函数有限和有界的关系

设f(x)是可测集E¡n上的可测函数.

12x例 设E(,), f(x)e,x·\\,

x¤.,1. 称f(x)在E上有界, 如果存在某个M0, 使得

(iii) f(x)在E上(处处)有限, f(x)未必在E上有

|f(x)|M, (xE);

界;

例 (有限但无界) 设E(0,1], f(x)2. 称f(x)在E上几乎处处有界, 如果存在某个

1. 则xM0, 存在零测集E0E, 使得

f(x)在E上每一点都有限, 但f(x)在E上无界.

(iv) f(x)在E上几乎处处有限, f(x)未必在E上几乎处处有界;

命题 设mE并且f(x)在E上几乎处处有限,

|f(x)|M,

(xE\\E0);

3. 称f(x)在E上(处处)有限, 如果

|f(x)|, (xE);

则f(x)在E上几乎有界，即对于任意的0，存

4. 称f(x)在E上几乎处处有限, 如果存在零测集

在可测集EE，使得mE且f(x)在E\\EE0E, 使得

上有界，即存在MM0，使得

|f(x)|,

(xE\\E0).

|f(x)|M，

5. 称f(x)在E上几乎有界, 如果对于任意的

(xE\\E).

【证】 因为函数f在E上是几乎处处有限的，则

0，存在可测集EE，使得mE且f(x)E{x||f(x)|}是零测集，而

在E\\E上有界，即存在MM0，使得

|f(x)|M，

(xE\\E).

E{x||f(x)|}IE{x||f(x)|k}.

k1

思考题 可不可以定义：“几乎有限”, “几乎处处几乎有界”，“几乎几乎处处有界”，„„？

有限和有界的关系如下 (i) f(x)在E上有界, 则f(x)在E上一定(处处)有限;

又E是测度有限界集而E{x||f(x)|k}k1是单调减少(渐缩)集列，因此

0mE{x||f(x)|}

limmE{x||f(x)|k}.

k例 设E(,), f(x)e,x0,

x0.0,(ii) f(x)在E上几乎处处有界, 则f(x)在E上一定几乎处处有限;

12x故对于任意正数存在k0，使得

mE{x||f(x)|k0}.

记EE{x|f(x)k0}，则E是可测集，且在

E\\EE{x||f(x)|k0}上，f(x)是有界函数：

1

|f(x)|M:k0， xE\\E.

例 (有限但未必几乎有界) 设E[1,),

f(x)lnx. 则f(x)在E上每一点都有限, 但f(x)在E上无界并且不是几乎有界的.

2