高二数学解三角形试题答案及解析

1. 在△ABC中，sin Asin C>cos Acos C，则△ABC一定是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【答案】D

【解析】由sin Asin C>cos Acos C，可得cos (A＋C)<0，∴cos B>0.但A、C不能判断． 2. 的内角的对边分别为，若，则=______. 【答案】

【解析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入a2−b2＝bc中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值． 【考点】解三角形. 3. 若A．

的内角

满足B．

，则

C．

（ ）

D．

【答案】D

【解析】根据正弦定理可将等式

，在，故选D.

【考点】1.正弦定理；2.余弦定理. 4. 在中，角所对的边分别为，且，（1）求的值； （2）若，，求三角形ABC的面积. 【答案】（1）

；（2）

.

内，由余弦定理

转化为

，不妨设可得

，则，解出

.

【解析】（1）先用正弦定理将条件中的所有边换成角得到

，然后再利用两角和的正弦公式、三角形的内角和定理进行化简

可得的值；（2）利用（1）中求得的结果，结合及余弦定理

，可计算出的值，然后由（1）中的值，利用同

角三角函数的基本关系式求出，最后利用三角形的面积计算公式即可算出三角形的面积. 试题解析：（1）由已知及正弦定理可得 2分 由两角和的正弦公式得 4分 由三角形的内角和可得 5分 因为

，所以

6分

(2)由余弦定理得： 9分 由（1）知

10分

所以 12分.

【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.两角和的正弦公式；3.三角形的面积计算公式.

5. 如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的

俯角是，则桥长为 米.

【答案】

于点，则依题意有即

，由

，得

，则有

，

【解析】如下图，设

所以.

【考点】解斜三角形.

6. 在△ABC中，sinA+cosA=【答案】tgA=－2－

，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.

+

)

，SABC= (

【解析】根据题意，由于在△ABC中，sinA+cosA=

，AC=2，AB=3,则可知tanA=－2－

而对于

,。

,

【考点】解三角形

点评：主要是考查了解三角形中余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题。

7. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，面积，则A.

B.

C.

D.

=( )

【答案】C 【解析】因为，

，所以，

，，

故

=

，选C。

，

，

【考点】三角形面积公式，余弦定理的应用，和差倍半的三角函数。 点评：中档题，本题综合性较强，利用三角形面积公式，余弦定理等，建立利用“万能公式”求解。

的方程，进一步

8. 如图，在△

中，M是BC的中点，若,则实数= .

【答案】2

【解析】由于在△ABC中，M是BC的中点，可得

，而

，因此可知

实数=2，故答案为2.

【考点】向量的加减法的法则

点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，中点公式的应用，得到

，是解题的关键

9. 在A．

中，

，那么等于 B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据题意，由于

中，

，因为角B

，则可知等于，选C. 【考点】余弦定理

点评：解决的关键是根据已知的三边通过余弦定理了来解三角形，属于基础题。

10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos （1）求cosB的值； （2）若，b＝2【答案】（1）（2）【解析】解：(1)∵cos ∴cosB＝1－2sin2(2)由

＝

，∴sin

＝

， 2分

，求a和c的值．

＝

．

＝. 5分

，故ac＝6， 6分

可得a·c·cosB＝2，又cosB＝

由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12， 8分 ∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝ 10分 【考点】解三角形

点评：解决的关键是根据诱导公式以及二倍角公式和向量的数量积结合余弦定理来求解，属于中档题。

11. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边长，若，则A等于 . 【答案】 【解析】

，即

，

，所以

，

又，故A等于。

【考点】本题主要考查余弦定理的应用。

点评：典型题，正弦定理、余弦定理的应用，高考题中常常出现，关键是灵活实施边角转化。

12. （本小题满分12分） 在中，角所对的边分别为（I）求角的大小； （II）求【答案】（1）

且满足 的大小．

的最大值，并求取得最大值时角（2）

【解析】（I）由正弦定理得因为

所以

（II）由（I）知于是

取最大值2． 综上所述，

的最大值为2，此时

【考点】三角函数性质和正弦定理的运用

点评：解决的关键是对于已知的表达式结合正弦定理得到角的值，同时能结合三角函数的性质求解值域，属于基础题。

13. (本题满分14分) 已知△(1) 若(2) 若△

的内角, 求的值; 的面积

所对的边分别为

求 , 且. ， .

.

，

, 的值.

且

.

【答案】(1) (2)【解析】(1)∵∴

由正弦定理得∴(2)∵∴

∴ .

由余弦定理得∴

【考点】正余弦定理解三角形

点评：利用正余弦定理可实现三角形中边与角的互化

14. 设函数（1）设

的内角，且为钝角，求

的最小值；

（2）设的长。

是锐角的内角，且求的三个内角的大小和AC边

【答案】（1）【解析】（1）

（2），

………3分 ∵角A为钝角，

取值最小值，其最小值为（2）由

,

…………10分 在△

中，由正弦定理得：

……12分

……………………6分

………………8分

……………………………4分

【考点】三角函数公式及解三角形

点评：解三角形一般都会用到正余弦定理

15. 在中，若___ ______. 【答案】 【解析】

【考点】本小题主要考查利用余弦定理求角，考查学生对公式的灵活应用能力.

点评：正弦定理和余弦定理是两个非常重要的定理，经常考查，要准确掌握，灵活应用.

16. (本小题12分) a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b－c＝2，求a； 【答案】当A＝60°时，a2＝52，a＝2 ，当A＝120°时，a2＝148，a＝2 。

【解析】利用三角形的面积公式列出关于sinA的等式，求出sinA的值，通过解已知条件中关于b，c的方程求出b，c的值，分两种情况，利用余弦定理求出边a的值． 解：由S△ABC＝bcsinA，得12∴ sinA＝

＝×48×sinA

2分

∴ A＝60°或A＝120° 2分 222

a＝b＋c-2bccosA ＝(b-c)2＋2bc(1-cosA)

＝4＋2×48×(1-cosA) 4分 当A＝60°时，a2＝52，a＝2 2分

2

当A＝120°时，a＝148，a＝2 2分

【考点】本题主要考查运用正弦面积公式和余弦定理解三角形问题。

点评：解决该试题的关键是求三角形的题目，一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式列方程解决

17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、b、c。若

，则

A、1 B、2 C、 D、 【答案】B 【解析】由得。整理得【考点】本题考查余弦定理、一元二次方程的解法。 点评：基础题，关键是记准公式，解对方程。

18. （本题满分10分）如图，△ABC中，（1）求的大小；（2）求AD的长。【答案】（1）（2）

【解析】（1）在△故

（5分）。

中由正弦定理，有

（10分）。

（8分），

;

.

中，由余弦定理，有

，解得：。选B。

，点D 在BC边上，∠ADC=45°。

（3分），

（2）在△故

【考点】本题考查综合运用正、余弦定理解三角形。

点评：基本题型，认真审题，在给定条件下，灵活选择正弦定理或余弦定理解题。

19. (本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC．

(Ⅰ)求tanC的值；

(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积 【答案】(Ⅰ)

；(Ⅱ)

。

【解析】(1)因为cosA＝＞0，， 所以sinA＝又＝

cosC＋sinC．

．

cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA

整理得：tanC＝

(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝故

． (1)

对角A运用余弦定理：cosA＝解(1) (2)得：∴

或 b＝

．又由正弦定理知：

． (2)

，

(舍去)． ．

ABC的面积为：S＝

【考点】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、和三角形内的隐含条件。

点评：做三角函数的有关题目时，要注意三角形内隐含条件的应用。常用的三角形内的隐含条件有：①,,；②，，

.

20. 在中，若，则是 （ ）． A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】 由于在

中，若

，化边为角，得到关于

，则根据正弦定理，

故可知是直角三角形。选C.

【考点】本题主要考查了解三角形的简单运用。

点评：解决该试题的关键是灵活运用边角转化，将已知表达式左侧和右侧的边化为角来得到角的关系式，然后结合两角和差公式得到。也可以化角为边，比较麻烦点。

21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为若____. 【答案】

【解析】因为在三角形ABC中，余弦定理,而已知中，则说明-2

=1，

=-，角A

，故可知A=

,答案为

。

【考点】本试题主要考查了余弦定理的运用，解三角形。

点评：解决该试题的关键是能结合已知中三边的平方关系结合余弦定理，分析可知A的值。

22. (本小题满分12分) 在△

中，角A、B、C所对的边分别是

,且=\"2,\"

．

（Ⅰ）b=\"3,\" 求的值. （Ⅱ）若△的面积=3，求b,c的值. 【答案】(I)

= ；(II) b=

。

【解析】（1）根据同角关系和三角形中正弦定理得到sinA的值。 （2）结合正弦面积公式得到c，再利用余弦定理来得到结论。 解： (I)

=

且

=

得

=

= 3所以

=

= …………6分 所以 c =5，由余弦定理得

由正弦定理(II) 因为

所以 b= ………………12分 【考点】本试题主要考查了解三角形的运用。

点评：解决该试题的关键是能够熟练的运用正弦定理和余弦定理公式以及三角形的正弦面积公式来解决三角形。

23. △ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积。 【答案】AC＝

． S△ABC＝×1×3×sin60o＝

．

【解析】本题考查直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用，求出AD的值是解题的关键．∠BAD=150°-60°=90°，可得 AD=\"2sin60°=\" ，余弦定理求出AC，利用直角三角形中的边角关系求出AB，利用AB×BDsin∠B 求出△ABC的面积 24. 在积。

中，角

的对边分别为

，且

，

，

.求

的面

【答案】

【解析】本试题主要是考查了三角形的面积公式的运用。根据余弦定理和正弦面积公式得到。注意解的唯一性的运用。

25. 在中，已知,是边上的一点，，求的长.

【答案】解 在= 在

中，

,

,

，

中，

由余弦定理得

由正弦定理得

AB=【解析】略 26. 在

中，

，

，

.

．

的值 ，解得：，得

，

，

（1）求边长、的值； （2）求【答案】（1）由由

（2）由正弦定理有：

；…………6分

【解析】略

27. 如图所示，巡逻艇在A处测得某走私船在东偏南方向距A处9海里的B处，正向南偏西方向行驶，速度为20海里/小时，如果巡逻艇以航速28海里/小时，则应在什么方向用多少时

间才能追上这艘走私艇？（）

【答案】解：设巡逻艇用小时在C处追上走私船． 依题意，在中，，， ，

由正弦定理得：

又 由

， 所以 ……………6分

，用

分钟就能追上走私船

答：巡逻艇应向东偏南【解析】略 28. 在

中，若

，

【答案】1 【解析】略

，，则= .

29. △ABC中，BC＝7，AB＝3，且【答案】解：(1)由正弦定理得＝

＝

＝

AC＝

＝．

(1)求AC的长； (2)求∠A的大小．

＝5．

(2)由余弦定理得 cos A＝

＝

＝－，所以∠A＝120°．

【解析】略

30. 在△ABC中，若 则 ( ) A B C D 【答案】D

【解析】本题考查余弦定理. 学生只要掌握余弦定理的内容，直接套用公式即可.注意三角形内角的范围. 由余弦定理得：

故选D

点评:强化基础知识，重视数学公式，定理,性质的直接应用.

31. （本小题满分10分）一架飞机从Ａ地飞到Ｂ到，两地相距700km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？（）

A

【答案】解：在根据正弦定理，，

中，km，

，

，

，

（km），

所以路程比原来远了约51.011km．

【解析】略

32. 如图，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南

航行，问有无触礁的危险?

【答案】解:在△ABC中,BC=30,∠B=30°,∠C=135°,所以∠A=15°.．．．．．．．．．．．．．．．2分

由正弦定理知 即 所以

．．．．．．．．．．７分

于是，A到BC边所在直线的距离为：

(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分

由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险.．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【解析】略

33. △中，内角，，对边的边长分别是，且于 _______． 【答案】

，则△的面积等

【解析】略

34. 甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，

若甲船是乙船速度的前进。

倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________（填角度）的方向

【答案】30° 【解析】略

35. 在△ABC中，c＝A．1

，则bcosA＋acosB等于( )

C．2 B．

D．4

【答案】C

【解析】本题考查余弦定理的应用. 根据余弦定理得：

故选C

36. 在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）

000

A．b=\"10,\" A=45, C=60 B．a=\"6,\" c=\"5,\" B=60

00

C．a=\"7,\" b=\"5,\" A=60 D．a=\"14,\" b=\"16,\" A=45

【答案】D 【解析】略

37. 在锐角A．

中，若

，则的范围（ ） B．

C．

D．

【答案】A

【解析】本题考查正弦定理。二倍角公式，三角性质及三角函数的单调性. 因为

，则根据正弦定理得

则

所以

38. 在（ ） A．

故选A 中，已知

，B．

，

，则

C．

的面积等于 又

是锐角三角形内角且

所以

D．

【答案】B

【解析】分析：利用三角形内角和求出B，利用正弦定理求出c，然后利用三角形的面积公式求解即可．

解答：解：因为△ABC中，已知A=30°，C=45°，所以B=180°-30°-45°=105°． 因为a=2，也由正弦定理

=

，C=

=

=

．

所以△ABC的面积， S=acsinB=×4

sin105°

=2(sin45°cos60°+cos45°sin60°)

= 故选B．

39. （本题满分12分）△中，已知内角、、所对的边分别为、、，且

(1) 求角的大小； （2）已知向量【答案】解：（1）在

，中，

，求，即

的取值

………………5分 （2）

………………7分 ……………10分， 故

的取值范围

。………………12分

【解析】略

40. 某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为，② 三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面. （1）若凳面是边长为的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值； （2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为. 确

定三根细钢管的长度.

【答案】解:（1）设△由题意可得，已知凳子高度为

. 则

的重心为，连结.

. 设细钢管上下两段之比为.

. …… 3分

重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行. 所成的角，亦即. …… 6分

.

节点与凳面三角形

就是

与平面

，解得，

即节点分细钢管上下两段的比值约为. （2）设，. 设△的重心为，则， ……8分 由节点分细钢管上下两段之比为，可知. 设过点的细钢管分别为，

则

， ……10分

， 对应于三点的三根细钢管长度分别为，和. 12 （注：本题不用取近似值） 【解析】略

41. 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇． （Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】（本小题共15分）

解：（Ⅰ）解法一：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在处相遇， 在中，，， 又， 所以，轮船航行时间

，

.

即，小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. 解法二：设相遇时小艇航行的距离为海里，则

所以 当

时，

，此时

.

即，小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. （Ⅱ）设小艇与轮船在处相遇，则， 故， 即又故

，解得时，时，

. . . .

此时，在中，有，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 解法二：由（Ⅰ）得

而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设小艇与轮船在处相遇，，

，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为所以从而

，解得

值，且最小值为

，于是

和，

，

当取得最小值，且最小值为.

此时，在中，，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 【解析】略

42. 已知A船在灯塔C北偏东800处，且A船到灯塔C的距离为km，B船在灯塔C北偏东400处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为 。 【答案】 km 【解析】略

43. 在△ABC中，若，，，则B等于（ ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【解析】由正弦定理得

，解得

，又

，则B等

或

。

【考点】正弦定理的应用。

44. 设的内角的对边分别为A．

，且成等比数列，则角的取值范围是（ ） C．

B．

D．

【答案】C 【解析】由由于B是

成等比数列，得

，所以

． 故选C.

，

的内角，所以的取值范围是

【考点】余弦定理. 45. 已知【答案】

的三边长

，

满足

，

，则的取值范围是 。

【解析】由三角形三边之间的关系结合题设条件消去c得到a和b的不等关系式，且 ，从而得到

.

【考点】 不等式的综合应用

46. 如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得

山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为 米．

【答案】1000米 【解析】由图知，

【考点】解三角形和正弦定理

.

47. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若A．

B．

,

,

,则D．

（ ）

C．

【答案】D

【解析】由题意求出cosC，利用余弦定理求出c即可．在△ABC中，a=3，b=2，cosC=

，

【考点】余弦定理．

48. 在中，若，则此三角形形状是_______. 【答案】直角三角形

【解析】∵△ABC中，sin（A+B）=sinC， ∴原等式变形得：sinCsin（A-B）= ，即sin（A-B）=sinC=sin（A+B）， 整理得：sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即2cosAsinB=0， ∴cosA=0或sinB=0（不合题意，舍去）， ∴A=90°，则为直角三角形.

【考点】本题考查正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 点评：解决本题的关键是熟练掌握公式，灵活应用正弦定理

49. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】由

，所以有

可得成立

，不能说明三个内角都是锐角，反之由三角形是锐角三角形可知

【考点】1.向量的数量积；2.充要条件关系

50. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形

，则△ABC是（ ）

D．斜三角形

【答案】C

【解析】由正弦定理，变形可得

，所以C为直角，故三角形为直角三角形，所以选C．

【考点】正弦定理，和角公式，判断三角形的形状．

,即