数学中考三角形知识加例题（含答案）

三角形复习

★知识点1. 三角形的定义

三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 顺次相接组成的图形叫做三角形。 ★知识点2.三角形的分类

（1）

(2)  按边分类 按边分类

等腰三角形 等腰三角形

等边三角形 等边三角形

例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ 么这个三角形一定是（ ）

A、锐角三角形 、锐角三角形 B、直角三角形 、直角三角形 C、钝角三角形 、钝角三角形 D、正三角形 、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。答案B 

练习：如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，填空： ，填空：

（1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形； 为等边三角形； （2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形； 为直角三角形； （3）当OP满足 满足 时，△AOP为锐角三角形； 为锐角三角形； （4）当OP满足 满足 时，△AOP为钝角三角形。 为钝角三角形。 答案：（1）a；（2）2a或

OA按角分类 按角分类

锐角三角形 锐角三角形 直角三角形 直角三角形

三角形 三角形

钝角三角形 钝角三角形

不等边三角形 不等边三角形

三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角

a600PN第4题图 题图 aaa；（3）＜OP＜2a；（4）0＜OP＜或OP＞2a 222◆知识点3.三角形三条重要线段

三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点： 握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：

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（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 是它的两条直角边。 （3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 例1、在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（ 边的取值范围是（ ） A、1＜AB＜29  B、4＜AB＜24  C、5＜AB＜19  D、9＜AB＜19 解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。选D 例2、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D， ∠ADC=130°，求∠BAC的度数． 的度数． 解题思路：因为AB=AC，AE平分∠BAC，所以AE⊥BC(三线合一)  因为∠ADC=130°，所以∠CDE=50°， 所以∠DCE=40°， 因为CD平分∠ACB，所以∠ACB=2∠DCE=80°， 180°-∠B+∠ACB=20° 所以∠B=∠ACB=80°，∠BAC=180°- 练习 0延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1，1、如图，在△ABC中，∠A＝96，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于的大小是多少？ A5，则∠A5的大小是多少？ AA1A2 第 - 2 - 页 共 9 页 BCD3题图 题图 - 2 -  ◆知识点4. 三角形的主要性质 (1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边． 三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边． (2)三角形的三个内角之和等于3600  (3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和． 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和． (4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角． 三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角． (5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变． 三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变． 例1．已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a>b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（ 的取值范围是（ ） A、3a>L>3b B、2(a+b)>L>2a C、2a6+b>L>2b+a D、3a-b>L>a+2b 解题思路：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B 例2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数。 的度数。 解题思路：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。 略解：∵AB＝DB，AC＝CE ∴∠D＝A DBCE例2图 11∠ABC，∠E＝∠ACB 2210 ∴∠D＋∠E＝（∠ABC＋∠ACB）＝53 200 ∴∠DAE＝180－（∠D＋∠E）＝127 练习 1.若△ABC的三边分别为a、b、c，要使整式(a-b+c)(a-b-c)>0，则整数mAm应为 应为 。 ，将纸片的一角折叠，使 2.纸片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，将纸片的一角折叠，使 点C落在△ABC内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 的度数为 。 BC123.在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ） 的度数为（8题图 题图A、300 B、360 C、450 D、720 0答案1. 偶数2. 60 3.B 第 - 3 - 页 共 9 页 - 3 -  ◆知识点5. 全等三角形 1．定义 ．定义 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2．性质 ．性质 两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3．判定公理 ．判定公理 (1)判定公理1(简称“边角边”或“SAS”)  有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)判定公理2(简称“角边角”或“ASA”) “ASA”)  有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)判定公理3(简称“边边边”或“SSS”)  有三边对应相等的两个三角形全等． 有三边对应相等的两个三角形全等． (4)判定4(推论，简称为“角角边”或“AAS”)  有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)判定5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”)  有斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形题型例析 一、选择条件型 例1 如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC＝DF （4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F，以其中三个作为已知条件，不能．．判断△ABC与△DEF全等的是（ 全等的是（ ） Ａ．（1）（5）（2）  Ｃ．（4）（6）（1）  Ｂ．（1）（2）（3） Ｄ．（2）（3）（4） 解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（Ｄ）不能判断△ABC与．．△DEF全等． 全等． 二、补充条件型 第 - 4 - 页 共 9 页 - 4 -  例2 如图所示，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，请你补充条件_____________（只要填写一个你认为合适的条件）． A B D O C AOB=∠DOC可知，要使解题思路：由AB=DC以及图形隐含的对顶角相等：∠△ABO≌△DCO，根据（AAS）识别法，直接可补充∠A=∠D或∠ABO＝∠DCO．间接可补充：AC＝DB． 评注：本题是一道结论开放性试题，由于全等三角形的识别方法有（SSS）（SAS）（ASA）（AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点．在添加条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件． 条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件． 三、结论选择型 例3．如图．∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论： 论： ①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN． 其中正确的结论是 其中正确的结论是 ． （注：将你认为正确的结论都填上．） 解题思路：根据已知“∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF”可得△ABE≌△ACF，因此BE＝CF，AC＝AB，有∠EAB＝∠FAC，所以①、②正确；因为∠CAB＝∠BAC，∠B＝∠C ，AC＝AB，所以△ACN≌△ABM，故③也正确；根据条件，无法推出CD＝DN，故④不正确．所以，正确的结论是①、②、③． 以，正确的结论是①、②、③． 评注：将多项选择以填空题的形式出现，是近几年出现的新题型，因答案的不唯一，加大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案． 大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案． 四、结论探究型 例4．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有 ，那么图中全等三角形共有 对． 对． 解题思路：在△ADO与△AEO，根据条件：CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC及隐含的条件AO＝AO（公共，得到；从而公共边）边）得到△ADO≌△AEO（AAS）从而得到AD＝AE，故Rt△ADC≌Rt△AEB（HL）；进一步可推得△ABO≌△ACO（SAS），△BDO≌△CEO（AAS），因此，图中全等三角形共有4对． - 5 - 第 - 5 - 页 共 9 页 五、自编组合型 例5．如图，在△ABC和△DEF中，D，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明． 个作为结论，写一个真命题，并加以证明． ①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF． 已知： 已知： 求证： 求证： 证明： 证明： BECFAD解题思路：题中给出的四个等量关系，以其中三个为条件，另一个作为结论，总共可组成的命题（不论真假）有：①②③：①②③Þ④ ①②④Þ③ ①③④Þ② ②③④Þ① 共4个命题，其中真命题有2个，①②④Þ③或②③④Þ①，选择其中一个，不难完成题目的解答． 个，不难完成题目的解答． 解：如①②④Þ③ 证明：∵BE＝CF ∴BC＝EF 又∵AB＝DE， AC＝DF ∴△BAC≌△DEF（SSS） ∴∠ABC＝∠DEF． 六、运动变化型 AC=BC，BE⊥MN例6 在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE； AD，BE具有怎样的等量关系？（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，请写出这个等量关系，并加以证明． 请写出这个等量关系，并加以证明． M D A 图1 C M C D E B N A N D M C E N B A 图2 E B 图3 证明：（1） ① ∵∠ACD=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90° ，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE， ∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB． 第 - 6 - 页 共 9 页 - 6 -  ②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE． （2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴△ACD≌△CBE， ∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE－CD=AD－BE． （3）当MN旋转到图3的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BE－AD（或AD=BE－DE，BE=AD+DE等）． ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－AD． 评注：本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）（2）小题为证明题，第（3）小题为探索性问题，考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力． 考查了同学们的后续学习的能力． 七、应用型 例7．如图，将两根钢条．如图，将两根钢条AA¢，BB¢的中点O连在一起，使AA¢，就做成了一个测量工件，则A¢B¢的长等BB¢可以绕着点0自由转动，于内槽宽AB，那么判定△AOB≌△A¢OB¢的理由是（ 的理由是（ ） Ａ． Ａ． 边角边 边角边 Ｂ．角边角 Ｂ．角边角 Ｃ．边边边 Ｃ．边边边 Ｄ．角角边 Ｄ．角角边 解题思路：：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，（组）解应用题这类题目，而是呈现了建解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一．本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”，故答案为Ａ． ，故答案为Ａ． 考查目标一、三角形的有关性质 例1．（2009年济宁市）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于 等于 A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 解题思路： 解题思路： 运用三角形外角的性质，答案C  。A O B AB 。CD例2．(2009年义乌)如图，在ABC中，ÐC=90，EF//AB,Ð1=50,则ÐB的度数为（ ） 第 - 7 - 页 共 9 页 - 7 -  A．50 B. 60 C.30 D. 40 解题思路： 解题思路： 运用三角形内角和定理，答案D  例3（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ． 年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）A．三角形两边之和大于第三边 ．三角形两边之和大于第三边 B．三角形的外角和等于360° C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 解题思路：等边三角形不是中心对称图形，答案D  考查目标二、三角形三边关系 例1长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？ 构成直角三角形吗？为什么？ 解题思路：可以，设延伸部分为a，则长为2+a，3+a，5+a的三条线段中，5+a最长， 最长， ∵(2+a)+(3+a)-(5+a)=a>0 ∴只要a>0，长为2+a，3+a，5+a的三条线段可以组成三角形 的三条线段可以组成三角形 设长为5+a的线段所对的角为a，则a为△ABC的最大角 的最大角 2222。。。。 又由(2+a)+(3+a)-(5+a)=a-12 2 当a-12=0，即a=23时，△ABC为直角三角形。 为直角三角形。 例2．(2009年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是(  )  A．1cm， 2cm， 3．5cm  B．4cm， 5cm， 9cm C．5cm，8cm， 15cm  D．6cm，8cm， 9cm 解题思路：三角形任意两边之和大于第三边 解题思路：三角形任意两边之和大于第三边 答案：D 练习：已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A．4cm  答案：C  考查目标三、三角形全等 例1．（2009年浙江省绍兴市）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若ÐCDE=48°，则ÐAPD等于第 - 8 - 页 共 9 页 - 8 -  B．5cm  C．6cm  D．13cm  （ ） A．42° B．48° C ．52° D．58° ,CD=DP=AD,再利用三解题思路：折叠前后的两个三角形全等，ÐCDE=ÐEDP=48°角形中位线定理，答案B 例2、（2009陕西省太原市）如图，△ACB≌△A¢C¢B¢，ÐBCB¢=30°，则ÐACA¢的度数为（ 度数为（ ） A．20° B．30° C．35° D．40° B B¢A¢A 解题思路：△ACB≌△A¢C¢B¢，ÐBCB¢=ÐACA¢选B  C 例3（2008年苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO． 解题思路： 解题思路： 证明：（1）在△ABC和△ADC中 A 1 2 3 C O 4 D B ìÐ1=Ð2ïíAC=AC ïÐ3=Ð4î∴△ABC≌△ADC． （2）∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD．又∵∠1＝∠2，∴BO＝DO． 第 - 9 - 页 共 9 页 - 9 -