西安邮电大学数学建模

2012-2013第一学期 《数学建模》选修课试题卷

班级：软件1101班 姓名：武妍娜 学号：04113027 成绩：

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型

答：模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化,压缩，提炼而构成的原

型替代物。如地图，苯分子图。 2．数学模型

答：由数字，字母，或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的

数学结构。具体地说，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个的特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型。如概率的功利化定义。 3．抽象模型

答：抽象模型是为了便于研究而建立的一种高度抽象的理想客体。实际的物体都

是具有多种属性的，例如固体具有一定的形状，体积和内部结 构，具有一定的质量等。但是，当我们针对某种目的，从某种角度对某一物体进行研究时，有许多对研究问题没有直接关系的属性和作用却可以忽略.

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

答：按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形

象模型：直观模型，物理模型，分子结构模型等；抽象模型：思维模型，符号模型，数学模型等。 2．数学建模的基本步骤

1）建模准备：确立建模课题的过程；

2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象，简化。有目的性原则，简明性原

则，真实性原则和全面性原则；

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3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的

数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型；

4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解； 5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，

或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等；

6）模型检验：模型分析符合要求后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，

看它是否符合客观实际；

7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析，研究和解决实际问题，

充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。

3．数学模型的作用

答：数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简，化难为易，便于人们采用

定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展，科学预见，科学预测，科学管理，科学决策，驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度，高速度，高安全，高质量，高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算器的计算，控制来实现的。

三、解答题（满分20分）

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A 题 (9n, 9n+8)

小童父亲要到美国访问，授人之托希望多带点东西。中国民航的《国际旅游须知》中有关“计件免费行李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的行李运输……。经济和旅游折扣票价，免费交运的行李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过62英寸，但两件之和不得超过107英寸，每件的最大重量不得超过32公斤。”试问这两件箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请你到市场上看一看，商店出售的行李箱的尺寸与你的计算结果是否接近？为什么？

解：假设第一个箱子的长、宽、高分别用x1,y1,z1表示，第二个箱子的长、宽、高分别用x2,y2,z2表示。

则，由题目的条件和要求可列出下列的数学模型：

MaxVx1y1z1x2y2z2

x1y1z162x2y2z262max{x1,y1,z1}max{x2,y2,z2}107x10,y10,z10,x20,y20,z20

S.T

由该数学模型并结合计算方法可得到该题的解：

64x1y1z1x2y2z23 时，两个箱子可达到最大体积。 当

通过到市场上调研发现，时下流行的登机拉杆箱尺寸有：20寸拉杆箱长宽高三个长度之和不得大于115cm,长52×宽36×厚24cm；24寸拉杆箱长宽高三个长度之和不得大于135cm，长64×宽41×厚26cm；28寸拉杆箱长度之和不得大于158cm，长76×宽51×厚32cm。可见，市面上出售的行李箱的规格并不是如同上述计算得出的理想规格，这是因为出于实际的考虑，行李箱一般是做成长方体的规格模式。

E 题 (9n+4, 9n)

录像带上有一个四位计数器，一盘180分钟的录像带在开始计数时为0000，

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到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒. 我们从0084观察到0147共用时3分20秒.若录像机目前的计数为1428，问是否还能录完一个60分钟节目？建立数学模型给于回答.

解：设录像带的厚度为d,录像带的速度为v,转动圆盘的半径为r,计数器为n所用

的时间为t，于是

n= —=(-r) 令a=

⊿t=a(1849²-1428²)+b(1849-1428)=3586.96 所以不能录完一个60分钟的节目。

四、综合题（21分）

K. 养鱼问题(7n+1, 7n, 7n+2)

我国为支持农村经济发展, 免费提某种鱼苗用以支持某地区养殖业的发展。设某地区有一池塘，其水面面积100100平方米，根据当地环境测出每平方米养鱼不超过1公斤，每公斤鱼苗大约有500条，鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼自重成正比，360天可长成成鱼，其重量为2公斤，每公斤鱼每天需要饲料0.005公斤,给鱼池内只投放鱼苗，池内鱼的繁殖与死亡均可忽略不计，市场上鱼饲料价格0.2元/公斤,此种鱼的销售价格为： 每条鱼重量（公斤） 每公斤的售价（元） 0.2-0.75 6 0.75-1.5 8 1.5-2 10 0.2 0 请你为一承包户设计一下最优方案. 1. 此承包护承包期为一年；2.此承包护承包期为三年；此承包护承包期为三十年.

论文题目：研究获得三年养鱼利润最优模型

论文摘要

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在我们日常生活中，都有这么些相关的例子。那么这里我们将基于求利润最优化的养鱼规划问题，根据鱼的存活空间有限，以及鱼本身的生长情况，可以假设鱼在长成成鱼后生长非常缓慢，近似为不生长，未成年鱼的生长模型为指数增长模型,得出鱼的增长函数，对于的价格进行预知，将利润的最大化问题着手于研究养鱼周期、捕鱼次数及每次捕鱼的重量，结合鱼的生长模型充分利用池塘空间，在合理假设条件下建立数学模型，并借助MATLAB软件编程计算，通过比较分析各模型的最优解，确定出三年获得较大利润的最优养鱼方案，为养殖户提供有用的参考。

关键词： Matlab 指数增长模型 养鱼周期 捕鱼次数 捕鱼重量

较大利润

一．问题重述

设某地有一池塘，其水面面积约为100×100m2，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 ① 鱼的存活空间为1kg /m2；

② 每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg； ③ 鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼；

④ 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg；

⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略； ⑥若q为鱼重，则此种鱼的售价为：

q0.20元/kg6元/kg0.2q0.75Q

8元/kg0.75q1.510元/kg1.5q2⑦󰀀

该池内只能投放鱼苗。

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二．模型假设

（1）、养鱼者的经营模式为“放鱼苗喂饲料捕捞，销售全部捕捞”周期循环，每个周期只投放一次鱼苗。

（2）、在饲养过程中，不考虑意外灾害，如洪灾、旱灾，台风等等。 （3）、鱼可以一年四季生长，未成年鱼每天生长的重量与鱼的自重成正比。 （4）、鱼的繁殖和死亡均可以忽略。 （5）、捕捞鱼时采取承包不放水的方式。

（6）、每个周期分n次捕捞销售，每相隔两次捕捞时间间隔相同，n>=2；且在捕捞时，部分鱼对其它鱼的生长不造成影响，捕出的鱼能全部按预定价格销售。

三．符号及说明

S：池塘水面面积（平方米）；

u：池塘单位面积鱼的最大存活量重（公斤/平方米）； N：每次放养鱼苗的尾数（万尾）；

r:鱼每天生长的重量与鱼自重成正比的比例系数； y：每条鱼的重量（公斤）； t：鱼的生长天数（天）； p:销售鱼的价格（元/公斤）；

a：每公斤鱼每天要喂的饲料重量（公斤）； b：市场上饲料的价格（元/公斤）； p0：每次捕捞鱼的费用（元/次）； h0：购买鱼苗时的价格（元/万尾）； x0：每条鱼苗的重量（公斤）； n：每个养鱼周期的捕捞次数（次）；

ts：在每个周期的第s次捕捞鱼的时间（天）；

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Wm：池塘饱和时鱼的总重量（公斤）；

Wts：在每个周期的第s次捕捞鱼的重量（公斤）；

Y：三年养鱼获得的较大利润（元）。

四．问题分析

1.名词解释：

1)、池塘饱和：鱼的生存空间达到最小时 2）、未成年鱼：体重没达到成鱼重量的鱼 3）、养鱼周期：每次放养鱼苗后饲养的时间 2.问题的数据分析：

在池塘第一次达到饱和时鱼刚好能够上市的前提下，考虑充分利用池塘空间，容易知道每个周期放养鱼苗数为N1040.25万尾。

t由假设3可得鱼的生长函数为: y(t)x0(1r)

由条件3、4可求得：y(t)0.0021.01937 由条件6可得销售鱼时的价格函数为：

ty0.2060.2y0.75p(y)

80.75y1.51.5y210将其转化为时间的函数：

t24006240y309p(t)

8309y34510345y360由销售鱼的价格函数可知，每次放养鱼苗后，第一次捕捞的时间是在第240天，为获得较大利润，在三年时间可进行4个周期的循环或3个周期循环。且最后一次捕捞应在第274天和第360天将鱼全部捕捞并销售。

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五．模型建立与求解

模型1：三年中4次放养鱼苗

用Y4,n表示三年中4次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得

的利润。由前面问题分析可得，4次放养鱼苗获得的较大利润函数为：

t11Wt1tx(1r)Wt1p(t1)abt10x(1r)t00t21Wt2tx(1r)Wt2p(t2)ab0t2Y4,n4x0(1r)t0 tn1Wtntn...Wp(t)abx(1r)tnntn0x(1r)t00np0Nh0......(1)

约束条件：

(WmWts)(1r)34n1Wm (s1,2,...,n1) ......(2)

tst134(s1)/(n1) (n2) ......(3)

St1240,tn274,WtnWmu模型2：三年中3次放养鱼苗

用Y3,n表示三年中3次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得的利润。由前面问题分析可得，3次放养鱼苗获得的较大利润函数为：

......(4)

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t11Wt1tx(1r)Wt1p(t1)abt10x0(1r)t0t21Wt2tWp(t)abx(1r)t22t20Y3,n3x0(1r)t0......(5)tn1

tn...Wp(t)abWtnx0(1r)tnntnx0(1r)t0np0Nh0约束条件：

(WmWts)(1r)120n1Wm (s1,2,...,n1) ......(6)

tst1120(s1)/(n1) (n2) ......(7)

St1240,tn360,WtnWmu模型求解：

......(8)

经过调查多家养鱼专业户及网上查询，可获知常见家常鱼的价格为10元/万尾。捕鱼采取承包不放水方式，费用一般为每次1200——1500元不等，这里，我们研究的是如何获得较大利润，不妨取

p01200元/次。

利用matlab软件编程计算并作图，在同一坐标系中回话出Y4,n及Y3,n与n的关系图像，如下图：

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5 108 1057 6 5 4 3 21 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 模型结论：

由图1可获知为获得三年养鱼的较大利润应采用模型2，再由计算结果知，当n=13时，取得最大利润Y3,n6.58105元。当n=13带入方程（6）、（7）可得在轮个养鱼中前12次每次大捞鱼的重量为1745公斤，从第240天开始，每10天打捞一次，最后一次将鱼全部捕捞完。这即是三年获得较大利润的最优方案。

六．模型评价及改进方向

优点： 1、

通过两种模型的求解、分析、对比获得最优养鱼方案，使最优设计方案的

结果更具有实际性、可行性、合理性，在进行设计变量的过程中具体分析关系量，所假设的变量清晰、全面、合理、不混淆，使得建立的模型简单易懂，可行性高。 2、

采用matlab软件编程求解并作图，对结果分析有很大帮助。图示中可观

察出相应变量对目标函数的影响，通过对两种模型的比较，获得三年养鱼中获得较大利润的最优方案，为养殖户提供了有价值的参考。 缺点：

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忽略了鱼在生长过程中的繁殖和死亡，同时没有考虑鱼生长时的种族斗争与生存竞争，因此可能与实际的情况出现一定的误差。 改进方向：

针对鱼的生长机能、生长环境以及自然资源，可在本文的基础之上，进

一步考虑种族斗争、种内斗争、环境条件等阻滞鱼生长的因素，作出更精确地养鱼利润评估。

七．参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003 [2] webmaster.水产新闻资讯.http://www.shuichan.cc/news_view.asp [3] 刘承平 数学建模方法[M].北京：高等教育出版.2002：9—11.

五、复述题（21分）

S. 最优捕鱼策略(3n)

论文题目：最优捕鱼策略

论文摘要

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源等）的开发必须适度。而在社会经济生活中,要使商业活动在一段时期内达到最大收益,因此要合理的开发资源，这时,不仅要考虑商业活动的当前经济效益,还要考虑生态效益及由此产生的对整体经济效益的影响。本文就是对渔业这类可再生资源的开发问题进行研究，利用相关的数学软件进行求解。

对于问题一，考虑渔场生产过程中的各年龄组鱼群数量的制约因素，将其分为两大类，第1,2龄鱼群为一类，该鱼群数量变化在一年内只受自然死亡率制约，写出鱼群数量满足的微分方程；第3,4龄鱼群为一类，其数量变化在前8个月受捕捞强度和自然死亡率影响，后4个月只受自然死亡率的制约，分阶段写出写出鱼群数量满足的微分方程；根据微分方程，求出在某时刻各鱼群的数量表达式（类

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似于人口增长模型）。因为捕捞是连续的，所以任意一个时刻的捕捞量为捕捞强度乘以鱼群的数量，又捕捞只在前8个月进行，则年捕捞量为前8个月各时刻鱼群数量的积分。最后建立年总捕捞量的函数与生产过程中满足的关系式，转化为非线性规划模型，利用lingo和matlab软件分别求解。

对于问题二，题中已给出各年龄组鱼群的初始值，利用问题一中所得到的迭代方程，可迭代地求出第i年初各年龄组鱼群的数量；再根据问题一中的捕捞量表达式，可写出5年的捕捞总量表达式，以5年捕捞总量最大为前提，利用matlab软件求解出此时的捕捞强度，然后再验证在此捕捞强度下会不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏。

最后，得出以下结论：可持续捕获条件下，捕捞强度为17.36292时，达到最大捕捞总质量3.8870761011g； 5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏条件下，捕捞强度为k17.5,17.8，达到最大最大捕捞总质量1.60561012

关键词：渔业 最大收益 捕捞策略 生产能力 生长率 lingo matlab

一．问题重述

生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益，考虑具有4个年龄组：1龄鱼，„„，4龄鱼的某种鱼。该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。使用只能捕捞3，4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42：1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

该鱼群本身有如下数据：

各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均质量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（单位：g）；1，2龄鱼不产卵，平均每条4龄鱼产卵量为1.109105（个），3龄鱼为其一半；卵孵化的成活率为1.221011(1.221011n)（n为产卵

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总量）；

有如下问题需要解决：

1.1． 问题一就是在实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)的前提下，用固定努力量的捕捞方式，确定捕捞策略以得到最大捕捞总质量。

1.2．问题二就是给出了承包时各年龄组鱼群的数量，要求5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏，在用固定努力量的捕捞方式的前提下，确定捕捞策略，求出最大捕捞总质量。

综上所述，原问题实质上是给出了各年龄组鱼群之间数量的变化规律，并给出了它们的自然死亡率及捕捞和产卵的时间分布，并固定3、4龄鱼捕捞能力的比值，要求选择一定的捕捞能力系数，使得各年龄组鱼的数量在各年开始的第一天条数不变（第一问），5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏（第二问），并在此条件下，求到最大捕获量。

二．符号说明

T:年份t:时间t:间隔时间xi(t):在t时刻i龄鱼的条数，i1,2,3,4xi(0):每年初i龄鱼的条数，i1,2,3,4r:自然死亡率n:年产卵数量f:年捕捞量k3:3龄鱼捕捞强度系数k4:4龄鱼捕捞强度系数0.5m:3龄鱼年产卵量m:4龄鱼年产卵量

:孵化存活率三．模型假设

1．这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程。

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2．捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生。 3．1、2龄鱼体形太小，不能被捕。

4．3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中一次产卵

5．i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1，2，3，其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼

四．模型的建立与求解

4.1．问题分析

4.1.1. 对题中一些术语的解释： 

对自然死亡率的理解：

本题中给出的鱼的自然死亡率是指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，它与环境等其它外在因素无关；这是一个有量纲的量，它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率，实际上它是百分比率的变化率。它应该理解为以每年死亡80%的速率减少，并不是在一年内恰好死亡80%。另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。由此可知，各龄鱼的变化满足：

dxi(t)rxit，i1,2,3,4; (1) dt

对捕捞强度系数的理解：

捕捞强度系数是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例系数，单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，捕捞强度系数是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3，4龄鱼。所以，捕捞强度系数k影响了3，4龄鱼在捕捞期内的数量变化：

设k4k,则k30.42k,

则有

dxi(t)(rki)x(t),i3,4 (2) dt第 15 页 共 23 页

 对卵的成活率的理解：

1，2龄鱼不产卵，3，4龄鱼在每年的后四个月产卵，我们假设了在9月初一次产卵，因此可将每年的产卵量n表示为：

22n1.1091050.5x3()x4() (3)

331.221011 题中有成活率为：，所以每年初1龄鱼的数量为：111.2210n1.221011x10n*1.221011n (4)

4.1.2. 问题一分析：

对于问题一，要实现可持续捕获，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，因此我们要算出每年初各龄鱼组的数量。

4.1.1中已对自然死亡率，捕捞强度系数和卵成活率作出了解释，即1，2龄鱼仅受自然死亡率的影响；而3，4龄鱼不仅受自然死亡率的影响，还受捕捞强度系数的影响；因为该种鱼的最高寿命为4，所以在后四月中4龄鱼都不存活；，而对于1龄鱼的数量，是3，4龄鱼在前年的后4年产卵所存活下来的数量；对于捕捞量，题中规定只在1到8月才能捕捞，而且1，2龄鱼不被捕捞，所以主要来源于对3，4龄鱼的捕捞。根据这些关系可列出一系列的方程，其中捕捞量作为目标函数，其他的作为约束条件，建立一个非线性规划模型，再然后用lingo软件和matlab软件进行求解。 4.1.3. 问题二分析：

对于问题二，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，又要使总收

益最高，这就有可能发生满足了前者满足不了后者之类的情况。我们处理方法是先确定一个策略使其收益最高，再检验此捕鱼策略是否能保证5年后鱼群的生产能力不受到太大的破坏，若它让鱼群的生产能力受到了严重破坏，我们再求另外

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一种策略。但从理论分析可知，5年后将在鱼群尽可能接近可持续鱼群的情况下来使捕捞量达到最大。对于破坏大小，我们采用1龄鱼群数量变化率来衡量，即以第六年初1龄鱼群数量的变化量与承包时鱼群数量初值之比表示，因为2，3，4龄鱼群的数量在很大程度上受承包初1龄鱼影响，根据关系，可以知道5年后2，3，4龄鱼群的数量肯定会有较大变化。只要该比值小于5%，我们就认为鱼群的生产能力没有受到太大破坏。

题中已经给了我们各年龄组的初始值，而问题一中也已得出一组迭代方程，我

们利用这些迭代方程，求出各年的鱼量分布；同样可以根据问题一中捕捞量的表达式求出5年的总捕捞量，以此来确定我们的最优捕捞策略。再然后我们通过验证来确定其5年后鱼群的生产能力有没有受到太大破坏。 4.2．模型建立 4.2.1 问题一模型

1．由4.1.1中对自然死亡率的理解中的（1）式，可知1，2龄鱼的生长只受自然死亡率的影响，由此可知1，2龄鱼的生长的微分方程满足方程（1）：

dxirxi,i1,2,3,4 dt可得：xi(t)x0ert,x0为每年年初i龄鱼的数量 (5)

T年的i龄鱼在T+1年变为i+1龄鱼，

则有：xi1(T1)erxi(T) (6)

2．而对于3，4龄鱼的生长，在前八个月，他们的生长不仅受自然生长率的影响，还受捕捞强度系数的影响，而后四个月仅受自然生长率的影响。

我们以一年为一个时间单位，则这一时间单位可以分为两个阶段，见图（1）： 0 2/3 1

I：捕捞期

II：产卵期

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图（1）

因此，

1. 前八个月3、4龄鱼生长的微分方程满足： ○

dxi(rki)xidti3,4 (7)

可得：xi(t)x0e(rki)t，x0为每年年初i龄鱼的数量 (8)

由于每年的捕捞只在1到8月进行，并且只能捕到3，4龄鱼，所以任意一个

时刻的捕捞量为kixi(t)，则年捕捞量为：



230(kir)kikixi(t)dtx0(1e3)

kir2 (9)

2. 后四个月3、4龄鱼生长的微分方程满足方程（1）○：

dxirxi,i1,2,3,4 dt

可得：xi(t)x0ert,x0为每年年初i龄鱼的数量 (10)

其中产卵量n0.5mx3e2(r0.42k)3mx4e2(rk)3 (11)

1.22*1011又孵化存活率 (12 )111.22*10n所以年初1龄鱼的总量x1(T1)n(T) (13) 3．根据以上分析，我们可以建立非线性规划模型：

目标函数：max17.86k3x3(t)dt22.99k4x4(t)dt (14) 约束条件：

22(0.42kr)(kr)3mx4e3n0.5mx3exn1 rx2ne2rxne322(*0.42k3r)(kr)3(1e3)x4ne2302304.2.2问题二模型

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针对渔业公司的5年捕捞计划，我们利用已得到的迭代方程在已知各个年龄组的鱼的初始值的前提下，可迭代求出各龄鱼群第i年的鱼量的分布的函数。

n(t1)m/2x3(t)e(k3r)2/3mx4(t)e(k3r)2/311x(t1)1.2210n(t1)11.221011n(t1)r整个生存过程满足的关系式为x2(t1)ex1(t)

rx(t1)ex2(t)3x(t1)x(t)e(k32/3r)x(t)e(k42/3r)344k30.42k4同时写出目标函数：

5k3k(k3r)2/3max(x3(t))17.86(1e)(x4(t)22.994(1e(k4r)2/3)k3rk4rt1t15(15)4.3．模型求解 4.3.1问题一求解

4.3.1.1由4.2.1中的3，我们可将目标函数和约束条件进行转化：

目标函数转化为：

(0.80.42k)(k0.8)(0.8k)0.42kkmax17.86ne1.6(1e3)22.99ne(0.28k2.4)(1e3)(1e3)0.42k0.80.8k222

约束条件转化为：

1.22*10^111.22*10^11n28.8(k0.28k) 6.433(0.28k)e3n1.22*10^11*(m*(0.5*e)1)2(k0.8)1e3

4.3.1.2然后利用lingo软件和matlab软件分别进行求解。 1）直接运行，输出结果为：

k17.36292,f0.3887076E+12

2）画出n关于k的图像：

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由图像，，我们看出这与事实是相符的。 从运行结果看：

k =17.3000或k =17.4000，取最大值f =3.8871e+011 即k17.3,17.4，f =3.8871e+011

故问题一所求结果为：k17.3,17.4时，f取最大值3.8871e011 4.3.1.3结果分析

3龄鱼的捕捞强度为7.29/年；4龄鱼的捕捞强度为17.36/年：最优可持续捕捞量3.8871*e11,可持续捕捞的鱼群大小（条数）：

1龄 1.19601011 2龄 5.37401010 3龄 2.41471010 4龄8.3967107

分析结果发现，4龄鱼在年末存活的数量占全部数量的比例相对很小。 4.3.2问题二求解

4.3.2.1将目标函数转化为：

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21.221011n22r1.221011n32r0.42kr0.42kr2r3max)1(10.129.7e122e0.42kre1.221011n2e1.221011n3e222222krkr0.42krk2r0.42k2r0.42kk333333.29329.710.11(3.2910.1eeeekre42rk33.29e122e23r0.42k329.7e223r0.42kk3310.1e243r0.42kk333.29e3r2k

1.221011n2e83rk31.221011n223r0.42k3122e224r0.42kk3329.7e244r0.42kk3310.1e23r0.42k2k33.29e))2(0.42kr)3其中n(2)10.2*m/2*e3.29*m*e2(kr)3

n(3)29.7*m/2*e5(0.28kr)310.1*m*e25(0.28kkr)333.29*m*e45(kr)33

这样max就变为关于k的函数，易于求解。 4.3.2.2 用matlab软件求解 根据运行结果，得出

k17.5,17.8，f =1.6056e+012

故问题二所求结果为：k17.5,17.8时，f取最大值1.6056e012 4.3.2.3、验证5年后鱼群的生产能力有没有受到太大破坏 迭代求得第六年初各龄鱼群的数量为：

x1(6)1.19561011 x2(6)5.37131010 x3(6)2.41571010 x4(6)8.2710107

第一年各龄鱼群的数量为

x1(1)1.221011 x2(1)2.971010 x3(1)1.011010 x4(1)3.29109

第六年1龄鱼数量占第一年1龄鱼数量的比例为：

q1x1(6)100%98% x1(1)4.3.2.4、结果分析

捕捞强度在区间（17.5，17.8）内时（因为电脑精确度问题，暂时只能精确到

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这一区间），总捕捞量达到最大值1.60561012。在这种捕捞强度下，5年后1龄鱼数量占第一年1龄鱼数量的比例为98%，即可认为生产能力没有受到太大破坏。因此，求解出的结果即为最优捕鱼策略。

五．模型的评价

采用了非线性规划的思想建立模型，通过求解有约束的非线性最大值问题，找到一组最优解。

问题一，在实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)的前提下，用固定努力量的捕捞方式，确定捕捞策略以得到最大捕捞总质量。

结合人口增长,地中海鲨鱼模型，用微分、积分的方法来分析每年各龄鱼的数量，建立每年捕捞量的方程，用lingo软件与matlab软件分别求解，两个结果误差很小，肯定了结果的正确性。

问题二，所求模型为五年（五组类似问题一的模型）鱼群生长模型的组合。由于所给的初始鱼群并不是可持续捕捞的鱼群，为了在五年内既得到最大的收益，又不破坏鱼群的生产能力，即五年后在达到产量最高的条件下使得鱼群尽量接近可持续捕捞鱼群。我们在五年内以同样的强度实现固定努力量的捕捞。对于每年每条龄鱼在每个时刻的条数，我们可以用算法迭代求解出n年的条数，从而比较第六年年初与初始时刻条数的差值，得出生产能力的破坏度不显著。

本模型采用连续模型的方法，成功地解决了可持续捕捞问题，得到了较为精确且合理的结果。

六．模型的改进

我知道，原题中没有说明四龄以上的鱼如何处理。我假设的是上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼，而事实上还可以假设这种鱼只活到4龄，以后它就死掉了。这对模型没有太大的差别，只是我所做的假设的分析计算稍复杂，但计算结果也只是稍有差别，在我的模型的基础上，我可以假设鱼只能活到4龄，这样计算更简便

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一些。

目标函数：max17.86k3x3(t)dt22.99k4x4(t)dt 约束条件：

22(0.42kr)(kr)3mx4e3n0.5mx3exn1r x2ne2rxne32(*0.42k3r)3x4ne230230可将上面的目标函数和约束条件进行转化：

目标函数转化为：

(0,.80.42k)(*0.42k3r)(0,.8k)0.42kkmax17.86ne1.6(1e3)22.99ne3(1e3)0.42k0.8k0.8222

约束条件转化为：

1.22*10^111.22*10^11n 6.428.8n1.22*10^11*(m*(0.5*e(0.28k3)e(3k0.28k3))1)直接运行得:

k17.36293,f0.3887076E12

而以我们的假设算得出的结果为k17.36292,f0.3887076E+12 两个结果相差甚小，但改进的模型计算非常简便。

七．参考文献

赵静，但琦,《数学建模与数学实验（第3版）》高等教育出版社 姜启源、谢金星、叶俊,《数学模型（第三版）》高等教育出版社，2003 刘来福，《最优捕鱼策略问题答案评述》，数学的实践与认识,1997年1月

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