普安县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

普安县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________

一、选择题

1． 已知f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设则a，b，c的大小关系为（

）

）

，b=f（log43），c=f（0.4﹣1.2）

姓名__________ 分数__________

A．a＜c＜bB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a

2． 如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（ ①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值

②DC1⊥D1M

③∠AMD1的最大值为90° ④AM+MD1的最小值为2．

A．①②B．①②③C．③④D．②③④

）

3． 设f(x)是奇函数，且在(0,)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是（ A．x|3x0或x3 B． x|3x0或0x3 C．x|x3或x3

D． x|x3或0x3）

4． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5． 已知集合M={1，4，7}，M∪N=M，则集合N不可能是（ A．∅　

B．{1，4}

C．M

D．{2，7}

）

x2y26． 设F为双曲线221(a0,b0)的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到

ab1另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（ ）

223A．22　　　　B．　　　　C．23　　　　　D．3

3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．7． 已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（ A．1或﹣3

B．﹣1或3

C．1或3

D．﹣1或﹣3

）

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8． 命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（

）

A．0B．1C．2D．3　

9． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n（3n﹣2）的前n项和为Sn，则S11+S20=（ A．﹣16

B．14

）

C．28

D．30

）

10．已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ A．﹣12

B．﹣10

C．﹣8

D．﹣6

11．如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（

）

B．增函数且最大值为3

A．增函数且最小值为3

C．减函数且最小值为﹣3D．减函数且最大值为﹣3　

12．已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（

）

A．C．　

B．D．

二、填空题

13．已知正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，则该正四棱锥的外接球的半径为_________第 2 页，共 16 页

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14．已知x是400和1600的等差中项，则x=　　　　　　．15．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是　　．16．在数列

中，则实数a=　　，b=　　．17．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

18．在ABC中，有等式：①asinAbsinB；②asinBbsinA；③acosBbcosA；④

abc.其中恒成立的等式序号为_________.sinAsinBsinC三、解答题

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=

AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

20．（本小题满分12分）

22如图ABC中，已知点D在BC边上，且ADAC0，sinBAC，AB32，BD3．

3（Ⅰ）求AD的长；

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（Ⅱ）求cosC．

21．已知函数f（x0=．

（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间； （2）解不等式f（x﹣1）≤﹣

．

22．如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=．

（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．

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23．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．

（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．　

24．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设xn是函数fn（x）=nx3+2x﹣n的零点．（i）证明：n≥2时存在唯一xn且

；

（i i）若bn=（1﹣xn）（1﹣xn+1），记Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．

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普安县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log43＜1，∴|log43|＜1；2＞|ln|=|ln3|＞1；∵|0.4﹣1.2|=|

1.2|

＞2

∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．

又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＜a＜b．故选C　

2． 【答案】A

【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=

=为定值，故①正确．

②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．③当0＜A1P＜

时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；

④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1=2，故④不正确．因此只有①②正确．故选：A．

=

＜

3． 【答案】B

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【解析】

试题分析：因为fx为奇函数且f30，所以f30，又因为fx在区间0,上为增函数且

可知：当x3,0时，fx0，当x,3时，fx0，所以满足xfx0的x的取值范围是：x3,0或x0,3。故选B。4． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．　

5． 【答案】D

【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，∴集合N不可能是{2，7}，故选：D

【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．　

6． 【答案】B【

解

析

，∴θ为第二象限角，

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

f30，所以当x0,3时，fx0，当x3,时，fx0，再根据奇函数图象关于原点对称

】

7． 【答案】A

【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，所以=

≠

，

解得 a=﹣3，或a=1．

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故选：A．　

8． 【答案】C

【解析】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；故其逆否命题也为真命题；

其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题故其否命题也为假命题

故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个故选C

【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．　

9． 【答案】B

【解析】解：∵an=（﹣1）n（3n﹣2），∴S11=（=﹣16，

S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=﹣（1+7+…+55）+（4+10+…+58）=﹣=30，

∴S11+S20=﹣16+30=14．故选：B．

【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．　

10．【答案】C

【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，

由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．

【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．　

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）+（a2+a4+a6+a8+a10）

=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）

+

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11．【答案】D

【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．　

12．【答案】 B

【解析】解：∵函数的周期为T=∴ω=

又∵函数的最大值是2，相应的x值为∴

=

，其中k∈Z

=

，

取k=1，得φ=

因此，f（x）的表达式为故选B

【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．　

，

二、填空题

13．【答案】

118【解析】因为正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，所以锥高为2，设外接球的半径为R，依轴截面的图形可知：R2(R2)2(14．【答案】　1000　．

【解析】解：∵x是400和1600的等差中项，∴x=

=1000．

6211)R28故答案为：1000．

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15．【答案】　m＞1　．

【解析】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，即判别式△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故答案为：m＞1　

16．【答案】a=　

【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，a﹣b=26，

由3，8，a+b，24，35知，a+b=15，解得，a=故答案为：

，b=，

；．　，b=　

　．

【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．　

17．【答案】【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

32考点：几何体的三视图与体积.18．【答案】②④【解析】

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试题分析：对于①中，由正弦定理可知asinAbsinB，推出AB或AB2形或直角三角形，所以不正确；对于②中，asinBbsinA，即sinAsinBsinBsinA恒成立，所以是正

确的；对于③中，acosBbcosA，可得sin(BA)0，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知

，所以三角形为等腰三角

abc是正确，故选选②④．1sinAsinBsinC考点：正弦定理；三角恒等变换．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，

，

又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，

，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　

20．【答案】

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【解析】（Ⅰ）因为ADAC，所以sinBACsin所以cosBADBADcosBAD,222．…… 3分3222在ABD中，由余弦定理可知，BDABAD2ABADcosBAD即AD28AD150,解之得AD5或AD3,

由于ABAD,所以AD3．…… 6分

221可知sinBAD …… 7分33BDAB 由正弦定理可知，,sinBADsinADBABsinBAD6所以sinADB…… 9分BD36因为ADBDACCC，即cosC…… 12分

32（Ⅱ）在ABD中，由cosBAD21．【答案】

【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），丹迪减区间是（0，1）（2）由已知可得

或

解得x≤﹣1或

，

≤x≤，

故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[，

]．

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【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．　

22．【答案】

【解析】（1）证明：取ED的中点为O，由题意可得△AED为等边三角形，

，

，

∴AC2=AO2+OC2，AO⊥OC，

又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，∴平面AED⊥平面BCDE；…

（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，﹣1，0），A（0，0，

，

设面EAC的法向量为面BAC的法向量为由∴由∴

，得

，

，得

，

，∴

，

，∴

，

，

），C（

，0，0），B（

，

，﹣2，0），

，

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∴

∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为

，．…

2016年5月3日23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]，由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，

故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，∴[1，3]⊆[1，c]，即c≥3

（Ⅱ）函数f（x）=x2+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，即f（x）max﹣f（x）min≤4，

记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．当|当|

|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；|≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=（1+解得：|b|≤2，即﹣2≤b≤2，

综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．

）2≤4，

）=

﹣f（

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【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．　

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2，

若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；若a＜0，令f'（x）＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为

或

，和

；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，fn（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，又fn（1）=n+2﹣n=2＞0，fn（=

当n≥2时，g（n）=n2﹣n﹣1＞0，n≥2时存在唯一xn且（i i）当n≥2时，∴∴

又f1（x）=x3+2x﹣1，

，又

∴∴命题得证．

【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．　

，，

，（不等式放缩技巧）

，∴

（零点的区间判定）

）=

=

=﹣，

，（数列裂项求和），

，（函数法定界）

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