ｚ，Ｙ满足方程 ＋ 。一 ＋１６—０，则 ＋ ＋１的最大值为小值为 ． 最 ４ｚ＋１一ｏ，求 的最大值与最小值． 解析原方程可化为（ 一２） ＋Ｙ 一３，表 解析１ 令ｚ＋ ＋１一ｔ，则依题设圆Ｃ：（ｚ ＋４） ＋（ 一３） 一９与直线ｌ： ＋ ＋１一ｔ一０ 示以（２，ｏ）为圆心， 为半径的圆． 的几何意 有公共点，作图即知，应使上二 ≤ｒ 义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 ＝＝＝ 志，即 一是ｚ．当直线ｙ：ｋｘ与圆相切时，斜率尼 取得最大值或最小值，此时 一３ 一３√＿＜ ≤３ （当ｚ为切线时取等号）． 故填３√２；一３√２． 解析２ 因为ｚ，Ｙ满足Ｃ：（ｚ＋４） ＋（ 一 一 ，解得志 ３） 一９，所以可设４＋３ｃ ｏ ± 所以 的最大值为 ；最小值为一 题型七、通过构造圆。转化为与圆有关的 ３十３ＳＩｎＯ Ｉ Ｉｖ一一 十Ｊ （０为参 数）．所以ｚ＋ ＋１—３ｃｏｓ０＋３ｓｉｎ０＝３，／ｇｓｉｎ（０ ＋了７ｌ＂）最值问题。进而利用数形结合法求解 例７ 已知 ＋ ＋１—０，则 所以 ＋ ＋１的最大值、最小值分别为 ． ￣／（ 一１） ＋（ｙ－－１）。的最小值为解析３ ；一３ ￣／（ｘ－１） ＋（ｙ－－１） ＝＝＝ｒ，则由题 解析３令ｚ＋Ｙ＋１＝＝＝ｔ，则Ｙ一一 ＋ｔ一 设知，直线Ｚ： ＋ ＋１＝＝＝０与圆（ｚ一１） ＋（Ｙ一 １） 一ｒｚ有公共点．于是 ≤ｒ ｒ≥ １， 一１可看作直线 一一ｚ＋ｔ一１的纵截距， 当直线与圆Ｃ：（ｚ＋４） ＋（ 一３） 一９相切时， 纵截距取得最大值与最小值，即得出ｔ取得最 大值与最小值，此时Ｌ －３ 一 （当ｚ为切线时取等号）。故填； ． （责审 余炯沛） 考填空题着重考基础、考思维，注重对通性通 法的考查，因此，同学们在今后的学习中，应淡 寸（上接第６页） 若进一步将题设条件ｓ ＝＝＝（一１）ｎａ ｎ－－ １，ｎ ∈Ｎ 改为：Ｓ 一（一１） 口 一（２ｎ一１），ｎ∈Ｎ ，同 样可以推出很美的结论，同学们有兴趣不妨试 化特殊技巧，重视课本上的通性通法，研究每 章节的典型习题，注重“源”与“本”的关系， 多思考、多总结，达到事半功倍的效果． 试． ◇ （责审 余炯沛） 从上述解答和推广过程我们可以看出，高 ◇ ● 网址：。 。． ｔ． ｋｉ． ｔ·· ５·· 电子 箱： 。＠ ｈｉ 。 －． 。ｔ．。ｎ
