例谈与“整数”有关的两类常考题型

不等式可化为ｚ。＋　析１＞一ｋ（Ｉｚ一１）．如　右图所示，作抛物线弧ＡＢ：　＞２　／　壤　簸磅枣蒸　—ｚ　＋１（ｏ≤ｚ≤１），作过　（１，０）且斜率为一是的直线ｌ：　＼　Ｄ　一一ｋ（ｚ一１），则只需求使　／　龚　Ａ　Ｂ、位于直线ｌ上方的ｋ的取值范围即可．这由直线ｌ　的斜率－－ｋ￣ｋｃＡ一一１即知，所以愚＜１．　◇　山东　蒋翠荣　５利用导数求最值解决恒成立问题　一．　纵览２０１１年全国各地高考数学试卷，其中许多　例５（２０１０年辽宁卷）已知函数厂（ｚ）一（口＋　试题设计新颖、构思巧妙、令人赏心悦目，体现了在知　１）ｉｎ　ｚ＋ｎｚ　＋１．　识的交汇处命题的原则和以能力立意的指导思想，凸　（１）讨论函数厂（ｚ）的单调性；　显了选拔功能，这其中要数整数问题最为显眼，在好　（２）设口＜一１．如果对任意Ｘ　，　。∈（０，＋ＣｘＤ），　多个省市高考试卷中不约而同地闪亮登场，值得仔细　Ｉｆ（ｘ　）－－ｆ（ｘ　）ｌ≥４ｌ　一　ｌ，求ａ的取值范围．　回味．　Ｑ　（辑析　１）厂（ｚ）的定义域为（０，＋。。）．　１整点问题与直线方程交汇　厂，（　）一　＋２ｎｚ一　堡　：±堡±　．　≮　例１崩　—　（２０１１年安徽卷）在平面直角坐标系中，如　当ａ≥Ｏ时，ｆ　（ｚ）＞０，故，（ｚ）在（Ｏ，＋。。）单调　果ｚ与Ｙ都是整数，就称点（－ｚ，　）为整点，下列命题中　递增；　正确的是　（写出所有正确命题的编号）．　当口≤一１时，ｆ　（ｚ）＜Ｏ，故厂（ｚ）在（０，＋。。）单　①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过　调递减；　任何整点；　当一１＜口＜ｏ时，令厂（ｚ）一ｏ，解得ｚ＝／ａ￣１．　②如果ｋ与ｂ都是无理数，则直线Ｙ一是　＋ｂ不　经过任何整点；　则当ｚ∈（０，√一　）时，ｆ　（．ｚ）＞０；　③直线ｚ经过无穷多个整点，当且仅当ｚ经过两　个不同的整点；　当ｚ∈（／ａ￣ｌ，＋Ｃ×３）时，　（ｚ）＜ｏ．　④直线　一　ｚ＋ｂ经过无穷多个整点的充分必　要条件是：ｋ与ｂ都是有理数；　故ｆ（ｚ）在（ｏ，√一　）内单调递增，在　⑤存在恰经过一个整点的直线．　若直线　—ｋｘ＋ｂ不与坐标轴平行，只需是≠　（￣／ａ＋ｌ，＋∞）内单调递减．　析０，若不经过任何整点，这样的直线很多，如　（２）不妨假设　≥　，而口＜一１，由（１）知在（０，　ｙ＝ｘ＋÷，故式①正确；直线　一Ｙ。＝＝：ｋ（　—ｚ。）经过　＋。。）单调递减，从而任意ｚ　，ｚ　∈（０，＋。。），ｌ　ｆ（ｘ　）一　点（ｚ。，ｙ。），该点是整点，而ｋ可以是任何无理数，ｂ也　ｆ（ｘ２）ｌ≥４　　ｌｚ１一　２　ｌ等价于任意ｚ１，ｚ２∈（Ｏ，＋。。），　可以是无理数，所以式②错误；若直线Ｙ—ｋｘ＋ｂ过两　ｆ（ｘ２）￣４ｘ２≥ｆ（ｘ　）￣４ｘ１．　①　令ｇ（ｚ）＝：＝－厂（１ｚ）￣４ｘ，贝０　个整点（　，　），（ｚ　，　。），则｛　ｌｙ２＝＝一　＿？：ｌｅｘ２十Ｄ’’　即　ｇ／（ｚ）：＝＝　＋２口ｌｚ＋４．　ｉｆ　ｖ　一ｋｘ　＋ｂ．　两式相减得　式①等价于ｇ（　）在（０，＋。。）内单调递减，即　一２　ｚ，　２６，（２ｙ２一Ｙ１）一ｋ（２ｘ２一　１）＋ｂ，　＋２口　＋４≤０．从而　则整点（２ｘ２ｍｘ　，２　。一　）也在直线ｙ—ｋｘ＋ｂ上，就　。　＜二　兰二　一！鬲一——　墨　二　！二垒广　！二　一！一　鬲　二　：一９一ｚ　是说只要事先找到两个整点，便可以找到第三个整　点，以此类推可以得到直线ｚ经过无穷多个整点，所以　故ｎ的取值范围为（一。。，一２］．　③正确；ｋ与ｂ都是有理数，直线Ｙ—ｋｘ＋ｂ不一定经　（作者单位：广东省深圳市第二实验学校）　过整点，故④错误；直线Ｙ—ｋｘ可以恰过一个整点　顶天立地奇男子，要把乾坤扭转来　化　（０，０），⑤正确，故正确的命题是①③⑤．　由列举法来完成，这也是方程的整数解问题常见的解　题策略．　，　点　本题以整点问题为背景，考查直线的各种方　评　程、充要条件以及命题的真假，综合性强、背　０　例４（２０１１年江苏卷）设整数ｎ≥４，＿Ｐ（口，６）是　平面直角坐标系ｘＯｙ中的点，其中ａ，６∈｛１，２，３，…，　｝，口＞ｂ．　景新、思维层次高．　辨　ｖ－　例２　（２ｏ１１年北京卷）设Ａ（００），Ｂ（４，０），　，Ｃ（ｔ＋４，４），Ｄ（ｔ，４）（ｔＥ　Ｒ），记Ｎ（ｔ）为平行四边形　（１）记Ａ　为满足以一６—３的点Ｐ的个数，求ＡｌＪ；　ＡＢＣＤ内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是　指横、纵坐标都是整数的点，则函数Ｎ（　）的值域为　（　）．　（２）记Ｂ　为满足÷（ｎ－－ｂ）是整数的点Ｐ的个数，　Ａ　｛９，１０，１１）；　Ｃ｛９，ｌ１，１２｝；ＢＤ｛９，１０，１２｝；　｛１Ｏ，１ｌ，１２｝　一（１）根据网格（如图　４）可以看出，直线　６—３至少经过网格交点　（３，０），（４，１），（５，２），…（　，　一６　析Ｙ　如图ｌ～３．在　一０，ｔ一２，￡一１时分别对应整　点的个数为９，１１，１２，答案为Ｃ．　３），所以Ａ　一ｎ－－３；　／　／　／　３　＂　ｌ　ｌ　ｌ　ｃ（ｔ，４）　ｌ　ｌ　ｌ　１　ｌ　—十４．　｝）　—　＿＿　（２）设　（ｎ一６）一ｋ，其　图４　１１　Ｈ　Ａ（０，０）　Ｂ（４，ｏ）　图１　中ｋ为正整数，即６一ａ一３ｋ．　”　新　霉　Ａ（０，０）　Ｂ（４，０）　图２　一由（１）得满足ａ一６—３ｋ的点Ｐ的个数／，　（走）一　３ｋ，其中１≤忌≤　．　设ｎ一１—３ｍ　４－ｒ，其中　∈Ｎ＋，ｒ∈｛０，１，２　．则　是≤　，所以　∑厂　（　）一∑（　一３ｋ）一　１　＝＝ｌ　（ｎ一１）（　一２）　ｒ（ｒ一１）　（Ｏ，０）　Ｂ（４，０）　图３　当ｒ一０，１，即　一３ｍ４－１或３ｍ４－２时，　是）一　；　妻　耋　妻　摹　麦塞　警　并未从这个角度入手，而是转向研究直线方程与函数　值域问题，立意新，构思巧妙．　２方程的整数解问题　■　，　当ｒ＝２，即ｎ一３ｍ４－３时，　砉　ｆｌ　二　一詈一　，　，＇　，‘　不是３的倍数，ｌ’肥　ｕ　１日姒，　例３（２０１１年陕西卷）设　ＥＮ＋，一元二次方　程ｚ。一４ｘ＋　一０有整数根的充要条件是　一　析　一　２　—２±　，　删　＿］　Ｉ——　一＇，　是　的削　１首姒．　彭毒翌　的项数尼满足１≤走≤　分段表示．　．　３　盏　，再将它们分类累加起来并　个整点三等分线段；（２）则是借助（１）的结论，得到数　因为ｚ是整数，即２±￣／４一　为整数，所以￣／４一　为整数，且，ｚ≤４．　又因为　ＥＮ＋，取　一１，２，３，４验证可知ｎ一３，４　列　（是）一”一３ｋ，也可以记为ｎ　—　一３ｋ，这个数列　时符合题意；反之，当　一３，４时，可推出一元二次方　程ｚ。一４ｘ＋　一０有整数根．答案：３或４．　（作者单位：山东省滕州１市第一中学）　森４摊－ｎ　言　生无一锥土，常有四海心　化