云南省昆明一中2015届高三上学期摸底考试文科数学试卷(word版)

数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．设集合A={x∈Z|x＜4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（ ） A． {0，1} B． {﹣1，0} C． {﹣1，0，1} 2．在复平面内，复数 A．（1，1） 3．函数y= A．

对应的点的坐标为（ ） B． （﹣1，1） 的最小正周期是（ ） B． π

C． 2π

D．4π

C． （1，﹣1）

D．（﹣1，﹣1）

2

D．{0，1，2}

4．双曲线C：率为（ ）

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0垂直，则双曲线C的离心

A． B． C． 2 D．

5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ） A． y=|x+1|

B． y=

C． y=2

﹣|x|

D．y=log2|x|

6．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（ ）

A．﹣7 B． ﹣6 C． ﹣5 D．﹣3

7．已知关于x的方程sinx+cosx﹣a=0有实数解，则实数a的取值范围是（ ） A． [﹣2，2] B． （﹣2，2） C． [﹣1，1] D．[﹣1﹣8．在△ABC中，点D为BC的中点，若AB=

，AC=3，则

•

=（ ）

，1+]

A． 1 B． 2 C． 3 D．4

9．执行如图的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（ ）

A． 27 B． 81 C． 99 D．577

2

10．若函数f（x）=ax﹣lnx在（0，1]上存在唯一零点，则实数a的取值范围是（ ） A． [0，2e]

2

B． [0，] C． C、（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，0]

11．设抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的

圆与L交于B，D两点，若∠ABD=90°，|AF|=2，则p=（ ） A． 1 B． C． 2 D．

12．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（ ）

A． 36

B．

C． 18

D．

二、填空题：本大题4小题，每小题5分

13．现有3本不同的语文书，2本不同的数学书，若从这5本书中一次任取2本，则取出的书都是语文书的概率为 _________ ．

14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 _________ ． 15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，若该三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 _________ ．

16．已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是 _________ ．

三、简答题 17．（12分）已知各项为正数的等比数列{an}中，a2=2，a3•a5=． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC与BD交于点O． （1）求证：PB⊥AC； （2）若平面PAC⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB=2，求点O到平面PBC的距离．

19．（12分）某校高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100）分成七组，得到的频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）估计该年纪本次数学考试成绩的平均分（同一组中的数据用该区间中点值做代表）； （Ⅱ）请将下列2×2列联表补充完整，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 12 男生 女生 100 合计 附：K=

0.15 0.10 0.05 P（K＞k0） 2.072 2.706 3.841 k0 22

，其中n=a+b+c+d

20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交C于A，B

两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．

21．（12分）已知函数f（x）=x+（a+1）x+ax﹣2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为

．

3

2

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k﹣1）e+2x﹣2有唯一公共点．

选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD为直径的圆交BC于点F． （Ⅰ）求证：E、D、F、C四点共圆； （Ⅱ）若BD=5，CF=

，求四边形EDFC外接圆的半径．

x

选修4-4：坐标系与参数方程 23．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极

轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是（t是参数）．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程； （2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．

选修4-5：不等式选讲 24．（10分）已知函数f（x）=|2x+b|． （Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

18．

（1）证明：连结OP，

因为四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC与BD交于点O 所以：OP⊥AC，AC⊥BD AC⊥平面PBD PB⊂平面PBD 所以：PB⊥AC

（2）解：平面PAC⊥平面ABCD，OP⊥平面ABCD ∵∠ABC=60°，PB=AB=2 ∴OP= AC=2 AO=CO= ∴进一步得到△PBC为等边三角形 所以：VP﹣OBC=VO﹣PBC

设点O到平面PBC的距离为h ∴

h=

19． 解：（Ⅰ）估计该年纪本次数学考试成绩的平均分为

0.04×35+0.12×45+0.2×55+0.28×65+0.18×75+0.12×85+0.06×95=65.4（分）； （Ⅱ）应抽取男生60人，女生40人，可得2×2列联表 数学成绩优秀 数学成绩不优秀合计 男生 12 48 60 女生 6 34 40 合计 18 82 100 K=

2

≈0.407＜3.841，

∴没有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”． 20． 解：（I）设F′是椭圆的右焦点， 由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4． 解得a=2， ∵左焦点为F（﹣，0），c=， 222∴b=a﹣c=2． ∴椭圆C的方程为

=1．

=x1y1．

（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S=

∵∴

．

≥2×=，

当△AFA′面积取得最大时，由F（﹣

，0），A

=，解得

，y1=1．

，化为

=0，

，可得直线AB的方程为：

设B（x2，y2），联立

，解得，，

可得B∴|AB|=

．

=

3

2

．

2

21． （Ⅰ）解：函数f（x）=x+（a+1）x+ax﹣2的导数f′（x）=3x+2（a+1）x+a， 即有f′（1）=3a+5，切线斜率为3a+5， f（1）=2a，切点为（1，2a）， 则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2a=（3a+5）（x﹣1）． 令y=0则x=

，由

=

，解得a=2；

x

（Ⅱ）证明：由题意要证：当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k﹣1）e+2x﹣2有唯一公共点，

32x

即要证x+3x+（1﹣k）•e=0在k＜1时有唯一解．

32x

设g（x）=x+3x+（1﹣k）•e，

322

由于1﹣k＞0，则g（x）＞x+3x=x（x+3），

2

①当x≥﹣3时，g（x）＞x（x+3）≥0，则g（x）在x≥﹣3时无零点；

2x2

②当x＜﹣3时，g′（x）=3x+6x+（1﹣k）•e＞3x+6x=3x（x+2）＞0，

﹣3

则g（x）在x＜﹣3时单调递增．而g（﹣3）=（1﹣k）•e＞0，

﹣3﹣3xx

由于e＜e，则（1﹣k）•e＜（1﹣k）•e， g（x）=x+3x+（1﹣k）•e＜x+3x+

3

2

3

2

x

3

2

＜x+3x+1﹣k，

32

设h（x）=x+3x+1﹣k，由于k﹣1＜0，取x=k﹣4＜﹣3，

32

则h（x）=h（k﹣4）=（k﹣4）+3（k﹣4）+1﹣k，

22

即h（k﹣4）=（k﹣4）[（k﹣4）+3]+1﹣k=（k﹣1）[（k﹣4）﹣1]＜0， 即存在x=k﹣4，使得g（x）＜h（x）＜0，

故存在x0∈（k﹣4，﹣3），有g（x0）=0，

x

综上，当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k﹣1）e+2x﹣2有唯一公共点． 22． （Ⅰ）证明：连接ED，FD， ∵AD，BD是直径，∴∠AED=∠BFD=90°， ∴∠DEC=∠DFC=90°， ∴∠DEC+∠DFC=180°， ∴E、D、F、C四点共圆； （Ⅱ）解：∵∠DEC=90°， ∴CD是四边形EDFC外接圆的直径， ∵CD是△ABC中AB边上的高， ∴BD是四边形EDFC外接圆的切线， ∴BD=BF•BC ∵BD=5，CF=∴BF=3， 同理CD=

．

，

∴四边形EDFC外接圆的半径为

23． 解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0， 22∴x+y﹣2x﹣4y=0；

2

由直线l的参数方程（t是参数）化为．

2

（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t﹣t﹣4=0． 点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t1，t2． 则t1+t2=1，t1t2=﹣4． ∴|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=24．

=

=

． ≤x≤

=﹣1，

．

=2，解得b=﹣1．

解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得

再由不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，可得

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|，设g（x）=f（x+3）+f（x+1）， 则g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，

若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m． 故实数m的取值范围为（﹣∞，4]．