中学生数学·2014年2月上·第483期(高中) 寸湖南师范大学附属中学(410006) 赵优良 2013年高考湖南理科卷第15题看似是一 道平淡的数列试题,但如果仔细琢磨,我们发 现其构思精巧、别具一格,是值得我们关注和 研究的好题.先将原题摘录如下: S2k—g/2k-- (是∈N ), 设S 为数列{“ }的前n项和,S 一(~1) “ 1 sz 一(sz —s 。)一刍, s。 一一刍. s l一-azk-1-- 1(k ̄又。.。,n∈N ,则 N ), (1)n 一 . (2)S1+S 2+…+S1o0一2 1 2雎 2 分析 由题设条件s 一(一1)na,一 12 。 般通过赋值”一1,2,3,4…,先求出 a1,n 2'a 3’ 又。.’sz…一一。2¨ 一 1 再观察、归纳,求S .现在我们就顺着这种思路 试一试. (s2k+i—s )一 , 解‘.。s 一(一)'a n-- 1s =2S + )+ o. 当n一1时,“ 一s 一一 一 , 2(一 11 “1一一 ’ S1+S2+…+S1。0一Sl+S3+…+S99 ( + 一 +…+ 1)一百1( 一1)当”一2时,s2一a2一 1n q-a 2一az-- 1由上述推导过程可得出更一般结论: 不能求出a z。 S1+S2十…+S 2 ===S1+S 3 4-…十S2^1一 当”==:3时,s。===--a3-- 1( + +…+刍)一÷( 一1)(kEN ). 数列{n }的通项公式为: n +n +n。=--a 3一 1很多同学认为不能先求出a ,也就求不出 n。.因此在高考时,相当多的同学放弃了该题, 也导致该题得分率相当低. 事实上,由题设条件S 一(一1) n ~ 可 f一去( 一2k一1,kEN*), 1 c一 … . ,72E N 且 ≥2, 若题设条件s 一(一1) n 一 1,”∈N 改 为:sl—O,s 一(一1) l口 一 1同样可以推出很漂亮的结论: 知S 与a 的递推关系,要求n ,一般利用n === {霎 ~s一 : :消去s ,从而求出n . 解 ·.。又s 一一 l一,s 一 一o(k ̄-N ), ① s3一--6/3一 1 Sl+S 2+S 3+…-t-S2 一S2+S4+…+S 2 s 一a4一 1 ② 6(刍一1)(k E N-). 数列{。 }的通项公式为: r0 1②一①得¥4--s。一“ +a 3-- 1十 1(n一1), .Ⅱ 一n +a3-- 1十 1n ::: -_(n:2k--l,k∈N 且是>1), 1 。s一一 ‘ 一 l_ ( ===2 ,kEN (下转第5页) 又’.‘s 一(一1)na n-- 1黪 网址:ZXSS.ct)pt.cnki.net ● 6 ● 电子邮箱:zxss@chinajourna1.net.cn 中学生数学·2014年2月上·第483期(高中) 是(2一√3) 一7—4√3. 题型五、若已知点( 。 )在圆上,求形如ax +扫 +c(口、b、c为常数,且a +b ≠0)的最值 3 或 一3厄故填3 ;一3 . 题型六、若已知点( ,Y)在圆上,求形如 (n、b、c、d为常数,且口≠0,c≠0)的最值 此种题型可转化为求过两点(z,Y)和 学 多 此种题型可以转化为动直线截距的最值 问题;也可转化为已知圆与直线nz+by+C—t 基 础 知 留 t 有公共点的问题,进而利用数形结合法即可; 还可借助圆的参数方程,转化为有关三角函数 表达式求最值问题. 例5 若实数z, 满足z。+ +8x一6y (一 ,一旦)的直线斜率问题,进而利用数形 结合法即可获解. 例6 已知实数z,Y满足方程 + 。一 +16—0,则 + +1的最大值为小值为 . 最 4z+1一o,求 的最大值与最小值. 解析原方程可化为( 一2) +Y 一3,表 解析1 令z+ +1一t,则依题设圆C:(z +4) +( 一3) 一9与直线l: + +1一t一0 示以(2,o)为圆心, 为半径的圆. 的几何意 有公共点,作图即知,应使上二 ≤r 义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 === 志,即 一是z.当直线y:kx与圆相切时,斜率尼 取得最大值或最小值,此时 一3 一3√_< ≤3 (当z为切线时取等号). 故填3√2;一3√2. 解析2 因为z,Y满足C:(z+4) +( 一 一 ,解得志 3) 一9,所以可设4+3c o ± 所以 的最大值为 ;最小值为一 题型七、通过构造圆。转化为与圆有关的 3十3SInO I Iv一一 十J (0为参 数).所以z+ +1—3cos0+3sin0=3,/gsin(0 +了7l")最值问题。进而利用数形结合法求解 例7 已知 + +1—0,则 所以 + +1的最大值、最小值分别为 .  ̄/( 一1) +(y--1)。的最小值为解析3 ;一3  ̄/(x-1) +(y--1) ===r,则由题 解析3令z+Y+1===t,则Y一一 +t一 设知,直线Z: + +1===0与圆(z一1) +(Y一 1) 一rz有公共点.于是 ≤r r≥ 1, 一1可看作直线 一一z+t一1的纵截距, 当直线与圆C:(z+4) +( 一3) 一9相切时, 纵截距取得最大值与最小值,即得出t取得最 大值与最小值,此时L -3 一 (当z为切线时取等号)。故填; . (责审 余炯沛) 考填空题着重考基础、考思维,注重对通性通 法的考查,因此,同学们在今后的学习中,应淡 寸(上接第6页) 若进一步将题设条件s ===(一1)na n-- 1,n ∈N 改为:S 一(一1) 口 一(2n一1),n∈N ,同 样可以推出很美的结论,同学们有兴趣不妨试 化特殊技巧,重视课本上的通性通法,研究每 章节的典型习题,注重“源”与“本”的关系, 多思考、多总结,达到事半功倍的效果. 试. ◇ (责审 余炯沛) 从上述解答和推广过程我们可以看出,高 ◇ ● 网址:。 。. t. ki. t·· 5·· 电子 箱: 。@ hi 。 -. 。t.。n