基于优化方法的数值模式的误差估计

基于优化方法的数值模式的误差估计

方法及实现

由于我们无法求得约束问题的解析解，只能求离散形式的数值解。我们将模式约束问题离散为

minf(,E),c(,E)0, (1)

E1其中f=min|u(x,T)ud(x)|2|E(x,t)|2dxdt.（1）（2）可以表示为

E200无约束优化问题

T1minf((E),E)f(E) (2)

E^解（1）常用方法是通过无约束形式（2），计算泛函(E)和关于扰动量的解。在此过程中，必须建立数值模型伴随模式。在实际问题中由于偏微分方程非常复杂，建立一个伴随方程往往需要耗费巨大的工作量。

为了克服梯度类方法需要模式(1)的伴随模式的缺陷, 我们使用PSwarm算法。 下面我们试验此算法的效果。 热方程通常具有以下形式

u2uE(x,t); （5） tx2 1

我们在此选取齐次的边界条件. 在以下讨论中, 均假设当它的初始条件取为

u0(x)sin2x 0 < x < 1, (6)

外强迫项为

E(x,t)=Acostsin2πx 0 < x < 1,0 < t < 1 (7) 模式(5)是准确模式, 它所对应的数值模式为

u2u 20 0则数值模式的误差实际上就是准确模式的源项E(x,t), 它表示实际存在却未能被模式(8)表示的过程. 下面将分初始条件准确已知和未知两种情形, 在此我们着重讨论初值确定的情形。

初始条件准确已知时，情形假设模式 (6)的初始条件已知.要阐明利用历史数据估计误差项E(x,t) 时空演变过程, 我们首先需要求解有外强迫项(7)的准确模式, 以产生理想“测”数据xiih(i1,L,n),h1/nu|tt1u1(x),L,u|ttKuK(x), 再利用理想“观测”,生成模式误差项所满足的控制问题：（虽然K取任何值时方程都成立，我们在此处只考虑k=1的情形）

11Ka11min|u(x,tk)ud(x)|2dx|E(x,t)|2dxdt （9）

20k1200为了得到历史“观测”确定模式误差项E(x,t)的时空演变值, 我们需要将问题(5)与(9)离散化, 然后利用无导数优化算法求解它.空间变量离散时, 我们选用Galerkin法, 将[0,1]区间n 等分, 记xiih(i1,L,n),h1/n

称为线性有限元基函数

(xxi1)/hx[xi1,xi][0,1]

i(x)= (xi1x)/h x[xi,xi1][0,1]

2

0

因（5）的边界条件齐次，可得

其他

uh(x,t)aj(t)j(x) （10）

j1nn1Eh(x,t)ej(t)j(x) （11）

j0将（10）和（11）式代入初值问题（5）可得 Mdu(t)N(u(t))BE(t)0 0其中

21141Q=(h/6)OOO141R(n1)*(n1) 12141hM=O614O11O41R(n1)*(n1) 141R(n1)*(n1) 141141141hB=OOO6141 3

21121vR(n1)*(n1) A=OOOh14114再将(10)和(11)式代入问题(17)的目标泛函后得

1a1Tmin(u(tk)TMu(tk)gku(tk))E(t)TQE(t)dt （13） E(t)20k12K下面对问题(12)和(13)进行时间变量离散. 划分时间[0,1]为

f(Ek)0t0t1LtmK1 记titi1ti(i0,L,mK1),t1tmK0,

^其中m为取定的正整数. 然后对方程(14)关于时间变量分别做向前向后一阶差分后再平均, 并对(23)式的目标泛函用复化梯形公式求积分, 得

1TamKti1tiTTmin(umKMumkgmKumK)EiQEi （15） E0,...,EmK222k1i0K其中EiEi(ti) 是以下方程的解

(MtitttA)ui1iBEi1(MiA)uiiBEi0 （22） 2222为了叙述方便, 令

TTE(E0,E1T,L,EmK)T

TTu(u1,L,umK)T

我们可选取(n + 1)(mK + 1) 维空间中的2(n+1)(mK +1)个正负坐标轴单位向量作为PSwarm优化算法的搜索方向集合, 即令

V{p1,L,p2(n1)(mK1)}{e1,Le(n1)(mK1),,e1,e2,L,e(n1)(mK1)}, （23）

4

为表明PSwarm算法方法估计模式误差的有效性, 我们需要将E(x,t) 的数值解与精确解(7)式比较，比较结果见下面的图像。

下面的六幅图分别为t=0, t=0.2, t=0.4,t=0.6, t=0.8,t=1.0时刻的情形（其中，蓝线为实际结果， 红线为计算结果）：

t=0时刻

t=0.2时刻

5

t=0.4时刻

t=0.6时刻

t=0.8时刻

6

t=1时刻

7