微分方程的经济应用模型举例

微分方程的经济应用模型举例

微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本节我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力.

分布图示

★公司资产函数

★逻辑斯谛方程

★价格调整问题

★人才分配问题模型

★差分方程在经济学中的应用

内容要点

一、公司资产函数

例。某公司t年净资产有W(t)(百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.

(1) 给出描述净资产W(t)的微分方程;

(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为W0;

(3) 讨论在W0500,600,700三种情况下, W(t)变化特点.

解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度

得到所求微分方程

dW0.05W30.dt

(2) 分离变量，得

dW0.05dt. W600

两边积分，得 ln|W600|0.05tlnC1(C1为正常数），于是

0.05t0.05t|W600|Ce,W600Ce1 或

(CC1).

将W(0)W0代入，得方程通解：

W600(W0600)e0.05t.

dW0W600,W600上式推导过程中当时，dt知

W600(W0600)e0.05t,W600W0,

通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中.

(3) 由通解表达式可知，当W0＝500百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当W0＝600百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在600百万元不变；当W0＝700百万元时，公司净资产将按指数不断增大.

二、 逻辑斯谛方程:

逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.

一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.

如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.

设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t), 则有

dh(t)kh(t)[Hh(t)]dt (8.2)

其中k0是比例常数. 这个方程为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方

程.

下面来求解方程(8.2). 分离变量得

dhkdt,h(Hh)

dhh(Hh)kdt,两边积分

得

1[lnhln(Hh)]ktC1,H

或

hekHtC1HC2ekHt, Hh

故所求通解为

C2HekHtHh(t),kHtkHt1C2e1Ce

1C1HCCe0C2是正常数. 其中的

函数h(t)的图象称为Logistic曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic曲线, 由于它的形状, 一般也称为S曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得

tlimh(t)H.

这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.

注: Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.

下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.

人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型

dyy(kby),dty(t0)y0 (8.3)

其中k,b的称为生命系数.

我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.

有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b2,从而估计得:

(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿.

(2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.

后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.

新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为x(t),由于产品性能良

dx,dt好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比, 同时, 考虑

dx到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明dt与尚未购买该产品的潜在顾客的数量Nx(t)也成正比, 于是有

dxkx(Nx)dt

(8.4)

其中k为比例系数. 分离变量积分, 可以解得

N1CekNt

x(t) (8.5)

由

dxCN2kekNtd2xCk2N3ekNt(CekNt1),,kNt22kNt2dt(1Ce)dt(1Ce)

d2xdxNN**0;0,x(t)x(t)*x(t)N时, 则有dt2时, dt22时, 当即销量x(t)单调增加. 当当d2xN*0;x(t)dt22时, 即当销量达到最大需求量N的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足当

N一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.

国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)

十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.

三、价格调整模型

例 如果设某商品在时刻t的售价为P, 社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P),S(P), 则在时刻t的价格P(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)S(P)成正比, 即有微分方程

dPk[D(P)S(P)]dt(k0) (1.3)

在D(P)和S(P)确定情况下, 可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型.

在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S是价格P的单调递增函数, 商品需求量Q是价格P的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为

Q(P)P (8.6)

S(P)abP,其中a,b,,均为常数, 且b0,0.

当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格

ab

Pe

并称Pe为均衡价格.

一般地说, 当某种商品供不应求, 即SQ时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即SQ时, 该商品价格要落. 因此, 假设t时刻的价格P(t)的变化率与超额需求量QS成正比, 于是有方程

dPk[Q(P)S(P)]dt

其中k0,用来反映价格的调整速度.

将(8.6)代入方程, 可得

dP(PeP)dt (8.7)

其中常数(b)k0,方程(8.7)的通解为

P(t)PeCet

假设初始价格P(0)P0,代入上式, 得CP0Pe,于是上述价格调整模型的解为

P(t)Pe(P0Pe)et

由于0知, t时, P(t)Pe.说明随着时间不断推延, 实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe.

四、人才分配问题模型

每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t年教师人数为x1(t),科学技术和管理人员数目为x2(t),又设1外教员每年平均培养个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为(01),表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率

(01),于是有方程

dx1x1x1dt (8.8)

dx2(1)x1x2dt (8.9)

方程(8.8)有通解

x1C1e()t

(8.10)

若设

1x1(0)x0,则

1C1x0,于是得特解

1()tx1x0e (8.11)

将(8.11)代入(8.9)方程变为

dx21()tx2(1)x0edt (8.12)

求解方程(8.12)得通解

x2C2et1(1)x0e()t (8.13)

112Cx202x0,x2(0)x0,于是得特解 若设则

211t11()tx2x0x0ex0e (8.14)

(8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为x1(0),x2(0)情况, 对应于的取值, 在t年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取1,即毕业生全部留在教育界, 则当t时, 由于,必有x1(t)而x2(t)0,说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将接近于零. 则x1(t)0,同时也导致x2(t)0,说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.

五、追迹问题

设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正北行走; 甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以mv0(n1)的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.

解 设所求追迹曲线方程为yy(x).经过时刻t, 甲在追迹曲线上的点为P(x,y),乙在点

B(1,v0t).于是有

tanyv0ty,1x (8.15)

由题设, 曲线的弧长OP为

解出v0t代入(8.15), 得

x01y2dxnv0t,

(1x)yy1x1y2dx.n0

两边对x求导, 整理得

11y2.n

(1x)y这就是追迹问题的数学模型.

这是一个不显含y的可降阶的方程, 设yp(x),yp, 代入方程得

dp1p2dx,n(1x)1(1x)p1p2n 或



两边积分, 得

1ln(p1p2)ln|1x|ln|C1|,n

即

p1p2C1.n1x

将初始条件y|x0p|x0代入上式, 得C11.于是

y1y21,n1x (8.16)

1y2,y两边同乘并化简得

y1y2n1x, (8.17)

(8.16)与(8.17)式相加, 得

11ynn1x,21x

两边积分, 得

1ny(1x)2n1n1nn(1x)n1n1nC2.

代入初始条件y|x00得

C2n,2n1故所求追迹曲线方程为

n1n1nnn(1x)(1x)ny2(n1),2n1n1n1

甲追到乙时, 即曲线上点P的横坐标x1,此时距离时被甲追到.

ynn.n21即乙行走至离A点n21个单位

五、差分方程在经济学中的应用

采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.

1.“筹措教育经费”模型

某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t个月, 投资账户资金为at,每月存资金为b元, 于是20年后, 关于at,的差分方程模型为

at1(1.005)at1000 (9.11)

且a1200,a0x.

2. 价格与库存模型

本模型考虑库存与价格之间的关系

设P(t)为第t个时段某类产品的价格, L(t)为第t个时段的库存量. L为该产品的合理库

存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程

Pt1Ptk(LLt) (9.13)

其中k为比例常数.

3. 国民收入的稳定分析模型

本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.

设第t期内的国民收入yt主要用于该期内的消费Gt, 再生产投资It和政府用于公共设施的开支G(定为常数), 即有

ytCtItG (9.17)

又设第t期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即

CtAyt1(0A1) (9.18)

第t期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有

ItB(CtCt1) (9.19)

由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得

ytA(1B)yt1BAyt2G (9.20)

于是, 对应A, B, G以及y0,y,可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.