二次根式讲解大全

【知识回顾】

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：

a（a＞0）

2

（1）（a）=a （a≥0）； （2） a2a 0 （a=0）； 5.二次根式的运算：

a（a＜0）

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）；

bb（b≥0，a>0）． aa（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质 例1下列各式 1）1,2)5,3)51x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1，

3其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围

x5（1）

例3、 在根式1)

13x；（2）

a2b2;2)(x-2)2

x;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

1xyy18x8x1,求代数式22yx例4、已知：

xy2的值。yx

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例5、 （2009龙岩）已知数a，b，若(ab)2=b－a，则 ( )

A. a>b B. aA.

根号外的a移到根号内，得 ( ) ； B. －

； C. －

； D.

例2. 把（a－b）

1

－a－b 化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

515111b，其中a=，b=．

22abba(ab)

例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ：ab(ab)

3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。（1）4、比较数值 （1）、根式变形法

当a0,b0时，①如果ab，则a例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法

当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。 例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较2222222； （2）

b；②如果ab，则ab。

21与的大小。 3121页脚内容

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（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514与1413的大小。

（5）、倒数法

例5、比较76与65的大小。

（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较73与873的大小。

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①ab0ab；②ab0ab 例7、比较

（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①

ab1ab； ②

ab1ab

212与的大小。 313例8、比较53与23的大小。

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

， 验证：

；

验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44的变形结果，并进行验证； 15（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知

9

，则a_________

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发展：已知例3、化简下列各式：

（1）423 （2）526

例4、已知a>b>0，a+b=6ab，则，则a______。

ab的值为（ ）

abA．

21 B．2 C．2 D． 22时，分别作了如下变形：

例5、甲、乙两个同学化简

甲：==；

乙：=。 其中，（ ）。

A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确 D. 只有乙正确

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页眉内容 【基础训练】 1．化简：（1）72__ __； （2）252242___ __； （3）61218___ _；

0（4）75xy(x0,y0)___ _； （5）2324_______。

2.(08，安徽)化简42=_________。

3.（08，武汉）计算4的结果是

Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：

（1）（08，泰安）9的结果是 ； （2）123的结果是 ； （3）(08，宁夏)528= ； （4）（08，黄冈）5x-2x=_____ _； （5）（08，宜昌）3＋（5－3）=_________； （6）（7）(08，荆门)

＝________；（8）

；

．

5．（08，重庆）计算82的结果是

A、6 B、6 C、2 D、2 6．（08，广州）3的倒数是 。 7. (08，聊城)下列计算正确的是 A．

8.下列运算正确的是 A、1.60.4 B、

B．

C．

D．

1.521.5 C、93 D、

42 939．（08，中山）已知等边三角形ABC的边长为310. 比较大小：３ 11．（08，嘉兴）使3，则ΔABC的周长是____________；

10。

x2有意义的x的取值范围是 ．

12.(08，常州)若式子x5在实数范围内有意义,则x的取值范围是

A.x>-5

B.x<-5

C.x≠-5

D.x≥-5

13. (08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是 ．

14.下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是

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A、2－x B、x+2 C、x－2 D、15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是

A.a21 B.1 x－2

1 C.8 D.27 216．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是

A．10 B．8 C．6

是同类二次根式的是

D．

D．2

17．（08，常德）下列各式中与

A．2 B． C．18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是

A．12与11 D．45与 B．18与27 C．3与23与

是同类二次根式，则的α值可以是

19.(08，乐山)已知二次根式

A、5 B、6 C、7 D、8 20．（08，大连）若xab,yab，则xy的值为

A．2a B．2b C．ab D．ab 21.（08，遵义）若a2b30，则ab ． 22．（08，遵义）如图，在数轴上表示实数15的点可能是

A．点P 23.计算： （1）

（3）（08，上海）

（5）48

． （4）（08，庆阳）

．

（2）

B．点Q

C．点M

D．点N

211227 4页脚内容

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24.先将

x2x÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。 32x2x2x25.( 08，济宁)若

A．

B．

，则的取值范围是

C．

D．

，点

关于点

的对称点

26.(08，济宁)如图，数轴上为点A．

，则点

两点表示的数分别为1和

所表示的数是 B．

C．

D．

过关测试 一、选择题： 1. 若

在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）。

A. m≥2 B. m>2 C. m≤2 D. m<2 2. 若

x≥2 D. x≤－1 3. 二次根式

、

、

的大小关系是（ ）。

=3，则x的取值范围是（ ）。A. x=0 B. －1≤x≤2 C.

A. << B. <<

C. << D. <<

4. 下列式子中，正确的是（ ）。 A. （

－3）（

2

+3）=2 B. 5÷×

=5 C. 2×（=2－1 D. （2－

）（2+5. 使等式

）=－2－

成立的实数a的取值范围是（ ）。A. a≠3 B. a≥，且

a≠3 C. a>3 D. a≥

6. 下列各组二次根式（a>0）中，属于同类二次根式的是（ ）。 A.

C.

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7. 当0A.

8．下列运算正确的是（ A．3

）

D．

273

B．

(π3.14)01 C．1122的运算结果应在（ ）

93

9．估计1832A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间 二、填空题：

1. 已知a、b在数轴上的位置如图所示，

2 若x≠0，y≠0，则

3. 已知m是小于10的正整数，且4. 如果xy=5. 已知x是________。 三、解答题

1.已知x=2+1，求（

2．对于题目“化简求值：

，x－y=5

成立的条件是__________。

可化为同类二次根式，m可取的值有_______。

－│b－a│的化简结果是______。

－1，那么（x+1）（x－1）的值为________。

的化简结果

=12，x=________。 6. 若a<－2，

x1x1）÷的值． 22xxxx2x11112a2+，其中a=”，甲、乙两个学生的解答不同． a2a5甲的解答是：

11111249122a2a+=+=+－a= (a)2aaaaaa5a111111122a2+=+=+a－=a= (a)a2aaaa5a乙的解答是：

谁的解答是错误的？为什么？

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3. 已知a、b、c均为实数，且

化简

。

=c。

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