高中数学新教材必修5第一章学案

§1.2 应用举例（二）

一、学习目标与要求：

1. 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题； 例1：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶， 到 A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15 的方向

oo

上，行驶5km后到达B 处，测得此山顶在东偏南 25 的方向上，仰角为 8 ，求此山的高度CD. 问题 1：欲求出 CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

问题 2：在△BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD，根据条件，易计算出哪条边的长？

o

2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 二、自主学习过程： 1. 复习：（1）在△ABC中，

cosAb5cosBa3，则△ABC的形状是怎样？

（2）在△ABC 中，a、b、c 分别为∠ A、∠ B、∠ C 的对边，若 a:b: c =1:1:3，求 A:B:C的值 三、知识探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ； 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角. 探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析：选择基线 HG，使H、G、B 三点共线，要求 AB，先求 AE

在△ACE 中，可测得角_________，关键求AC在△ACD中，可测得角_________，线段________， 又有a,故可求得AC

解题过程：

四、例题分析：

1

例 2. 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行67.5 n mile后到达海岛B， 然后从B出发，沿北偏东32 的方向航行.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1 ，距离精确到 0.01n mile)

分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC，然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和 AB 边的夹角∠CAB.

变式1：某人在山顶观察到地面上有相距 2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得

目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.

变式2：甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时1031km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南 60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察 C 点的方向角.

五、实践与应用：

1、从 A 处望 B 处的仰角为a ，从B处望A处的俯角为b ，则a ，b 的关系为 （ ）.

2

必修五第一章导学案 新安一高数学组

A．a>b B．a=b C．a +b=90 D．a +b=180 2、已知两线段a= 2， b =22，若以a、b为边作三角形，则边a所对的角A的取值范围是 （ ）. A． B． C． D． oo

3、D、C、B在地面同一直线上，DC=100 米，从D、C 两地测得 A的仰角分别为30o 和45o， 则A点离地

面的高AB等于（ ）米．

A．100 B．503 C．50(31) D．50(31)

4、台风中心从A地以20km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为 （ ）.

A. 0.5 h B. 1 h C. 1.5 h D. 2 h

5、一船向正北航行， 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上， 继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时 （ ）. A. 5海里 B. 5 3海里 C. 10海里 D. 10 3海里

6、甲船在岛B 的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是 （ ）. A. 150分钟 B.15分钟 C. 21.5分钟 D. 2.15分钟

777、在地面上C 点， 测得一塔塔顶A和塔基B 的仰角分别是60o和30o，已知塔基B 高出地面20m，则塔身AB 的高为_________m．

8、树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为_______ . 9、甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高

分别是_______、_______.

10、某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的 C处，且该渔船沿北偏西 15°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是_______

11、如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30o，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75o，求山顶的海拔高度.

3

12、一艘轮船从海岛A出发，沿南偏东75o航行 120海里到达海岛B，然后从海岛B出发， 沿南偏东27o 航行58海里到达海岛C，问海岛C与A的距离是多少？海岛C相对于海岛A在什么方位？

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§1.2 应用举例（三）

一、学习目标与要求：

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题； 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用； 3. 能证明三角形中的简单的恒等式． 二、自主学习过程： 1. 复习：在△ABC 中

（1）若 a=1,b=3,B=120o

，则 A等于________．

（2）若 a =33，b= 2，C= 150o

，则c等于_____，高BD=_______，SABC=_______。

三、知识探究

新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半． 三角形面积公式：S12absinC=____________=____________。 四、例题分析：

例 1. 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到 0.1cm2

）：

（1）已知 a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5o

； （2）已知 B=62.7o

，C=65.8o

，b=3.16cm；

（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．

例 2.在△ABC 中，求证：

（1） a2b2sin2Asin2Bc2sin2C （2） a2

+ b2

+c2

=2（bccosA+cacosB+abcosC）

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变式1：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？ （精确到0.1cm2

）

变式2：在△ABC 中，求证： c(acosB- bcosA) = a2

–b2

．

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五、实践与应用：

1．某市在 “旧城改造”中计划将一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，12．已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinCsinAsinB . （1）cosAcosB则购买这种草皮至少要 （ ）.

A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元

2．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）. A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

3．一个三角形两边为3、5，其夹角余弦值是方程5x2

－7x－6 0=0的根，则此三角形面积为 （ A. 6 B. 12 C.15 D. 30

4．三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为 ，这个三角形的面积为314，那么这两边分别为（ A. 3， 5 B. 4， 6 C. 6， 8 D. 55， 7

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为（ ）.

A. sin2

A＝sin2

B＋sin2

C＋2sinBsinCcos(B＋C) B. sin2

B＝sin2

A＋sin2

C＋2sinAsinCcos(A＋C) C. sin2

C＝sin2

A＋sin2

B-2sinAsinBcosC D. sin2

(A＋B)＝sin2

A＋sin2

B-2sinBsinCcos(A＋B) 6. 在△ABC中，∠A= 60O

， AC= 16 ，面积为2203，那么BC的长度为（ ）.

A．25 B．51 C．493 D．49

7．在△ABC 中，AB=4 ，∠B=60O

，△ABC的面积为3，则BC= ______.

8. △ABC三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是________ . 9．在△ABC中，BC= 10, ∠B= 60O

,∠C= 45O

， 则点A到BC的距离是__________ . 10.在△ABC 中，a = 32，b = 23 ，cos C=

13，则SABC = _______. 11.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，AD=4，∠BAD=120O

. （1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积.

7 求证△ABC为直角三角形；

（2）设三边a，b，c满足2b=a+c，且SABC=6cm ，求△ABC三边的长. ）. ）.

13.已知△ABC的周长为2+1，且sinA+sinB=2sinC,.(1) 求边AB的长； （2）设△ABC的面积为16sinC，求∠C的度数。

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第一章 解三角形 复习 ② 高度问题：

一、内容与要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题． 二、知识梳理：本章包括以下内容，请完成 ③ 角度问题：

正弦定理和余弦定理

（1） 正弦定理内容：

① 知两角及一边解三角形；

②知两边及其中一边所对的角解三角形．

（2） 余弦定理内容：

① 知三边求三角；

②知道两边及这两边的夹角解三角形．

（3）讨论解的情况

①∠A为锐角

②∠A为直角或者钝角

复习 2：应用举例

① 距离问题：

9 ④ 计算问题：

三：例题分析：

例1. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c. 若a= 4，b= 5，S=53，求c的长度.

例 2. 在△ABC中，A1200,cb,a21,SABC3，求b,c

例 3. 在△ABC 中tan(A+ B)= 1 ，且最长边为1， tanA> tan B， tan B=12 ，求角 C 的大小及△

ABC最短边的长．

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例 4. 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救． 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o ，相距10海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B处救援 （角度精确到1o）

例7. 在△ABC 中， a,b, c 分别为角 A、B、C 的对边，a2c2b28bc，a=3， △ABC 的面积

5为 6，（1）求角A 的正弦值；（2）求边 b、c.

01 例 8. 在△ABC中，若AB120，则求证：

bcac

ab

例 5. 在△ABC 中，设tanA2cb, 求 A 的值．

tanBb

例 6. 已知A、B 、C 为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b 、c ，若 cosBcosC- sinBsin C=（1）求A；

（2）若 a=23,b+ c= 4，求△ABC 的面积．

例9. 在△ABC中，若acos2CA3bccos2，则求证：ac2b 2221 2

例10.如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井 P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B点，测得油井 P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶 80 min 到达 C 点，求 P、C 间的距离．

11 12

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单元练习： （一）选择题：

1. 已知△ABC 中，A B＝6， ∠A＝30°， ∠B＝120o，则△ABC的面积为（ ）. A．9 B．18 C．9 D．183 2.在△ABC 中， 若 c2 = a2 + b2 + ab， 则∠C= （ ）.

A． 60° B． 90° C．150° D．120°

3．已知三角形的三边长分别为a、b、a2abb2，则三角形的最大内角是（ ）. A. 135o B. 120o C. 60o D. 90o 4 在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（ ）

A 1:2: 3 B 3:2: 1 C 1:3: 2 D 2:3: 1

5．在△ABC 中，化简 bcosC+ ccos B= （ ）.

A.a B. bc2 C. ac2 D. ab2

6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 、60 ，则塔高为（ ）. A. 400400320020033m B. 3m C. 3m D. 3 m

7. 在D ABC 中，a= 80 ， b= 100，A=30°，则 B的解的个数是（ ）.

A．0 个 B．1 个 C．2个 D．不确定的

8 在△ABC中，若A2B，则a等于（ ）

A 2bsinA B 2bcosA C 2bsinB D 2bcosB 9 在△ABC中，若a7,b8,cosC1314，则最大角的余弦是（ ）

A 15 B 1116 C 7 D 8

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， A=60o ,a=3, b=1，则c= （ ）.

A. 1 B. 2 C. 3—1 D. 3 11． 三角形的两边分别为 5和3，它们夹角的余弦是方程 5x 2- 7x- 6= 0 的根，则另一边长为 （ ）. A. 52 B. 16 C. 4 D. 213

13 12. 在△ABC 中， 若2cosBsinA= sin C， 则△ABC一定是（ ）三角形．

A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角 （二）填空题：

13.有一长为 2 公里的斜坡，它的倾斜角为 30°，现要将倾斜角改为 45°，且高度不变. 则斜坡长变为_______．

14．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝_______. 15. 在△ABC中， a =32， b =23， cos C=

13，则 S△A BC = _______ 16. 在△ ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C的对边，若 a2 = b2 + c2 - 2bcsin A，则 A=___ ____. （三）解答题：

17. 已知在△ABC 中， B=30o ，b=6，c=6 3，求 a 及△ABC 的面积 S．

18. 在△ ABC 中，sinA+ sinB= sinC(cosA+ cosB) ，试判断△ABC的形状

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19. 在△ABC中，cosA513，cosB35．（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）设BC5，求△ABC的面积．

20. 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A

用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的 半径OA的长（精确到1米）． C

A

1200 D O

15 21. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知b2c2a23bc，求：（Ⅰ）A的大小; （Ⅱ）2sinBcosCsin(BC)的值.

22. 隔河可看到目标A,B但不能到达在岸边相距3公里的C,D两点，并测得ACD=75o，

BCD=45o，ADC=30o，ADB=45o,求两目标A,B之间的距离。 B A C D 16