新人教版中考二次函数专题一对一复习讲义

教师寄语：二次函数这一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学学习的基础.作为初高中衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，根据对近几年中考试卷的分析，预计今年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题，中高档的解答题，除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现及二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解题和探究题，二次函数及其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大.

学习要求：中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数解析式求法、二次函数的实际应用.考查的题型常以填空题、选择题和解答题的形式出现.在复习二次函数的基础知识时,要注重待定系数法、函数思想、数形结合等等思想方法的应用。

教师应对策略：从学生对基础知识 基本技能的掌握入手，从图象入手，紧紧抓住二次函数的性质设计基础题，中等题及中考综合题，分三层次进行有效训练会比较好。通过具体题目的师生共同分析，引导学生梳理整章知识点，在题目分析中注重让学生自己开动脑筋去发现问题，进而找出解决问题的方法，教会学生如何去应对较复杂的二次函数的综合题。

知识点复习回顾： 一、二次函数概念

二、二次函数的基本形式 三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k，确定其顶点坐标h，k；

⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律

左加右减，上加下减

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四、二次函数yaxh2k及yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxh2k及yax2bxc是两种不同的表达形式，

b4acb2后者通过配方可以得到前者，即yax2a4a2，其中．

五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x轴的交点，及y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为．

2a当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y随x的增大而增大；

2a2a当xb时，y有最小值．

2a 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为．当

2ab时，当xb时，当xby随x的增大而增大；y随x的增大而减小；2a2a2a时，y有最大值． x七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线及x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象及各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，总结起来，

a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

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在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． 3. 常数项c

c决定了抛物线及y轴交点的位置． 九、二次函数解析式的确定

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线及x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 十、二次函数图象的对称

1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxh2k关于原点对称后，得到的解析式是yaxh2k；

十一、二次函数及一元二次方程

1. 二次函数及一元二次方程的关系（二次函数及x轴交点情况）： 一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.

图象及x轴的交点个数：

① 当b24ac0时，图象及x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2) ② 当0时，图象及x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象及x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 2. 抛物线yax2bxc的图象及y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象及x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知及x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

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二次函数综合题型

1．（2015•黑龙江）如图，抛物线﹣交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2.（2015•孝感）在平面直角坐标系中，抛物线﹣x2及x轴交于点A，B，及y轴交于点C，直线4经过A，C两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线交于点E，若：3：8，求k的值．

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3.（2015•枣庄）如图，直线2及抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

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（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标．

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4．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴及x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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