初中平面几何中的定值问题

开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：

【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角 边AB=AC=1，P是斜边BC上的一动点，过 P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则 PE+PF= 。

方法1：特殊值法：把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。

方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。 方法3：等面积法：连接AP，SABCSABPSAPCABACABPEACPF

AFEBPCABPEPF

总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB 的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。 设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）

（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。）

过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决请看：

【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为 等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6， 过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则 PE+PF还是定值吗若是，是多少 若不是，为什么

方法1：三角形相似进行量的转化

AEPFCBAMPEPFAMPBAMPC PE,PFABPBPCABABAM(PBPC)AMBC4624 （板书） PEPFABAB55ABMPBEPCF（M为BC中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静）

方法2：等面积法：

SABCSABPSAPCBCAMABPEACPF

PEPFBCAM6424（M为BC中点） （板书） AB55（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。）

(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系，能不能用一个等式来表示

学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。

（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）

（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。）

问：我把题中的5改为a，6改为b，PE+PF还是定值吗你能求出这个定值吗 答：是定值，求解方法不变。

问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗

结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=

bh(a为腰长,b为底边a长,h为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）

（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）

问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么应该注意什么问题 答：不要被\"动\"、\"变\"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在

运动的过程中，是否需要讨论。

过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看： 【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点， P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值为什么

（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）

AEPBDCFSABCSABPSACPSBCPBCAMABPEACPFBCPDPEPFPDAM 为定值 （M为BC中点） （板书）

可以用几何画板度量长度，进行演示

（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）

过渡：研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化

【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一

AFPDBECBEEAAPFBCDDPFC点，P到三边的距离

分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系为什么

图1 图2 图3

在几何画板中操作，发现当点P移出三角形时，h1＋h2＋h3发生改变，那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢

等面积法还可以用吗△PAB，△PBC，△PAC的面积有何关系这三个三角形的面积和不变的三

角形ABC的面积有何关系

（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）

图1：SABCSABPSACPSBCPBCAMABPEACPFBCPD

PEPFPDAM为定值 （板书）

图2：SABCSACPSBCPSABPBCAMACPFBCPDABPE

PFPDPEAM为定值 （只把结论板书）

图3：SABCSABPSBCPSACPBCAMABPEBCPDACPF

PEPDPFAM为定值 （只把结论板书）

AFDBPE

AFPAEECDP

CBFBDC图1 图2 图3 图1：SABCSACPSABPSBCPBCAMACPEABPFBCPD

PFPEPDAM为定值 （板书）

图2：SABCSABPSBCPSACPBCAMABPEBCPDACPF

PEPDPFAM为定值 （只把结论板书）

图3：SABCSBCPSABPSACPBCAMBCPDABPEACPF

PDPEPFAM为定值 （只把结论板书）

（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。）

（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。）

过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。

【问题2】 已知：已知弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C.

求证：∠ACB有定值，并求出这个定值.

分析：

问：这个图形中不变的是什么不变的角是那一个 答： 此题中的不变量是弧AB，因此∠AMB也是不变量； 不变关系是相切。

问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么 答：连接圆心与切线

方法1：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值 答：要证∠ACB有定值，只需证∠CAB+∠CBA是定值，只需证 ∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。 证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB， ∵M是△ABC的内心，

∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).

∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB－180＝60. ∴∠ACB有定值60.

方法2：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值

答：要证∠ACB有定值，只需证∠EMF是定值，只需证∠EMD+∠FMD是定值，只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。

证明：在四边形CEMF中，∠C+∠EMF=180，

CEMADBF∵M是△ABC的内心， ∴∠DMA=∠EMA, ∠FMB=∠DMB ∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240 ∴∠EMF=120 ∴∠C =180-∠EMF=60

总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。

（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。）

过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢

【问题3】 已知：O是如图同心圆的圆心,AB是大圆的直径点P是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R与r问:PA＋PB是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由. 分析：这道题是探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。

① 点P放在直径AB上.

得PA＋PB＝（R＋r）＋（. R－r）＝2（R＋r）. ② 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上 也可得PA＋PB＝ R＋r＋R＋r＝2（R＋r）.

B2

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2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

说明PA＋PB非常有可能是定值，而且这个值为2（R＋r）

BB2222

OPAPPOOPAAAOHB证明： （直角三角形计算法）

PA＋PB＝HA＋PH+PH＋HB＝2PH＋(OH+R)+(R-OH) ＝2PH＋2OH+2R=2(PH＋OH) +2R=2r＋2R

解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：

① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示. ② 再证明它能成立.

探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.

第二种是采用综合法，直接写出证明.

结束语：数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。希望同学们能够把握动态几何的解题规律。 【小结】

问：这节课我们学习了一类怎么样的问题用什么方法解决 答：动态几何中的定值问题

特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动 类型： （1）点动 （2）线动 （3）旋转、平移 （4）形变

解题思路：不要被\"动\"、\"变\"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。

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