湖北省宜昌一中、枝江一中、当阳一中高三二月联考(数学理)

宜昌一中、枝江一中、当阳一中 三校联合体08年高三理科数学测试题

注意事项：

1． 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填在试卷的答题卡上。

2． 选择题务必用2B铅笔填涂，解答题必须使用黑色墨水的签字笔作答；字迹工整，笔迹清晰。 3． 请在答题区域内作答，超出答题区域黑色边框的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． 1．已知z1i，则

A．2．lim

431z1z2等于（ ）

4535i C．i D．i

55x32i B．

x3A．

x913=（ ）

B．0 13 C．

16 D．16

3．若sin(232)，则cos2的值为 （ ）

112 A．

3331x4．已知向量a(x1, 1)，b(1, x)，则|ab|的最小值是（ ）

B． C． D．

A．1 B．2 C．3 D．2

5．已知数列an为等差数列，且a1a7a134，则tan(a2a12)（ ）

33 A．3 B．3 C．3 D．

6．已知p：A{x||xa|4}，q:B{x|(x2)(3x)0},若p是q的充分条件，则a的取值范

围为（ ）

A． 1a6 B．1a6 C．a1或a6 D．a1或a6 7．关于直线m，n与平面，，有以下四个命题：

①若m//,n//且//，则m//n； ②若m,n且，则mn；

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NO.01

③若m,n//且//，则mn；④若m//,n且，则m//n． 其中真命题的序号是 （ ）

4π3 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 8．把函数ycos(x（ ） A．

5π6)的图象沿x轴平移||个单位，所得图象关于原点对称，则|| 的最小值是

B．

2π6 C．

2π3 D．

4π3

9．过双曲线M:xy22b于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是（ ）

1b0的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交

A.10 B.5 C.103 D.

52

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(1,1),C(0,1)，映 射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系

uO'v上的点P'(2xy,xy)，则当点P沿着折线ABC运

22yCBOAv2动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（ ）

v1O'-12u1O'2uv1O'2uvx-1-1-1O'1u A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置11．cos55512．设中心在原点的双曲线与椭圆

x222

y=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的

方程是

13．如图，目标函数zkxy的可行域为四边形OABC（含边界），

A(1,0)、C(0,1)，若B(32,)为目标函数取最大值的最优解，则 43k的取值范围是

14．把正方形ABCD沿对角线AC折起，构成以A、B C、D四点为顶点的三棱锥，当点D到平面ABC的距

离最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为

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NO.01

ex2,x015．关于函数f(x)（a为常数，且a0）对于下列命题：①函数f(x)的最小值为-1；

2ax1,x0②函数f(x)在每一点处都连续；③函数f(x)在R上存在反函数；④函数f(x)在x0处可导；⑤对任意的实数x10,x20且x1x2，恒有f(x1x22)f(x1)f(x2)2

其中正确命题的序号是___________________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．（本题满分12分）已知向量a(2cosx,tan(x)), b(2sin(x),tan(x)), 已知角

((2,2))的终边上一点P(t,t)(t0)，记f(x)ab。

⑴求函数fx的最大值，最小正周期；

⑵作出函数fx在区间[0，π]上的图象。

17．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D；

（2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；

 （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.

4

18．（本小题满分12分）随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140

＜2a＜420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公．．．．

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NO.01

司正常运转所需人数不得小于现有职员的

34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

19．（本题满分12分）已知数列{an}的首项a11，a23，前n项和为Sn，且Sn1、Sn、Sn1分别是直2a1l线上的点A、B、C的横坐标，点B分AC所成的比为n，设b11

anbn1log2(an1)bn。

⑴ 判断数列{an1}是否为等比数列，并证明你的结论；

bn11⑵ 设cn

4n1nanan1，证明：Ck1。

k120．（本题满分13分）已知半圆x2y24(y0)，动圆M与此半圆相切且与x轴相切。 （1）求动圆圆心M的轨迹方程。 （2）是否存在斜率为

13的直线l，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且

满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由。

21．（本题满分14分）对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点。

bxc（1）试求函数f(x)的单调区间；

xa2如果函数f(x)(b,cN*)有且仅有两个不动点0、2，且f(2)12。

（2）已知各项不为零的数列an满足4Snf(1an1an)1，求证：1an1lnn1n1an；

（3）设bn

，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20081ln2008T2007。

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NO.01

宜昌市三校联合体2008届高三二月统考

数学（理科）试题 参考答案 1——10 BDCBA BDBAA 11．

64248 12．2x22y21 13． 14．45 15．①②⑤ ,932,2))的终边上一点P(t,t)(t0)

16．解：⑴角((tan14 ……………2分

f(x)ab22cosxsin(x)tan(x)(x)

444sixn2cxos2s 2cox1xsin2xcos2x2s……………in(2) 6分

4fx的最大值为2， 最小正周期T ……………8分

⑵略。……………12分

17．（1）证明：连AD1，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD1为D1E在平面AD1的射影， 而AD=AA1=1，则四边形ADD1A1是正方形A1DAD1， 由三垂线定理得D1E⊥A1D ……………3分

（2）解：以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴建立如图所示的直角坐标系。则A(1,0,0)

E(1,1,0)、B(1,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,1)则AE(0,1,0)，EC(1,1,0)，

D1C(0,2,1)，设平面D1EC的法向量为n1(x,y,z)

xy0n1EC0x:y:z1:1:2，记n1(1,1,2) 2yz0n1D1C0|AEn1|16点A到面ECD1的距离d……………7分

6|n1|6（3）解：设E(1,y0,0)则EC(1,2y0,0)，设平面D1EC的法向量为n1(x,y,z)

xy(2y0)0n1EC0x:y:z(2y0):1:2，记n1((2y0),1,2) 2yz0n1D1C0第 5 页 共 9 页

NO.01

而平面ECD的法向量n2(0,0,1)，则二面角D1—EC—D的平面角n1,n2

4nn2cos1|n1||n2|2(2y0)12122222y023。

当AE=23时，二面角D1—EC—D的大小为

4。……………12分

18．解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则

y(2ax)(b0.01bx)0.4bxb100[x2(a70)x]2ab……………4分

2依题意 2ax342a0xa2a2.又1402a420,70a210.……………6分

（1）当0a70 （2）当a70a2,即70a140时,xa70,y取到最大值；……………8分

a2,y取到最大值；……………10分

a2人……………12分

,即140a210时,x答：当70a140时,裁员a70人，140a210时,裁员Sn1SnSnSn12an1an19．⑴由题意得an12an1……………3分

an112(an1)

n数列{a1}是以a112为首项，以2为公比的等比数列。………………6分

nn*[则an12an21（nN）]

n⑵由an21及bn1log2(an1)bn得bn1bnn

bn1n(n1)2，……………………………………………………………8分 2nn1bn11则cn

4n1anan1(21)(2n1)121n12n11……………………10分

11111111Ck212212334nn1121212121212k1112n1n

11………………12分

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NO.01

20．（1）设动圆圆心M(x,y)，作MN⊥x轴于点N ①若两圆外切： |MO||MN|2，则

222222xyy2 化简得：

xyy4y4 x4(y1) (y0)……………3分

②若两圆内切： |MO|2|MN|，则

2xy2y xy44yy

22222 x4(y1) (y0)……………5分

综上，动圆圆心的轨迹方程是

x4(y1) (y0)及x4(y1) (y0)……………6分

22其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分，如图所示。 （2）假设直线l存在，可设l的方程为y13xb。

依题意得，它与曲线x24(y1)交于点A,D，与曲线x24(y1)交于点B,C。 即

2y3xb

1y3xb

1x4(y1)

2x4(y1)

223x4x12b120 ① 3x4x12b120 ② |AD|1(1)32|xAxD|， |BC|1(1)32|xBxC|

|AD|2|BC| |xAxD|=2|xBxC|

4即(3)2+

43(12b12)=4[(4)32－

43(12b12) 得b3……………11分

1032将其代入方程①得 xA2 xD2

因为曲线x4(y1)的横坐标范围为(,2)(2,)，所以这样的直线l不存在。 ……………13分 21．（1）设

xabxc2x(1b)xcxa0(b1)

2c20a02x1b  ∴ c ∴f(x)cab120(1)xc221b 由f(2)1c3

1c2 又∵b,cN* ∴c2,b2

第 7 页 共 9 页

21NO.01

∴f(x)x22(x1)(x1) …… 3分

2 于是f(x)2x2(x1)x224(x1)2(x1) 由f(x)0得x0或x2； 由f(x)0得0x1或1x2

x2x22

故函数f(x)的单调递增区间为(,0)和(2,)，

单调减区间为(0,1)和(1,2) ……4分

（2）由已知可得2Snanan2， 当n2时，2Sn1an1an12 两式相减得(anan1)(anan11)0

∴anan1或anan11

当n1时，2a1a1a12a11，若anan1，则a21这与an1矛盾 ∴anan11 ∴ann ……6分 于是，待证不等式即为

1n1ln1x1n1nln1nx1x1。

1x,x0

为此，我们考虑证明不等式令11xt11再令g(t)t1lnt，g(t)1 由t(1,)知g(t)0

t∴当t(1,)时，g(t)单调递增 ∴g(t)g(1)0 于是t1lnt

t,x0,则t1，x

即

1xlnx1x,x0 ① 1t1t1t2令h(t)lnt1，h(t)t1t2 由t(1,)知h(t)0

1t∴当t(1,)时，h(t)单调递增 ∴h(t)h(1)0 于是lnt1 即lnx1x1x11,x0 ② lnx1x1n1x,x0 ……10分

由①、②可知

1n1x1所以，lnn1n1n，即1121an13lnn1n1n1an ……11分

（3）由（2）可知bn 则Tn1

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NO.01

在

121n113lnn1n11n中令n1,2,3,,2007，并将各式相加得

2ln132ln2008120071123

12007ln2008 即T20081ln2008T2007 ……14分

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