不变子空间

§7 不变子空间

问题：在前面内容中， 我们讲到矩阵等价，每一个等价类都有一个矩阵的等价标准型，

例如：对于n阶矩阵来讲，有 n1 类

对于矩阵的合同，我们也有过类似的内容

那么对于矩阵的相似， 我们同样讨论这种问题：在一切彼此相似的n阶矩阵中,

如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.

由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 换句话讲，就是

对于给定的n维线性空间V, A∈L(V), 如何才能选到V的一个基, 使A关于这个

基的矩阵具有尽可能简单的形式.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵

的化简与线性变换的内在联系.

一、不变子空间

1．定义7 设A是数域P上线性空间V的线性变换, W是V的一个子空间. 如果W 中的向量在 A下的像仍在W中，换句话说, 对于W中任一向量，有 A W，

就称W是A 的不变子空间， 简称A -子空间.

2．例题

例1 整个空间V和零子空间0，对于每个线性变换A 都是A-子空间.

例2 A的值域与核都是A-子空间.

例3 若线性变换A与β是可交换的，则β的核与值都是A-子空间.

因为A的多项式f(A)是和A交换的，所以f(A)的值域与核都是A-子空间.

例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.

例 5 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.

设W是一维A-子空间，

是W中任何一个非零向量，它构成W的一个基. 按A-子空间的定义，

AW, 它必是的一个倍数: A0.

这说明是A的特征向量，而W即是由生成的一维A-子空间.

反过来，设是A属于特征值0的一个特征向量，则以及它任一倍数在A下

的像是原像的0倍，仍旧是的一个倍数.这说明的倍数构成一个一维A-子空间.

例 6，A的属于特征值0的一个特征子空间

V0也是A的一不变子空间.

例 7 A—子空间的和与交还是A-子空间.

二、矩阵化简与不变子空间

1．A|W

设A是线性空间V的线性变换, W是A的不变子空间. 由于W中向量在A下的像

仍在W中，这就使得有可能不必在整个空间V中来考虑A，而只在不变子空间W中

考虑A，即把A看成是W的一个线性变换，称为A在不变子空间W上引起的变换.

为了区别起见，用符号A|W来表示它；但是在很多情况下，仍然用A来表示而

不致引起混淆.

必须在概念上弄清楚A与A|W的异同：A是V的线性变换, V中每个向量在A下 都有确定的像；A|W是不变子空间W上的线性变换，对于W中任一向量，有

(A|W)=A.

但是对于V中不属于W的向量来说，（A|W） 是没有意义的.

例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间引起的变换是数乘变换0.

2．结论：如果线性空间V的子空间W是由向量组1,2,,s生成的，即

WL(1,2,,s)V0上

，则W是A-子空间的充要条件为A1,A2,…, As全属于W.

3．下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.

1）设A是维线性空间V的线性变换，W是V的A-子空间.在W中取一组基

1,2,,k,并且把它扩充成V的一组基

1,2,,k,k1,,n. (1)

那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状

a11a1ka1,k1a1nak1akkak,k1akn0000ak1,k1ak1,nan,k1annA1OA3A2. (2)

并且左上角的k级矩阵A1就是A|W在的基1,2,,k下的矩阵.

2) 设V分解成若干个A-子空间的直和：

VW1W2Ws.

在每一个A-子空间Wi中取基

i1,i2,,in(i1,2,,s)i (3)

并把它们合并起来成为V的一组基 I.则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状

A1A2As (4)

其中Ai(i1,2,,s) 就是A|W在基(3)下的矩阵.

反之，如果线性变换A在基 I下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的

子空间 Wi 是A-子空间.

由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.

三、 按特征值分解线性空间

下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V按特征值分解成不变子空间的直和. 定理12 设线性变换A的特征多项式为f()，它可分解成一次因式的乘积

f()(1)r1(2)r2(s)rs

则V可分解成不变子空间的直和

VV1V2Vs

其中

Vi|(Ai)ri0,V.

证明：（1）设

fi()f()(i)ri， Vifi(A)V，即是 fi(A) 的值域，

利用 f1,f2,,fs 互素来证明 VV1V2Vs

(2) 再证明 VV1V2Vs 是直和

首先设 12s0，(*) 这里

(Ai)rii0

另一方面,

(j)jfi(),ijr , 所以

fi(A) 中含有因式

(Aj)jr,

用 fi(A) 作用于 (*), 我们得到 fi(A)i0

(i)ri最后因为

fi() 与

互素, 我们推出 i0

其次注意到 如果 iVi，即存在 iV, 使 ifi(A)i, 我们得到

(Ai)rii(Ai)rifi(A)if(A)i0, 显然可以推出 i0,

从而 VV1V2Vs 是直和

(3) 证明

Vi|(Ai)ri0,V, 即 V 是 (A)iiri 的核

显然

riVi|(Ai)0,V, 对于 |(A)0,V,

iri我们知道 1is, 从而 1(i)s0,

重复 (2) 的证明, 我们得到 i, 命题成立.